2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：函數(shù)的概念及其表示（原卷版）

專題06函數(shù)的概念及其表示（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................3

【考點1】函數(shù)的概念........................................................3

【考點2】求函數(shù)的定義域....................................................4

【考點3】求函數(shù)的解析式....................................................5

【考點4】分段函數(shù)..........................................................6

【分層檢測】................................................................8

【基礎(chǔ)篇】..................................................................8

【能力篇】..................................................................9

【培優(yōu)篇】.................................................................10

考試要求：

1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求簡單函數(shù)的定義域和值域.

2.在實際情景中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù).

3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.

■知識梳理

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)A,3是非空的實數(shù)集,如果對于集合A中的任

意一個數(shù)x,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系方在集合3中都有唯

概念

二確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱/：A-3為從集合A到集

合B的一個函數(shù)

三對應(yīng)關(guān)系y=f(x),x^A

要定義域工的取值范圍

素值域與x對應(yīng)的y的值的集合伏x)|xGA}

2.同一個函數(shù)

(1)前提條件：①定義域相同;②對應(yīng)關(guān)系相同.

(2)結(jié)論：這兩個函數(shù)為同一個函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4.分段函數(shù)

⑴若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種

函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)表示的是一個函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集.

常用結(jié)論

1.直線x=a{a是常數(shù))與函數(shù)y=/(x)的圖象至多有1個交點.

2.注意以下幾個特殊函數(shù)的定義域：

⑴分式型函數(shù)，分母不為零的實數(shù)集合.

(2)偶次方根型函數(shù)，被開方式非負(fù)的實數(shù)集合.

(3次幻為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合.

(4)若人x)=x。，則定義域為{x|xWO}.

(5)正切函數(shù)尸tanx的定義域為blxWE+宗左

.真題自測

一、填空題

2

1.（2023?北京?高考真題）已知函數(shù)/（尤）=4*+1。82無

2.（2022?北京?高考真題）函數(shù)/（x）=1+A/i二7的定義域是

—爐+2,xW1,

3.（2022?浙江?高考真題）已知函數(shù)〃%）=1則/若當(dāng)）￡[a,b]時,

x-\-----1,x>l9

、X

1</W<3,則b—。的最大值是

-ax+1,x<a,

4.（2022?北京?高考真題）設(shè)函數(shù)/（x）=2若AM存在最小值，則。的一個取值為______；。

（%-2）,x>a.

的最大值為

x2-4,x>2

5.（2021?浙江?高考真題）已知awR,函數(shù)/（無）=若/[7（網(wǎng)]=3,則。=

|x—3|+a,x<2,

考點突破

【考點11函數(shù)的概念

一、單選題

1.（2023?山東濰坊?一模）存在函數(shù)滿足：對任意xeR都有（）

A./（|x|）=x3B./（sinx）=x2C./（x2+2x）=|x|D./（|x|）=x2+l

’2工一1,尤WO,

2.（2022?山東濟(jì)南二模）已知函數(shù)/（x）=1若〃切=3,則根的值為（）

x2,x>0,

A.73B.2C.9D.2或9

二、多選題

3.（21-22高一?全國?單元測試）下列函數(shù)中，與函數(shù)>=尤+2不是同一個函數(shù)的是（）

A.y=（>/x+2）B.y=+2C.y=——"I-2D.y=+2

4.（22-23高一上?陜西西安?期末）設(shè)集合P={x|0Wx<4},Q={引0W”4},則下列圖象能表示集合「到集

合。的函數(shù)關(guān)系的有（）

3

三、填空題

5.（2023?上海青浦二模）已知函數(shù)y=口71：VxW'的圖像繞著原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)/0464萬）弧

度，若得到的圖像仍是函數(shù)圖像，則?？扇≈档募蠟?

6.（2023?遼寧大連?一模）已知可導(dǎo)函數(shù)g（x）定義域均為R,對任意x滿足〃x）+2x2ggj=

且"1）=1,求1（l）+g[3J=.

反思提升：

（1）函數(shù)的定義要求非空數(shù)集A中的任何一個元素在非空數(shù)集3中有且只有一個元素與之對

應(yīng)，即可以“多對一”，不能“一對多”，而3中有可能存在與A中元素不對應(yīng)的元素.

（2）構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同

【考點2】求函數(shù)的定義域

一、單選題

1.（2023?湖北?三模）函數(shù)/'（x）=Sog2（lr）的定義域是（）

A.(-℃,1)B.(0,+oo)C.(0,1)D.(-<?,0]

2.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?模擬預(yù)測）若函數(shù)y=〃2x）的定義域為[-2,4],則y=〃x）-〃-x）的定義域為（）

A.[—2,2]B.[-2,4]

C.[T,4]D.[-8,8]

二、多選題

3.（2023?河南?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/⑺在R上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）在（-8,0）上單調(diào)遞增，在[0,+8）上單

調(diào)遞減，則（）

A.函數(shù)/（〃彳））在R上單調(diào)遞增

B.函數(shù)f（g（x））在（一*0）上單調(diào)遞增

C.函數(shù)g（-g（x））在（-雙。）上單調(diào)遞減

D.函數(shù)g（-/（尤））在。內(nèi)）上單調(diào)遞減

2r-3

4.（2022?海南?模擬預(yù)測）下面關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，說法正確的是（）

x-2

A.“X）的定義域為（-8,2）U（2,+CO）B./（元）的值域為R

4

c.在定義域上單調(diào)遞減D.點(2,2)是/(%)圖象的對稱中心

三、填空題

5.(23-24高一上?新疆?期中)已知函數(shù)的定義域是［0,4］,則函數(shù)>=半』的定義域是

yJx-2

6.(2023?山東棗莊?模擬預(yù)測)已知函數(shù)y=/(x)是定義在［T4］上的減函數(shù)，且〃a+1)>/(2a),則。的

取值范圍是.

反思提升：

1.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法

求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運算)有意義為準(zhǔn)則，列

出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應(yīng)使實際問題有意義.

2.求抽象函數(shù)定義域的方法

(1)若已知函數(shù)人x)的定義域為［a,b］,則復(fù)合函數(shù)月g(x)］的定義域可由不等式oWg(x)W5求出.

⑵若已知函數(shù)月g(x)］的定義域為［a,b］,則兀t)的定義域為g(x)在C上的值域.

【考點3】求函數(shù)的解析式

一、單選題

1.(2023?河南鄭州?二模)若函數(shù)〃無—的部分圖象如圖所示，則〃5)=()

IDXIC

1

D.---

12

2.(2022?河北保定?二模)若函數(shù)/則函數(shù)g(x)=/(%)-4x的最小值為(

A.-1B.-2D.-4

二、多選題

3.(2024?全國?一模)設(shè)。為常數(shù)，/(0)=,/(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x),則().

A.1

B.y(x)=；成立

C./(x+j)=2/(%)/(y)

D.滿足條件的/(x)不止一個

4.(2023?江西?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)的定義域為R,〃x+l)為奇函數(shù)，〃x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xe［l,2］時,

5

〃x）=a-log?尤.則下列結(jié)論正確的是（）

A."1)=1B./(8)=-1

206100

C.Z〃%)=TD.^kf(k)=5Q

k=lk=l

三、填空題

5.（2022?全國?模擬預(yù)測）若函數(shù)〃無）滿足關(guān)系式2/（x）+/（J=3x+l,則/⑶=.

6.（22-23高一下?上海浦東新?階段練習(xí)）已知對任意的實數(shù)。均有37（sina）-4/（cosa）=sin%cos2a成立,

則函數(shù)〃尤）的解析式為.

反思提升：

函數(shù)解析式的求法

（1）配湊法：由已知條件Hga））="x）,可將R（x）改寫成關(guān)于g（x）的表達(dá)式，然后以X替代g（x）,

便得Hx）的表達(dá)式.

⑵待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)）可用待定系數(shù)法.

（3）換元法：已知復(fù)合函數(shù)Hg（x））的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.

（4）方程思想：已知關(guān)于五x）與0或五一x）等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等

式組成方程組，通過解方程組求出兀。

【考點4】分段函數(shù)

一、單選題

1.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（尤）=則—()

x-3x-4,x>0'/

A.-6B.0C.4D.6

/\fl,XGQ,

2.（2023?山西?模擬預(yù)測）十九世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出了''狄利克雷函數(shù)〃。（力=jo它在現(xiàn)代

數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中有著重要意義，若函數(shù)/（X）=f—。（耳，則下列實數(shù)不屬于函數(shù)“X）值域的是（）

A.3B.2C.1D.0

二、多選題

三2-1＜尤＜0

3.（2021?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測）已知〃x）=Hl是定義在（T+口）上的函數(shù)，則（）

ax--,x＞Q

I2

A.若〃x）為增函數(shù)，則。的取值范圍為

6

B.若〃x）為增函數(shù)，貝M的取值范圍為（3,y）

C.若〃x）為減函數(shù)，則。的取值范圍為1,1

D.若，（x）為減函數(shù)，則。的取值范圍為（0」）

4.⑵-22高三上?江蘇常州?開學(xué)考試）已知函數(shù),若函數(shù)⑺]+“有7個零點,

則實數(shù)。的可能取值是（）

111

A.0B.C.—D.—

435

三、填空題

logJX,X<1

5.（2023?貴州遵義?模擬預(yù)測）若函數(shù)〃x）=3,則不等式〃x）>2的解集為.

fJQ0<%<1

6.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知〃x）=e；x>l，若存在巧>外>。，使得/伍）=學(xué)'（M），則周"（%）的

取值范圍為.

反思提升：

1.根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式

代入求解.

2.已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但

要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.

.分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2023?陜西西安?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃力滿足/（ei）=2x-l,〃a）+〃6）=0,則下列說法正確的是

（）.

A.a+b=\B.a+b=—

e

C.ab=lD.ab=—

e

2.（2023?江西九江?模擬預(yù)測）已知函數(shù)y=的定義域為[T5],則函數(shù)y=f（2尤?一1）的定義域為（）

A.[0,3]B.[-3.3]C.[一百，百]D.[-3,0]

7

X

3.（2022?全國，模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)/（力=,8-2,,則函數(shù)/的定義域為（）

A.(ro,6]B.-00,3]C.[3,+00)D.[6,+oo)

4.（2023?吉林長春?模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)滿足2/(尤)+/(-x)=3f+2x+6,則()

2x?+4x+34

A.f（x）的最小值為2B.HxeR,————<2

/(x)

2尤2+4x+5

C./（元）的最大值為2D.wVxeRw,———--<2

”尤)

二、多選題

5.（2023?云南昆明?模擬預(yù)測）函數(shù)〃x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且

/(x)-g(x)=x3+x2-l,則()

A.=B.g(T)=2

c.7(i)+g(i)=iD./(l)+g(l)=2

Inx+2X,x>0

6.（22-23高一上■云南昆明?期末）已知函數(shù)/（尤）=<,2，則下列結(jié)論正確的是（）

——,x<0

、1—x

A.“X）在R上為增函數(shù)

B./(e)>/(2)

C.若/（無）在上單調(diào)遞增，則或420

D.當(dāng)xe[—1,1]時，了⑺的值域為口,2]

7.（2024?廣東?模擬預(yù)測）給定數(shù)集A=1^,8=（0,飲），蒼、滿足方程2'_>=0,下列對應(yīng)關(guān)系/為函數(shù)

的是（）

A.f-.A^B,y=/(x)B.f-.B^A,y=/(x)

C.f:A^B,x=f(y)D.于：BTA,x=f(y)

三、填空題

8.（23-24高一上?江蘇揚州,期末）已知/（幻=岸=1的定義域為A,集合3={xeR[l<ax<2},若B=

則實數(shù)a的取值范圍是.

9.（2022?山東濟(jì)南?二模）已知函數(shù)/。）=一/一2了+3,則/（x+l）=

Z7X%〉]

10.（2021?廣東?模擬預(yù)測）若a>0且awl,且函數(shù)〃尤）=，'一.，在R上單調(diào)遞增，那么。的取值

ax+a—2,x<i

8

范圍是.

四、解答題

11.(20-21高二上■山東臨沂■期末)已知函數(shù)I/(x)=0n+l)x+xlnx.

(1)當(dāng)〃7=1時，求曲線>=/(尤)在(LAD)處的切線方程.

(2)…時’若雙擊房’求且⑴的定義域’并分析其單調(diào)性?

2x—5,x>0

12.(2020,山東?高考真題)已知函數(shù)。(x)=

x2+2x,x<0

(1)求⑴］的值;

(2)求了(|。-1|)<3,求實數(shù)。的取值范圍.

【能力篇】

一、單選題

1.(2023?全國?三模)已知對于每一對正實數(shù)x,y,函數(shù)滿足：f(x)+/(y)=三(x+y)—孫一1,若"1)=1,

則滿足/e)="(〃eN+)的〃的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、多選題

2.(2023?重慶?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=3專(aeR),則下列說法正確的是()

A.”力的定義域為(3,—2)。(—2,”)

B.“X)在上的值域為［2-

C.若了(“在(y,-2)上單調(diào)遞減，則a<l

D.若。>1,則/(x)在定義域上單調(diào)遞增

三、填空題

3.(2022?上海浦東新?模擬預(yù)測)函數(shù)的圖象是兩條線段(如圖)，它的定義域為［-1,0)則不等式

/W-/(-%)>-1的解集為.

四、