2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：向量中的最值（范圍）問題 練習(xí)題

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)題含答案解析

向量中的最值（范圍）問題

題型分析平面向量中的范圍、最值問題是熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題，此類問題

綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合，其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范

圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等，解決思路是建立

目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，同時(shí)向量兼顧“數(shù)”與“形”的

雙重身份，所以解決平面向量的范圍、最值問題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合.

題型一與系數(shù)有關(guān)的最值（范圍）問題

例1（2023■廣州模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)￡是。）的中點(diǎn)，點(diǎn)廠為

線段5。上的一動(dòng)點(diǎn)，若力=/+/（x>0,y>0）,則二^的最大值為（）

4y2+1

C.lD.2

答案A

解析設(shè)8。，ZE交于點(diǎn)。，因?yàn)镈E〃AB,

DEC

AB

所以

所以四=9=2,

OEDE

所以幺。=2?！?則叁=3而，

2

所以赤=乂宓+時(shí)7=｝：前+避，

因?yàn)?。，F(xiàn),B三點(diǎn)共線,

a

所以Qx+y=1,即2—3x=2y,

2—3x_2y—_2—

所以

4y2+14y2+1%+丫'

y

因?yàn)閤>0,j>0,

所以4y+l>2\；4yl=4,

y\y

當(dāng)且僅當(dāng)%=1,即y時(shí)等號成立,

J2

此時(shí)x=l,

3

2-3x-^<21

所以=

4y2+14y+「42,

y

感悟提升此類問題的一般解題步驟是

第一步：利用向量的運(yùn)算將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系;

第二步：運(yùn)用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求其最值.

訓(xùn)練1已知房，麗是兩個(gè)夾角為120。的單位向量，如圖所示，點(diǎn)。在以。為

圓心的毋上運(yùn)動(dòng).若灰其中x,則x+y的最大值是()

A.^2B.2

C.A/3D.3

答案B

解析由題意，以。為原點(diǎn)，OA為x軸的正向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)C(cos

e,sin。)，0°WeW120。，

f-1<1

可得/(I,0),從2,2J,

一1回

由。C=x(l,0)+,fl-2’2J=(cos0,sin0),

得x—3=cos。，-yy=sin0,

.*.|y=\5sin3,

??x~\~y=+1y=cos0+\5sine=2sin(6+30°),

VO°<0<12O°,.?.30°We+30°W150°,

I.當(dāng)。=60。時(shí)，x+y的最大值為2,此時(shí)C為弧48的中點(diǎn).

所以x+y的最大值是2.

題型二與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問題

例2(2020?新高考I卷)已知尸是邊長為2的正六邊形48CDE廠內(nèi)的一點(diǎn)，則

的取值范圍是()

A.(—2,6)B.(—6,2)

C.(—2,4)D.(-4,6)

答案A

解析法一如圖，取Z為坐標(biāo)原點(diǎn)，48所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則4(0,0),8(2,0),C(3,峋,F(-l,?

設(shè)尸(x,y),則善=(x,y),Z3=(2,0),且一l<x<3.

所以善?范=(》，j)-(2,0)=2xG(-2,6).

法二設(shè)善與花的夾角為e,則成在茬上的投影向量的模為位Mcos。,

由圖可知ZRcosee(—1,3),

則亦看=畫旃C0S8G(—2,6),

即成?懿的取值范圍是（一2,6）.

感悟提升數(shù)量積最值（范圍）的解法：

（1）坐標(biāo)法，通過建立直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理.

（2）向量法，運(yùn)用向量數(shù)量積的定義、不等式、極化恒等式等有關(guān)向量知識(shí)解決.

訓(xùn)練2（2023?漳州質(zhì)檢）已知△4BC是邊長為2的正三角形,P為線段4B上一點(diǎn)（包

含端點(diǎn)），則油?衣的取值范圍為（）

[-1,4

A.L4」B.L4」

C.[0,2]D.[0,4]

答案A

解析取線段48的中點(diǎn)。，連接。C,則。以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC

所在直線分別為x,了軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)尸（a,0）,則一IWaWl,3（1,0）,C（0,旬,PB=（l-a,0）,PC=（-a,出）,

L-ri21r-i2

故港?無=a（a—1）=12）—4'，故選A.

題型三與模有關(guān)的最值（范圍）問題

例3（2023?南通模擬）已知向量a,4滿足。=1,血=2,ab=0,若向量c滿足|a

+6~2c|=l,則|c|的取值范圍是.

答案22

解析法一由題意可設(shè)

a=(0,1),b=(2,0),c=(x,y),

則a+8—2c=(2-2x,1-2y),

由—2cl=1,

可得(2—2x)2+(l—2y)2=l,

化簡可得(x—1)2+卜―J2=^2,

該方程表示以I'J為圓心，以!為半徑的圓,

則罔表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離d,

而"，"針=?,

所以罔=A/X彳y2的取值范圍是［d—r,d+r\,

法二由同=1,網(wǎng)=2,a力=0,

得|a+A|,

又||a+例—|2c||W|a+Z>—2cl=1,

即市一lW|2c|W4+1,

座TA/5+T

即罔22

感悟提升求向量模的最值(范圍)的方法，通常有：

(1)代數(shù)法，把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，或通過建立平面直角坐標(biāo)系，借

助向量的坐標(biāo)表示；需要構(gòu)造不等式，利用基本不等式，三角函數(shù)，再用求最值

的方法求解；

(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，注意題目中所給的垂直、

平行，以及其他數(shù)量關(guān)系，合理的轉(zhuǎn)化，使得過程更加簡單；結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖

形求解.

訓(xùn)練3已知點(diǎn)aB,C在圓/+儼=1上運(yùn)動(dòng)，且花?灰'=0,若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,

0）,則I聞+油+反的最大值為（

A.6B.7

C.8D.9

答案B

解析由弱?反?=0可知NC為直徑,

：.PA-\-PC=2PO=(-4,0),

設(shè)B(cos。，sin0),則詼=(cos。-2,sin0),

：.\PA+PB+PC\=\1PO+PB\=\j(-6+cos6?)2+sin20=Ay37-12cos6?,

當(dāng)e=2E+m左?Z時(shí)，I成+通+戶@的最大值為7.

題型四與夾角有關(guān)的最值（范圍）問題

例4平面向量a"滿足|a—臼=3,同=2網(wǎng)，則a—8與a夾角最大值時(shí)同為（）

A.^2B.^3

C.2也D.2A/3

答案D

解析因?yàn)槠矫嫦蛄縌,〃滿足|a—川=3,\a\=2\b\,

所以（。一，）2=/-24力+方2=4方2—24辦+辦2=9,

所以ab=-b2--,

22

593Q

所以(〃一〃)“二層一4力=4方2—5。2+5=5方2+5.

3,9廠

=(T)7A2+5=1+3三也

由夾角公式，得cos[a~bya）

l?-*ll?l6網(wǎng)44網(wǎng)2

,即網(wǎng)=3時(shí)等號成立）

（當(dāng)且僅當(dāng);網(wǎng)=R

因?yàn)?W(a-b,a)Wm

所以0W（a~ba〉W匹，

96

即回=3時(shí)，〈a—A,加值最大為？.

6

此時(shí)同=2網(wǎng)=23.

感悟提升求夾角的最值（范圍）問題要根據(jù)夾角余弦值的表達(dá)式，采用基本不等

式或函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行.

訓(xùn)練4已知矩形4BCO中，AB=2,4D=1,點(diǎn)、E,F,G,〃分別在邊48,BC,

CD,上（包含端點(diǎn)），若茄?壽=2,則茂與壽夾角的余弦值的最大值是

答案|

解析如圖建立直角坐標(biāo)系，則可設(shè)防=。,1）,彷=（2,s）,—2W/W2,—IWsWl,

所以前?彷=2/+s=2,

函加22

cos(EG,HF)

寸祥+1/4+§2q(⑺2+4/2+針+4

222

(st)2—4S1+(2]+S)2+4(st)*2—45r+8(5^—2)2+4)

當(dāng)s/WO時(shí)，(s/—2)2^4,

當(dāng)s/>0時(shí)，由2/+s=2,故s>0,/>0,

??2=27+s與2、J2st,

當(dāng)且僅當(dāng)s=l,/=1時(shí)取等號，

22

?'-st最大值為

2

.,.(s/—2)2的最小值為1-2?'，

2取得最大值為$

此時(shí)一

(st—2)2+4

即函與前夾角的余弦值的最大值為；

方極化恒等式拓展視野

極化恒等式的證明過程與幾何意義

證明過程：如圖，

DC

設(shè)45=處AD=b,則/。=〃+〃，DB=a-b.

|JC|2=(a+6)2=|a|2+2a-6+|ft|2,

|D5|2=(a—ft)2=|a|2—2a-A+|fe|2,

兩式相減得a-b=^[(a+b)2-(a-b)2],此即極化恒等式.

幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角

線長”與“差對角線長”平方差的！

例(1)如圖，在三角形4BC中，。是5c的中點(diǎn)，E,尸是上的兩個(gè)三等分點(diǎn),

BA-CA=4,BF-&=-l,則法無值為.

答案|

解析設(shè)虎=a,DF=b,

BA-CA=\AD\1-\Bb\2=9b2-a2=4,

BF&=\FD\2-\BD\2=b2-a2=-1,

解得A2=*/=:，

88

：.BE-CE=\ED\2-\Bb^=4b2-a2=-.

8

⑵已知點(diǎn)45,C均在半徑為他的圓上，若|4B|=2,則ib比的最大值為

答案2+2也

解析設(shè)4B,C三點(diǎn)所在圓的圓心為。，取48中點(diǎn)，

故就灰=山?強(qiáng)=近2—1助2=近2—1,

4

因?yàn)?B,C三點(diǎn)在圓上，

所以CD長度最大為r+d,

其中d為圓心。到弦Z8的距離，

故最大值為1十42,

所以CD2-1的最大值為（1+也）2—1=2+242.

訓(xùn)練（2022?北京卷）在△ZBC中，AC=3,BC=4,NC=90。.尸為△NBC所在平

面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且尸。=1,則禽?芮的取值范圍是（）

A.[—5,3]B,[—3,5]

C.[-6,4]D.[-4,6]

答案D

解析法一以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4,C8所在直線分別為x軸、〉軸建立平面直

角坐標(biāo)系（圖略），

則4（3,0）,5（0,4）.設(shè)P（x,y）,

則/+產(chǎn)=1,蘇=（3—x,—y）,PB=（—x,4—j）,

所以屆?麗=》2_3%+廿_4了=1_J2+（J_2）2_；.

又[-iF+O—2）2表示圓好+儼=1上一點(diǎn)到點(diǎn)2]距離的平方，圓心（0,0）

到點(diǎn)g2]的距離尤，

2

所以切?屈GJ

即成?段￡[—4,6],故選D.

法二（極化恒等式）設(shè)4B的中點(diǎn)為說/與我的夾角為。，

由極化恒等式得自.苑=屈一『2=（說—我）2—；=加2+錚2―2故?摩一

252525

——=---P1—5cos0----=1-5cos9,

444

因?yàn)閏oseq-i,i],

所以屆?油e[—4,6].

分層精練?鞏固提升

【A級基礎(chǔ)鞏固】

1.已知平面向量a,b,|a|=l,\b\=^2,且a力=1.若|c|=2,則（a+b>c的最大值

為（）

A.2^5B.10

C.2D.5

答案A

解析設(shè)a+A,c的夾角為仇

則（a+A>c=|a+〃1c|cos|a+6|-|c|=^/|a|2+|6|2+2a-6■|c|=2A/5,當(dāng)a-\~b,c同向，

即。=0時(shí)取等號.故選A.

2.（2023?泰州模擬）若向量a,8互相垂直，且滿足（a+》>（2a—3）=2,貝?a+〃的最

小值為（）

A.-2B.1

C.2D.^2

答案B

解析由題設(shè)，知（rb=0且（a+5）,（2a—b）=2a2—ab-\-2ab—b2=2a2—62=2,

A2a

***fl2=1而|〃+"2=〃2+24力+方2=〃2+52=1+5方22],當(dāng)回=0時(shí)等號成立，

??|。+6|min—1.

3.（2023?淄博模擬）已知中，AB=4,AC=3,cosA=K若。為邊5c上的

動(dòng)點(diǎn)，則成?彳5的取值范圍是（）

A.[4/，12]B.[8^2,16]

C.[4,16]D.[2,4]

答案C

解析由題意得：2b=M3+（l-A）iC,0W4W1,AB-AD=AB[AAB+（1-A）AC]

=22s2+（l-A）|ZS|-|iC|cos^=16A+4-4A=12A+4e[4,16].

4.（2022?杭州模擬）邊長為2的正△ZBC內(nèi)一點(diǎn)M（包括邊界）滿足：CAf=1c^+

AC5（AER）,則工?麻的取值范圍是（）

~_42]F_22

A.L3’3」B.L3'3_

"_44

C.L3,3」D.[—2.2]

答案B

解析因?yàn)辄c(diǎn)〃在△48C內(nèi)部（包括邊界），

所以0寸〈，由0血=0?（比+*=0肚。+3c2+g+27=

7r---2--21

--+2Ae3'3.

3

5.（2023?石家莊調(diào)研）已知平面向量a,b,c,若同=/，回=47，ab=0,\c-a\

=1,則|c—臼的最大值為()

A.2B.3

C.4D.7

答案C

解析因?yàn)橥?也，\b\=yf/,ab=0,

則|a—臼=A/(a—6)2=\la2-2a-b-\-b2=3,

又|c—a|=l,

于是有|c—b|=|（c—a）+（a—b）|W|c—a|+|a—b|=4,當(dāng)且僅當(dāng)c~a與a-b同向共

線時(shí)取“=”，

所以|c—臼的最大值為4.

6.已知左?R,向量a,8的夾角為:，同=1,網(wǎng)=2,則|a—初的最小值是（）

A-B.1

2

C.-D.^3

2

答案C

解析法一由題可得I。一的2=/+上252—2版.方=4左2—2左+1=4〔4J+-,

1a

所以當(dāng)仁;時(shí)，月一涉F取得最小值，

44

所以W—協(xié)的最小值為;.

法二如圖，設(shè)晶=a,OB=b,數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)（a—幼），劫時(shí)，

|a—協(xié)的值最小，所以|a—協(xié)min=|M，sin^=—.

7.（2023?蘇州模擬）已知△4BC為等邊三角形，48=2,△48C所在平面內(nèi)的點(diǎn)尸

滿足跡一茬一式|=1,則還|的最小值為（）

A.加-1B.2啦—1

C.2^3-1D.^7-1

答案C

解析因?yàn)閨芥十式|2=崩2+歸+2養(yǎng)?太=|助產(chǎn)+|曲F+2|Z^1式|cos；=12,

所以|范十式|=23，

由平面向量模的三角不等式可得

|ZP|=|（AP-Zs-iC）+（^+iC）|^||^>-^-iC|-|^+iC||=2^3-l.

8.（2022?佛山二模）△Z3C中，AB=^2,ZACB=^,。是AZ5c外接圓的圓心，

則沆?成+工?費(fèi)的最大值為（）

A.OB.1

C.3D.5

答案C

解析在△4C中,。是△N8C外接圓圓心,

如圖所示，

則NZ05=2N/C5=2,

2

又因?yàn)锳B=\[2,

所以O(shè)A=OB=1,

即外接圓的半徑r=l,

所以沆商+工理=沆?（宓一1）+（場一曲?（油一南=交一2房0C

=l-2cosZJ（9C,

因?yàn)閆,。不重合，所以向量場與定的夾角范圍是（0,71],

所以一IWCOSNZOCVI,

所以cosZAOC=—1,

即。為ZC的中點(diǎn)時(shí)，沆?范+工?理取得最大值為1-2X（-1）=3.

9.（2023?青島質(zhì)檢）已知向量a=（相，1）,8=（4—〃，2）,m>0,n>0,若a〃4則

m

十”的最小值為.

n

答案|+A/2

解析'：a//b,2加=4一〃，

.??；（2加+〃）=1,

%+、」6+“

?1（2加十〃）=11m

10.如圖，在△048中，。是48的中點(diǎn)，尸在線段。C上，且沅=2力.過點(diǎn)尸的

直線交線段分別于點(diǎn)N,M,且曲=根（宓，（m=nOA,其中機(jī)，〃?[0,

1],則機(jī)+〃的最小值為.

答案1

解析由題意得沆=;（場+宓），

則2醒=1[：而+:可，0P=^（W+XOM,

24n4m

又尸，M,N共線，，4+：=1.

4n4m

又加，〃￡[0,1],

pii心+[+]+4][2+2、

???加+〃=（加+”）14〃三1IVnm）=1,當(dāng)且僅當(dāng)掰=〃

=1時(shí)取等號.

2

11.（2023?金華模擬）已知平面單位向量ei,62滿足|2ei—e2|W也.設(shè)a=ei+e2,b=

3ei+e2,向量a,8的夾角為仇則sin。的最大值是_______.

答案,

解析:|2為——《2|W也，

3

.*.4—4?r?2+1W2,.??e「?22一,

4

又?&W?1|?2|=1,

則—WeieW1,

4

又。=?1+?2,b=3?1+?2,

則同=^2+2ere2,\b\=A/10+6?I?2,

。力=4+4er?2,

又向量。，〃的夾角為仇

而ab2（l+eie）

貝]cos0—------,—I^=,

同向2V5+3為?改

a

設(shè)片約?《2,則二WW1,

則cos0=

則sine=/(/)=\i—cos2e=8______1

3(3f+5)3

又了=/"）在—4,I為減函數(shù)，則當(dāng)/=:時(shí)，道。取最大值

12.（2023?廣州綜合測試）已知菱形Z3CQ的邊長為2,N/8C=60。，點(diǎn)尸在5c邊

上（包括端點(diǎn)），則就）?森的取值范圍是.

答案[-2,2]

解析法一根據(jù)點(diǎn)尸在線段8c上，

可設(shè)麗=7反?（0W2W1）,

則成一茬=A（iC-2s）,

則2>=（1—7證十九五，

又四邊形Z8CD是菱形，ZABC=6Q°,

所以太=芥十元），

所以J>=（1-^）2s+A（25+2b）=2s+A2b.

則=（懿+丸25）=助+跳2,

因?yàn)樗倪呅?BCD是邊長為2的菱形，且N4BC=60。，

所以N8AD=120。，AB=AD=2,

則范?2b=|Z^|Zb|-cos1200=2X2x]—J=—2,Zb』4,

所以Q\Zb=42—2,

因?yàn)?W2W1,所以善臣!）?[—2,2].

法二因?yàn)樗倪呅?8co是菱形，

所以ZCL8D,

記ZC,AD的交點(diǎn)為。，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC,AD所在直線分別為x,y軸建

立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.

因?yàn)榱庑?8CD的邊長為2,且N4BC=60。，

所以ZC=2,BD=2y]3,

則Z(—1,0),5(0,一3)，C(l,0),￡)(0,?

則直線8c的方程為x

即產(chǎn)品—他，

因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段5c上，

所以設(shè)尸(xo,\以0—A/3),且OWxoWl,

則25=(1,3),AP=(x0+l,3xo—3),

所以設(shè)垃)?叁=1X(x0+1)+^3X(3xo—3)=4次一2,

又OWxoWl,所以善/!)?[—2,2].

【B級能力提升】

13.平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn).已知點(diǎn)2(—2,0),點(diǎn)尸(cos。，sin<9)(6)￡R),

則向量靜與叁的夾角的取值范圍是()

_71匹

A._66_BF:

_三5

C.L4,4_

答案B

解析根據(jù)題意，設(shè)向量歷與辦的夾角為a,點(diǎn)4(—2,0),點(diǎn)尸(cos。，sin。),

則yl^>=(2,0),AP=(cos0+2,sinff),

則|就)|=2,\AP\=q4cos0+5,

AOAP=2（cos。+2）=2cos0+4,

歷善2cos9+4cos0+2iY4COS°+5+/…

貝>]c0sa=——=—i-=i==TA/4COS0+5

\AO[\AP\2XAJ4COS0+5AJ4cos0+54

又由44cos6+521,

則44cose+5+I3三,

N4cos。+5

當(dāng)且僅當(dāng)cos6=—1時(shí)等號成立，

2

則cosa2——，

2

又由OWQWTI,故OWQW四,

6

°，：

即向量血與靜的夾角的取值范圍是I

14.如圖，在△ABC中，。是線段8c上的一點(diǎn)，且3c=450,過點(diǎn)。的直線分別

交直線Z5,ZC于點(diǎn)