2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（原卷版）

專題17導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................2

【考點(diǎn)突破】................................................................4

【考點(diǎn)1］根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值..............................................4

【考點(diǎn)2】求已知函數(shù)的極值..................................................5

【考點(diǎn)3】由函數(shù)的極值求參數(shù).................................................6

【考點(diǎn)4】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值..............................................7

【分層檢測(cè)】................................................................9

【基礎(chǔ)篇】..................................................................9

【能力篇】.................................................................11

【培優(yōu)篇】.................................................................11

考試要求：

1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要和充分條件.

2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值3會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.

知識(shí)梳理

1.函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極小值：

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值五a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，/(a)=0；而且在

點(diǎn)x=a附近的左側(cè)片x)<0,右側(cè)外0>0.則a叫做函數(shù)y=/(x)的極小值點(diǎn)，火。)叫做函數(shù)丁=

段)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值：

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值汽6)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，/(/?)=0；而且在

點(diǎn)、x=b附近的左側(cè)［於)〉0,右側(cè)［(x)<0.則b叫做函數(shù)y=*x)的極大值點(diǎn),犬。)叫做函數(shù)丁=

汽x)的極大值.

(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.

2.函數(shù)的最大(小)值

(1)函數(shù)人功在區(qū)間［a,加上有最值的條件：

如果在區(qū)間［a,加上函數(shù)y=?x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y=/(x)在區(qū)間［a,加上的最大(小)值的步驟：

①求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,上的極值;

②將函數(shù)y=/U)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值Na),1。)比較,其中最大的一個(gè)是最大值，最小

的一個(gè)是最小值.

|常用結(jié)論

1.求最值時(shí)，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時(shí)，需要分類討論，不可想當(dāng)然認(rèn)

為極值就是最值.

2.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒(méi)有必然的大

小關(guān)系.

「,真題自測(cè)

一、單選題

b

1.(2022?全國(guó),高考真題)當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/(尤)=alnx+—取得最大值-2,貝U/'(2)=()

x

2

1

A.-1B.——cD.1

2-I

2.（2022?全國(guó)?高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36萬(wàn)，且

34/436,則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

27812764

A.吟B.C.D.[18,27]

3.（2021?全國(guó)IWJ考真題）設(shè)若"為函數(shù)/（%）=〃（X-的極大值點(diǎn)，則（)

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a1

二、多選題

（2023?全國(guó),高考真題）若函數(shù)/（x）=alnx+g+5（axO）既有極大值也有極小值，則（

4.).

A.bc>0B.ab>0C.b1+Sac>0D.ac<0

5.（2023,全國(guó),[Wj考真題）已知函數(shù)“X）的定義域?yàn)镽,〃孫）=y2f（x）+x7（y）,則（).

A./(0)=0B./(1)=0

C.是偶函數(shù)D.x=0為的極小值點(diǎn)

6.（2022,全國(guó)考真題）已知函數(shù)/(x)=/-x+l,則()

A.7（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)B./⑺有三個(gè)零點(diǎn)

c.點(diǎn)（0,D是曲線y=/（x）的對(duì)稱中心D.直線y=2x是曲線>=/（元）的切線

三、填空題

7.（2022?全國(guó)?高考真題）已知x=X]和尤=%分另IJ是函數(shù)/（x）=2優(yōu)一ex?（a>0且awl）的極小值點(diǎn)和極

大值點(diǎn).若不<々，則a的取值范圍是

8.（2021?全國(guó),高考真題）函數(shù)/（x）=|2x-l|-21nx的最小值為.

■考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1]根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值

一、單選題

1.（21-22高三?北京西城?開(kāi)學(xué)考試）如圖所示，已知直線、=履與曲線y=/（x）相切于兩點(diǎn)，函數(shù)

g（x）^kx+m[m>0）,則對(duì)函數(shù)*x）=g（x）-〃x）描述正確的是（）

3

yt

^b\X-/\x

A.有極小值點(diǎn)，沒(méi)有極大值點(diǎn)B.有極大值點(diǎn)，沒(méi)有極小值點(diǎn)

C.至少有兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)D.至少有一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)

2.(21-22高二下?北京西城?期末)設(shè)函數(shù)/■⑴=，+元+4x的極小值為一8,其導(dǎo)函數(shù)〉=/'(村的圖

象過(guò)點(diǎn)(一2,0),如圖所示，則/(x)=()

二、多選題

3.(2022?山東臨沂?模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)〃x)=ln(x+l)+(7(尤2-x),其中。力，則()

Q

A.當(dāng)時(shí)，f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)

B.當(dāng).<0時(shí)有1個(gè)極值點(diǎn)

Q

C.當(dāng)時(shí)，〃尤)有0個(gè)極值點(diǎn).

D.若Vx>0,外力20成立，則OWaWl

4.(2023?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的圖像都是R上連續(xù)不斷的曲線，如果

/W<g(x),當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)/(l)=g⑴=1,那么下列情形可能出現(xiàn)的是()

A.1是的極大值，也是g(x)的極大值B.1是“X)的極大值，也是g(x)的極小值

C.1是的極小值，也是g(x)的極小值D.1是“尤)的極小值，也是g(x)的極大值

三、填空題

5.(2021.四川成都.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)閇T5],其部分自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)情況如表:

x-10245

4

f(x)312.513

〃元）的導(dǎo)函數(shù)/（X）的圖象如圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論：

If'M

\/0~245X

①/（元）在區(qū)間［T,。］上單調(diào)遞增；

②“X）有2個(gè)極大值點(diǎn)；

③的值域?yàn)椋?,3］；

④如果"上,5］時(shí)，〃x）的最小值是1,那么/的最大值為4.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

6.（2023?陜西寶雞?二模）若函數(shù)/（耳=6'-67+；尤3-如無(wú)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

反思提升：

由圖象判斷函數(shù)y=/（x）的極值，要抓住兩點(diǎn)：（1）由y=/（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y

=/（x）的可能極值點(diǎn)；（2）由導(dǎo)函數(shù)y=f（x）的圖象可以看出y=f（x）的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y

=/（x）的單調(diào)性.兩者結(jié)合可得極值點(diǎn).

【考點(diǎn)2】求已知函數(shù)的極值

一、單選題

1.（2024?寧夏銀川?一模）若函數(shù)/（x）=（f一改一2卜'在x=-2處取得極大值，則了⑺的極小值為（）

A.-6e2B.-4eC.-2e2D.一e

2.（2024?四川成都?二模）函數(shù)/（x）=e*+asinx,xe（Tt,+?））,下列說(shuō)法不正確的是（）

A.當(dāng)a=—1時(shí)，〃x）＞0恒成立

B.當(dāng)。=1時(shí)，f（x）存在唯一極小值點(diǎn)為

C.對(duì)任意。＞0,〃力在上均存在零點(diǎn)

D.存在。＜0,/（力在xw（-兀,收）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)

二、多選題

3.（23-24高二下,江蘇南京?階段練習(xí)）已知/（%）=幺+疝討+2,g（尤）=/（%）-ex,則（）

A.函數(shù)/（%）在上的最大值為3B.Vx＞0,/（x）＞2

5

C.函數(shù)g(x)在(3,4)上沒(méi)有零點(diǎn)D.函數(shù)g(x)的極值點(diǎn)有2個(gè)

—g

4.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知『x>’則方程/⑺-(A+3"(x)+34=0可能有()

_彳2—4x—1,xW0,

個(gè)解.

A.3B.4C.5D.6

三、填空題

5.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))己知定義在R上的奇函數(shù)〃x)滿足當(dāng)x>0時(shí)，〃2x)/(x+4)=16，a-8)/'(x)20

(尸(x)為"力的導(dǎo)函數(shù))，且〃力<0,則“力的極大值為.

6.(2023?西藏拉薩?一模)已知函數(shù)〃力=(%-。)卜2-0-1卜-可，函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)關(guān)于y軸

對(duì)稱，當(dāng).=》時(shí)，函數(shù)；當(dāng)函數(shù)“X)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)“X)的極大值為.

反思提升：

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)兀￥)極值的一般步驟：

(1)確定函數(shù)火X)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)/(X);

(3)解方程了(為=0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；

(4)列表檢驗(yàn)/(x)在/(x)=0的根次左右兩側(cè)值的符號(hào)；

(5)求出極值.

【考點(diǎn)3】由函數(shù)的極值求參數(shù)

一、單選題

1.(2024?遼寧葫蘆島?一模)已知函數(shù)/(x)=e*-ox2在R上無(wú)極值，則"的取值范圍是()

A.B.1一00，1'1C.[0,e)D.0,1

2.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)"X)="(si：：cosx)+x在(0,兀)上恰有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是()

A.—e4,+>?B.(-

(

C.(0,e)D,[。，『54c

二、多選題

3.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)7'(尤)=(x-aY+6.若過(guò)原點(diǎn)可作函數(shù)的三條切線，貝|()

6

A./（x）恰有2個(gè)異號(hào)極值點(diǎn)B.若a>0,則Z?e（0,?23）*

C./（“恰有2個(gè)異號(hào)零點(diǎn)D.若〃<0,則。€（/,o）

4.（2024?江蘇徐州?一模）已知函數(shù)〃x）=e，（x-ae）aeR,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)。=-1時(shí)，“X）有唯一零點(diǎn)

B.當(dāng)心；時(shí)，〃x）是減函數(shù)

C.若外力只有一個(gè)極值點(diǎn)，則aWO或。=g

D.當(dāng)a=l時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)乙總存在實(shí)數(shù)外,聲,使得/（，）=/（*）--

玉_工2

三、填空題

5.（2023?四川遂寧,模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/'。）=3,函數(shù)8（元）=5皿2如+0）3>0）的兩相鄰對(duì)稱中心之間

1-X

的距離為1,且X=1■為函數(shù)y=g（x）的一個(gè)極大值點(diǎn).若方程/（x）=g（尤）在-l,w+3]（〃eZ）上的所有

根之和等于2024,則滿足條件中整數(shù)”的值構(gòu)成的集合為

6.（2024?陜西銅川?三模）若函數(shù)/（x）=o?+也有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

X

反思提升：

1.已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，要注意：根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)

條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.

【考點(diǎn)4】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

一、單選題

1.（2022?福建福州?三模）已知函數(shù)/（尤）=冷與，以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.f（x）是偶函數(shù)B./（尤）有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)

C./⑺的最小值為D.〃x）的最大值為1

2.（2024?浙江金華,三模）若存在直線與曲線〃x）=Vr,g（x）=x?+a都相切，則。的范圍為（）

「1、」[5]「5）（5-

A.B.-1,—C.—'+0°D.

L7127」[27）I27J

二、多選題

3.（2024?河南南陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=x2-2alnx-1,則（）

A.若曲線y=/（x）在。，/⑴）處的切線方程為y=2x-2,貝壯=2

B.若。=1,則函數(shù)〃尤）的單調(diào)遞增區(qū)間為。,也）

7

C.若a>0,則函數(shù)“X）在區(qū)間[1,E）上的最小值為"一2加°-1

D.^xe[l,+oo）,/（x）>0,貝的取值范圍為（-8內(nèi)

4.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=;tsinx+依2（aeA）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)/（x）當(dāng)且僅當(dāng)在x=0時(shí)取極小值

B.當(dāng)。=-1時(shí)，函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)

C.V<26（^x>,-1],/（x）<0

D.若在區(qū)間[0,鼻上的最小值是0,貝必并

三、填空題

5.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）若x>0,關(guān)于x的不等式/22alm:-4x+l恒成立，則正實(shí)數(shù)。的最大值

ex

為.

6.（23-24高三下?陜西西安?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=2尤3-3尤2+3.設(shè)左為正數(shù)，對(duì)于任意羽若典尤）|,

|〃x+初二者中至少有一個(gè)大于2,則%的取值范圍是.

反思提升：

1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)#x）在[。，加上的最值的一般步驟：

（1）求函數(shù)在（a,力內(nèi)的極值.

（2）求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值五a）,?.

（3）將函數(shù)?x）的各極值與汽0,汽0）比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

2.求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間（或開(kāi)區(qū)間）上的最值，不僅要研究其極值情況，還栗研究其單調(diào)性，并通

過(guò)單調(diào)性和極值情況，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.

分層檢測(cè)

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?全國(guó),模擬預(yù)測(cè)）設(shè)玉,三為函數(shù)〃x）=x（尤-2）（尤-a）（其中a>0）的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，若不等

式〃%）+/伍）20成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.[1,4]B.（0,4]C.（0,1）D.（4,內(nèi)）

2.（2024?江西鷹潭二模）已知函數(shù)〃x）=￡,xe（O,—）,則下列命題不正確的是（）

8

A./（x）有且只有一個(gè)極值點(diǎn)B./⑴在上單調(diào)遞增

11

C.存在實(shí)數(shù)ae（0,+co）,使得/（“）=-D.f（x）有最小值-?

eee

3.（2024?四川雅安?三模）已知函數(shù)〃%）=511169%+5/005@%（69>0）,則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①當(dāng)0=2時(shí)，函數(shù)y=/（》）-21ogM有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)0=2時(shí)，函數(shù)y=/（x+0）為奇函數(shù)，則正數(shù)。的最小值為1；

③若函數(shù)>=〃力在］。，:上單調(diào)遞增，則0的最小值為J；

<13?5"

④若函數(shù)y=〃x）在（0,兀）上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則。的取值范圍為.

A.1B.2C.3D.4

4.（23-24高二下?湖北武漢?階段練習(xí)）若函數(shù)〃x）的導(dǎo)數(shù)r（x）=x-sinx,〃x）的最小值為0,則函數(shù)

V=/（x）-cosx的零點(diǎn)為（）

A.0B.±0C.±2D.2ht(keZ)

二、多選題

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=a（x+l『（x-l）"（其中機(jī)+〃>0,。*0）的部分圖象如圖所示,

m<3nC.m>0>nD.a<0

6.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃尤）=歸'+.在定義域內(nèi)既存在極大值點(diǎn)又存在極小值點(diǎn)，則（）

b4

A.ab>0B.—<-y

ae

c.4a-be2>0D.對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)。，總存在實(shí)數(shù)b滿足題意

7.（2。24.江西.二模）若…恒成立,則實(shí)數(shù)。的取值可以是（）

9

e+1

A.0B.曉C.eD./

三、填空題

8.（2024,廣東?模擬預(yù)測(cè)）〃x）=cos尤cos2x在xe[0,兀|的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè).

9.（2022?北京海淀?一模）已知函數(shù)〃尤）=浮與，給出下列四個(gè)結(jié)論：①Ax）是偶函數(shù)；②/（x）有無(wú)數(shù)

X+1

個(gè)零點(diǎn)；③/（X）的最小值為-g;④/（X）的最大值為1.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

10.（2024?四川成都,三模）已知函數(shù)〃x）=xe=〃式工，若存在最小值，且最小值為上，則實(shí)數(shù)優(yōu)的

m

值為_(kāi)_____

四、解答題

11.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=lnx+"的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1）.

⑴求函數(shù)〃尤）的圖象在點(diǎn)（ej（e））處的切線方程；

（2）若函數(shù)g（無(wú)）="尤）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

12.（2024,陜西咸陽(yáng)?三模）已知函數(shù)/。）=巴史+犬-1.

X

（1）當(dāng)4=1時(shí)，求函數(shù)g（X）=/（元）-X極值；

（2）若對(duì)任意xe[l,+8）,/（無(wú)經(jīng)。+1恒成立，求實(shí)數(shù)