2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：基本不等式（（解析版））

專題04基本不等式（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................2

【考點(diǎn)突破】...............................................................10

【考點(diǎn)1］利用基本不等式求最值..............................................10

【考點(diǎn)2］基本不等式的綜合應(yīng)用..............................................13

【考點(diǎn)3］基本不等式的實(shí)際應(yīng)用..............................................20

【分層檢測】...............................................................27

【基礎(chǔ)篇】.................................................................27

【能力篇】.................................................................33

【培優(yōu)篇】.................................................................36

考試要求：

1.了解基本不等式的證明過程.

2.能用基本不等式解決簡單的最值問題.

3.掌握基本不等式在生活實(shí)際中的應(yīng)用.

融知識(shí)梳理

1.基本不等式：q不w―2~

⑴基本不等式成立的條件：a>Q,b>0.

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào).

(3)其中審叫做正數(shù)a,6的算術(shù)平均數(shù)，血叫做正數(shù)a,6的幾何平均數(shù).

2.兩個(gè)重要的不等式

^(r+b-^2ab(a,6GR),當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào).

(2%?！锊芬籎(a,6GR),當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào).

3.利用基本不等式求最值

(1)已知x,y都是正數(shù)，如果積犯等于定值P,那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2、年.

(2)已知x,y都是正數(shù)，如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值為5

|常用結(jié)論

l.^+|>2(a,8同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào).

/a+^a2-\-b2

2J、2-'

3.應(yīng)用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等"，忽略某個(gè)條件，就會(huì)出錯(cuò).

4.在利用不等式求最值時(shí)，一定要盡量避免多次使用基本不等式.若必須多次使用，則一定要保

證它們等號(hào)成立的條件一致.

.真題自測

一、單選題

1.(2022?全國?高考真題)已知9根=10,〃=10m—11/=8機(jī)—9,貝!J()

A.a>0>bB.<3>Z?>0C.b>a>0D.b>0>a

2.(2021?全國?高考真題)下列函數(shù)中最小值為4的是(

A.y=f+2%+4

2

.9_4

C.y=2“+2'D.y=lnxH----

"Inx

22

3.（2021?全國?高考真題）己知小乃是橢圓C：45=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)加在C上，貝"Ml訃版|的最

大值為（）

A.13B.12C.9D.6

4.（2021?浙江?高考真題）已知。,力,7是互不相同的銳角，則在sinacos/?,sin/?cos7，sin/cosa三個(gè)值中，大

于g的個(gè)數(shù)的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

二、多選題

5.（2022?全國?高考真題）若x,y滿足尤2+y一孫=1,則（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

三、填空題

AT

6.（2022?全國,高考真題）已知44BC中，點(diǎn)。在邊上，NAD8=120。,AO=2,8=28。.當(dāng)白上取得

AB

最小值時(shí)，BD=.

7.（2023?天津?高考真題）在AABC中，BC=1,NA=60。，AD=1AB,CE=|cD,記麗=扇正=5,用。，方

表示荏=;若而=g覺，則荏.說的最大值為.

8.（2021,天津■局考真題）若a>0,b>0,貝U—+白+。的最小值為_________.

ab

參考答案：

1.A

【分析】法一：根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知根=log910>l，再利用基本不等式，換底公式

可得根log89>m,然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出.

【詳解】［方法一］:（指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)）

由9"=10可得租=1嗨1。=需>1，而lg91gli<[g9；gl=[胃)<l=(lgl0)2,所以黑，

即所以a=10"'—11>10蜘—11=0.

又電8坨10<[38產(chǎn)°)=[等)<(lg9『，所以皆iplog89>m,

所以匕=8"'一9<8"&9-9=0.綜上，a>0>b.

［方法二］:【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）

3

由9"'=10，可得初=log910e(l,1.5).

根據(jù)。涉的形式構(gòu)造函數(shù)/(x)=xm-xT(x>l),則廣(尤)=欣"-'-1,

令/'(x)=。，解得%=加占，由根=log910e(l,1.5)知尤()e(0,l).

f(x)在(l,y)上單調(diào)遞增，所以"0)>/(8),即a>b,

又因?yàn)?(9)=*"°-10=0,所以a>0>b.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】法—：通過基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；

法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)〃x)=--xT(x>l),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該

題的最優(yōu)解.

2.C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等〃，即可得出民。

不符合題意，C符合題意.

【詳解】對(duì)于A,J=X2+2X+4=(X+1)2+3>3,當(dāng)且僅當(dāng)x=—1時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為3,A不符合

題意；

對(duì)于B,因?yàn)?VsinRwl,y=binx|+七22/=4,當(dāng)且僅當(dāng)卜inR=2時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其

S1I1X]

最小值不為4,B不符合題意；

對(duì)于C,因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽,而2，>0,y=2x+22-x=2X+^>244=4,當(dāng)且僅當(dāng)2、=2，即x=l時(shí)取

等號(hào)，所以其最小值為4,C符合題意；

對(duì)于D,y=lnx+-^—,函數(shù)定義域?yàn)?O』)U(l,+00)，而In尤eR且InxwO,如當(dāng)lnx=-l,v=-5,D不符

Inx

合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等"的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性

質(zhì)即可解出.

3.C

【分析】本題通過利用橢圓定義得到|嗎|+阿閭=2a=6,借助基本不等式眼耳|.眼閶J出土四]即

2

可得到答案.

4

【詳解】由題，4=9,〃=4,貝1]|從陰|+|叫|=2。=6,

所以|叫也址也四]=9（當(dāng)且僅當(dāng)眼耳|=|咽|=3時(shí)，等號(hào)成立）.

I2J

故選：C.

【點(diǎn)睛】

4.C

3

[分析】利用基本不等式或排序不等式得sin6ZCOS/J+sin尸cos/+sin/cos6Z<-,從而可判斷三個(gè)代數(shù)式不

可能均大于1,再結(jié)合特例可得三式中大于1的個(gè)數(shù)的最大值.

【詳解】法1：由基本不等式有sinacos/?Wsi"\[cos?/7,

日工用.c‘sin2尸+cos2/sin2r+cos2cir

I可埋sinpcosy<-----------------,smycosa<-----------------,

3

故sinacos/?+sin夕cos/+sin/coscr<—,

故sinacos民sinf3cosy,sinycos。不可能均大于g.

71c汽兀

取1="，^=—>7=:，

634

々11?AV61.y[61

則sinacos//=—<—,sinpcos/=>—,sin/cosa-,

故三式中大于3的個(gè)數(shù)的最大值為2.

故選：C.

法2：不妨設(shè)。<尸<7,貝ljcosa>cos/?>cos/,sina<sin/?vsin

由排列不等式可得:

sinacos尸+sin力cosy+sin/cosa<sinacos/+sin/?cos/?+sinycosa,

13

而sinacos/+sin夕cos[3+sin/cosa=sin(/+cr)+—sin2；0<—,

故sinacos/,sin尸cos/,sinycosa不可能均大于

Tin兀c1兀

,p=—,r=—)

634

則sinacos夕=；<g,sin尸cos/=>g,sin/cosa=>g,

故三式中大于g的個(gè)數(shù)的最大值為2,

故選：C.

5

【點(diǎn)睛】思路分析：代數(shù)式的大小問題，可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進(jìn)行放縮，注

意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.

5.BC

【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假.

【詳解】因?yàn)槁┕ぃ▽彛ǚ材蚏）,由/+/-盯=1可變形為，（尤+>）2一「3孫w31簽:，

解得-2<x+y<2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-l時(shí)，x+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)，x+y=2,所以A錯(cuò)誤，B

正確；

22

由必+產(chǎn)-孫=1可變形為（/+>2卜1=孫4胃1,解得Y+y2V2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±l時(shí)取等號(hào)，所以

C正確；

因?yàn)閂+y2—1變形可得仆—2丫+32=1,設(shè)x—2=cosa18y=sin。，所以

I2）422

\252111

x=cos0+—j=sin6,y=—j=sin0,因此兀2+y=cos2^+—sin2^+-^sin^cos0=l+-^sin2^--cos2^+—

=^+|sinf2^-^er1,21,所以當(dāng)x=3,y=一3時(shí)滿足等式，但是_+不成立，所以D錯(cuò)誤.

33<6JL3J33

故選：BC.

6.73-1/-1+^

AC2

【分析】設(shè)CD=2BD=2根>0,利用余弦定理表示出結(jié)合基本不等式即可得解.

AB7

【詳解】［方法一］:余弦定理

設(shè)CD=23￡）=2心0,

則在△ABD中，AB-=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=m2+4+2m,

在AACD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4m2+4-4m,

AC2_4/+4-4m_4（后+4+2附-12（1+m）_4_12

所以AB2m2+4+2mm2+4+2m（租用,3

I"）7n+l

>4——12=4-2-73

2J（m+1）-^—

Vm+1

3

當(dāng)且僅當(dāng)m+1=——即巾=6-1時(shí)，等號(hào)成立，

m+1

6

所以當(dāng)布取最小值時(shí)’f

故答案為：6-1

［方法二］:建系法

令BD=t,以D為原點(diǎn)，0C為X軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

則C(2t,0),A(1,石)，B(-t,0)

AC?(2I『+34d-4+412

=4->4-25/3

AB2~(r+l)2+3-t2+2t+4

f+1)+7Zi

當(dāng)且僅當(dāng)t+1=6,即瓦）=百-1時(shí)等號(hào)成立。

［方法三］:余弦定理

設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得

c~=x~+4+2x

:.2c2+b2=12+6尤2,

Z?2=4+4x2-4x

c~=x?+4+2x

.-.2c2+b2=12+6x2,

b2=4+4%2-4.x

令生=

則2c2+/-2=12+6/，

AB

12+6/12+6/

t2+2=>6-273,

c1x~+2無+4

?2>4-273,

3

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=\,即x=—+l時(shí)等號(hào)成立.

x+1

［方法四］:判別式法

7

設(shè)BD=x,則CD=2x

在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BDADCOSZADB=X1+4+2X,

2222

在AACD中，AC^CD+AD-2CD-ADcosZADC=4x+4-4x,

匚匚“IAC~4廠+4—4無、r4x?+4—4x

所以--=--------,記/=---------，

廠+4+2xx~+4+2x

貝歐-（4+2z）x+（4-4f）=0

由方程有解得：A=（4+2f）2-4（4-r）（4-4r）>0

即產(chǎn)一8/+4V0,解得：4-2A/3<?<4+2V3

所以，min=4-2百，此時(shí)X==也-1

4-t

所以當(dāng)W取最小值時(shí)，x=6-1,即

AB

1-j.一13

7.-a+-b

4224

【分析】空1：根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合E為8的中點(diǎn)進(jìn)行求解；空2：用。石表示出衣，結(jié)合上一空

答案，于是通.通可由商石表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算和基本不等式求解.

AE+ED=AD

【詳解】空1：因?yàn)镋為8的中點(diǎn)，則麗+反=6,可得一一_

AE+EC=AC

兩式相加，可得到2女=麗+/，

即2荏=工￡+6,貝|］荏=1￡+工行；

242

—.1._,_.AFFCAC

空2：因?yàn)?/=彳2(7,則2麗+記=6，可得\｛一+.一=_

3AF+FB=AB

.2—1一

^3AF=2a+b，^AF^-a+-b.

t己AB=x,AC=y,

貝Ij適赤=\（2￡2+5￡石+2片）=《（2/+5盯cos600+2y2）=白21+半+2/

22222

在AABC中，根據(jù)余弦定理：BC=x+y-2xycos600=x+y-xy=1,

8

于是適荏=卻孫+學(xué)+2卜日等+2）‘

由爐+y2-孫=1和基本不等式，x2+y2-xy=1>2xy—xy=xy,

故孫41,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=i取得等號(hào)，

13

貝|］尤=>=1時(shí)，荏.存有最大值五.

1一1-13

故答案為：—,

4224

【分析】兩次利用基本不等式即可求出.

【詳解】；a>0,Z?>0,

:.—+-^r-+b>2,1—--^-+b=—+b>=2夜,

abNabbVb

當(dāng)且僅當(dāng)工=*且/=b,即a=b=亞時(shí)等號(hào)成立,

abb

故答案為：2vL

.考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1］利用基本不等式求最值

一、單選題

1.（2023?安徽蚌埠?模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)。也c滿足且"c<0,則下列不等關(guān)系一定正確的是（

A.ac<bcB.ab<ac

bccba八

C.-+->2D.—+—>2

cbab

2.（2023?遼寧葫蘆島?二模）若?！?"〉0,2而+〃+沙=3,則〃+2辦的最小值是（）

A.—B,1

2

C.2D.

2

二、多選題

9

3.(2023?江蘇?一模)已知正數(shù)a,b滿足出?=〃+人+1,貝U()

A.。+人的最小值為2+20B.必的最小值為1+0

C.'+g的最小值為20-2D.2"+4"的最小值為16

ab

4.(2023?山東煙臺(tái)?三模)已知a>0,6>0且4。+6=2,貝1|()

A.他的最大值為gB.2折+新的最大值為2

C.2+：的最小值為6D.4"+2〃的最小值為4

ab

三、填空題

5.(2023?遼寧大連?三模)已知孫>0,且/+2孫=1,則f+y2的最小值為

6.(2020?天津?yàn)I海新?模擬預(yù)測)已知x>0,y>0,則十0+廣三的最大值是一

x+4yx+y

參考答案：

1.C

【分析】由不等式的性質(zhì)判斷A、B,根據(jù)基本不等式可判斷C、D.

【詳角軍】因?yàn)榍摇╖?c<0,所以av。vbvc或〃<bvc<0,

對(duì)A：若QvOvbvc,貝若a<b<c<0,貝!Jac>bc,A錯(cuò)誤；

對(duì)B：.:b<c,a<0,ab>ac,B錯(cuò)誤；

對(duì)C：由avO<Z?vc或a<Z?<c<0,知，>0且Z?<c,—+—>2A/—x—=2,C正確;

ccb\cb

hhn

對(duì)D：當(dāng)avOvbvc時(shí)，有一<0,從而一H?一<0

aab

當(dāng)〃<h<c<0,貝lj2>0且a<b,/.—+—>2.1—x—=2,D錯(cuò)誤.

aab\ab

故選：C

2.C

【分析】根據(jù)給定等式，利用均值不等式變形，再解一元二次不等式作答.

【詳解】a>0">0,3=2ab+a+2Z>V(±|竺了+(。+2力，當(dāng)且僅當(dāng)a=26時(shí)取等號(hào)，

因止匕(〃+2/?)2+4(〃+2。)一12之0,即(a+2b+6)(a+2b-2)>0,解得a+2Z?22,

所以當(dāng)a=2Z;=l時(shí)，a+2辦取得最小值2.

故選：C

3.AC

【分析】利用基本不等式結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.

10

【詳解】對(duì)于A,a+b+l=ab=^>（?+Z?）2—4（tz+Z?）—4>0=>?+Z?>2+2\/2,

當(dāng)且僅當(dāng)々=〃時(shí)成立，A正確；

對(duì)于B,ab—l=a+b>2y[ab,即-2y[ab-\>0,可得+

所以必23+2夜，當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時(shí)成立，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,工a+：b=包ab==絲ab」=1一_a曉b1二3+21,后2=2夜-2，當(dāng)且僅當(dāng)々=人時(shí)成立，C正確；

對(duì)于D,由a+b+l=ab=>4=（a-l）（2b—-=>tz+2Z?>7,

當(dāng)且僅當(dāng)Q=2Z?—3,即〃=2,2）=5等號(hào)成立，

所以20+心之2萬H22后"=16&，此時(shí)。=2?,不能同時(shí)取等號(hào)，所以D錯(cuò)誤.

故選：AC.

4.BC

【分析】利用基本不等式可判斷AB；先將2+f化為2+上一1,再妙用“1”可判斷c；取特值可判斷D.

aba2b4

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?=4〃+/?2,所以abW1,當(dāng)且僅當(dāng)Q==1時(shí)，等號(hào)成立，故A錯(cuò)

誤；

對(duì)于B,因?yàn)?，所以8a+2624^/^+4〃+b=（2&+物）2,

即（2G+揚(yáng)）2<4,26+揚(yáng)42,當(dāng)且僅當(dāng)。=；,6=1時(shí)，等號(hào)成立，故B正確;

一十..TC/N1bLLI、I2Q211

對(duì)于C,由4a+Z?=2得。一二，所以一+7=—+77一二，

24aba2b4

Ed211/21、“7、1172b2a、117。不25

因?yàn)闉椋?〃+6）=丁5+了+萬），（z彳+2"）=7

所以當(dāng)且僅當(dāng)T=|時(shí)，等號(hào)成立，故C正確;

對(duì)于D,令a=g,6=g,則平+2"=4：+2：=2x4：<4，所以4"+2〃的最小值不是4,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

5V?-1

2

【分析】先對(duì)己知式子變形得y=蹙，然后代入9中，整理后利用基本不等式即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)闆_>0,所以XN0,

又無2+2孫=1,所以y=^——,

2x

—242

二匚［、1222/—%2、2212X+X5x11

所以犬+產(chǎn)=/+（----）=X+---------——=——+--——

2x4x244x22

11

5T2i

（當(dāng)且僅當(dāng)更時(shí)取等號(hào)），

44x2

所以f+y2的最小值為牛1,

故答案為：叵」.

2

:20

b.---

3

213Q+*）。

【解析】先化簡原式為=7+二7,再換元設(shè)”土”>。）得原式-----彳,再換元設(shè)a=r+2?>0）得

—+———+—y.2,,4t

yxyxt+J+p-

3

原式可化為二T,再利用函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的最大值.

u+—

U

2孫?孫=21

222

【詳解】X+4/x+y^x+4y,設(shè)r=—。>0),

yxy尤-V

2

3(7+2/)3(，+丁

所以原式=--j+----r=空--+2

"4"廠+4hi〃+5/+4一產(chǎn)+5+1

令式=f+—(/>0),〃22V2.

3u3V3_3_2式

所以原式二戶ZU+-2豆+1-V23

u2724

（函數(shù)y=M+!在［2應(yīng),+00）上單調(diào)遞增）

U

故答案為：巫

3

【點(diǎn)睛】⑴本題主要考查基本不等式，考查函數(shù)丫=兀+工的圖像和性質(zhì)，考查換元法的運(yùn)用，意在考查學(xué)生

X

對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化的能力及數(shù)形結(jié)合的思想方法；⑵解答本題的關(guān)鍵是兩次換元，第一次

XQ

是設(shè)/=—（/>0）,第二次是設(shè)M=r+2（r>0）,換元一定要注意新元的范圍.

yt

反思提升：

1.利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.

2.常數(shù)代換法，主要解決形如“已知x+y=/（/為常數(shù)），求烏+令的最值”的問題，先將包+自轉(zhuǎn)

xyxy

化為仁+斗沖2,再用基本不等式求最值.

12

3.當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和

為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.

4.構(gòu)建目標(biāo)式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對(duì)和式或積式利用基本不

等式，構(gòu)造目標(biāo)式的不等式求解.

【考點(diǎn)2］基本不等式的綜合應(yīng)用

一、單選題

1.（2024?山東濟(jì)寧?一模）己知AABC的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為。，"c,且a=3,acosB=（2c-b）cosA,

則AABC面積的最大值為（）

A.噸B.噸C.多D.2

4242

2.（21-22高一上?河南商丘,期末）若對(duì)任意實(shí)數(shù)無>0,y>0,不等式x+而Wa（x+y）恒成立，則實(shí)數(shù)。的

最小值為（）

A.鋁B.C.V2+1D.與

二、多選題

3.（2023?河北保定?二模）如圖，正方形ABCD的邊長為1,尸、。分別為邊A3、D4上的動(dòng)點(diǎn)，若△APQ

的周長為定值2,則（）

A.NPCQ的大小為30。B.△尸CQ面積的最小值為0-1

C.PQ長度的最小值為2點(diǎn)-2D.點(diǎn)C到尸。的距離可以是日

22

4.（2021?全國?模擬預(yù)測）己知尸為橢圓C:?+5=1的左焦點(diǎn)，直線八了=丘化工。）與橢圓C交于A,

8兩點(diǎn)，AELx軸，垂足為E,8E與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為P,則（）

14廣

A.R可+聞的最小值為2B.面積的最大值為起

C.直線BE的斜率為:左D.為鈍角

三、填空題

5.（2024?廣東深圳?一模）已知函數(shù)/（x）=a（x-玉）（x-X2）（x-X3）（a>0）,設(shè)曲線y=/（x）在點(diǎn)

處切線的斜率為左。=1,2,3）,若不，尤2,W均不相等，且&=-2,則勺+的的最小值為

13

21

6.（2021?湖北襄陽?一模）已知x>0,丁>0,且一+—=1,若x+2y>根2+2根恒成立，則實(shí)數(shù)加的取值范

%y

圍是.

參考答案：

1.A

【分析】利用正弦定理對(duì)已知條件進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，求得A,結(jié)合余弦定理以及不等式求得稅的最大值，再

求三角形面積的最大值即可.

【詳解】因?yàn)?cosB=（2c-b）cosA,由正弦定理可得：sinAcosB=2sinCeosA-sinBcosA,

即sin（A+B）=2sinCcosA,sinC=2sinCcosA,

又Ce（0,7t）,sinCVO,故cosA=］；由Ae（0,兀），解得A=1；

22

由余弦定理，結(jié)合〃=3,可得cosA=.i二°h+c，-9，

22bc

即廿+/=A+9N2）C,解得6c<9,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí)取得等號(hào)；

故AABC的面積S=』bcsinA=Lx，lbc4^x9=28,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí)取得等號(hào).

22244

即AABC的面積的最大值為名g.

4

故選：A.

2.D

【分析】分離變量將問題轉(zhuǎn)化為上叵對(duì)于任意實(shí)數(shù)x>0,y>0恒成立，進(jìn)而求出史4五的最大值,

x+yx+y

設(shè)J2=k>0）及1+r=>1）,然后通過基本不等式求得答案.

【詳解】由題意可得，上且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x>0,y>0恒成立，則只需求史4五的最大值即可,

x+yx+y

yy

1+1+i+y

x+—12L,設(shè)J)=k>0),則—VA=i+t,再設(shè)l+z=mO>D,則——厄=i+tm

2

x+y1+)x1+/1+)1+”l+(m-l)

XXx

m11e+i

2出=0-1時(shí)取得"=".

m2-2m+222A/2-22，當(dāng)且僅當(dāng)m=——=>

m-\——mx

m

所以即實(shí)數(shù)。的最小值為叵U.

22

故選：D.

14

3.BC

【分析】選項(xiàng)A：設(shè)線段3P、。。的長度分別為。、b,可得尸。=。+6,可得。+。=1-仍，設(shè)ZBCP=a,

NOCQ=￡可得tan（a+/）=l,可得ZPCQ=45。；

選項(xiàng)B：設(shè)NDCQ=40。＜。＜45。）可得SAPCQ=^CQCPsm45。=1+^:20+45。），由0°＜。＜45。可得

SAPC?！?1；

選項(xiàng)C：由a+b=l-ab,PQ="+6根據(jù)基本不等式可得；

選項(xiàng)D：根據(jù)線段成、。。的長度分別為。、b,可得直線尸。的方程為

(1—b)x+(l—a)y=(l—。)(1一切=2—2(。+6),根據(jù)距離公式可得距離為1.

【詳解】選項(xiàng)A：

設(shè)線段5P、。。的長度分別為。、b,NBCP=a,^DCQ=13

貝!]AP=]_a,AQ=1—b,

因?yàn)椤鰽P。的周長為定值2,所以PQ=a+6.

則由勾股定理得(a+6)2=(I-。)？+(1-6)2,BPa+b-l-ab,

,八，一1/c、tana+tanQa+b,

又因?yàn)閠an(z=a,tan,=6,于是tan(c+尸)=■----------=;------=1

1)-tanortanpl-ab

因?yàn)?？＜a+4＜90,所以a+4=45。即/PC0=45。，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：

設(shè)〃CQ=6（O<e<45。）,貝！|NBCP=45。一e,CQ=]CP=_____-_____

日商，cos（450-0）,

------7--------?sin450

cos（45。-。r）

111顯

=-X----------X—=------------------=------------

2cos。V24.a2

——cosc/H-----sine/

22

]________

2cos之e+2cos6sine

_______1_______

cos2。+1+sin20

________1________

l+V2sin（26>+45°）

因?yàn)?。<6><45。所以45°<26+45°<135°,BP—<sin（26+45。）41,

2

15

故夜-l\+&sin（2e+450）<5'故B正確；

選項(xiàng)C：由A選項(xiàng)的推理可知。+。=1一M，PQ=a+b

所以o+6=l-a621-1彎］,所以尸。上1一［等］,即PQ2+4PQ—4N0

又因尸Q>0得尸。22應(yīng)-2,當(dāng)且僅當(dāng)。=6即取=。。時(shí)等號(hào)成立，故C正確;

以A3為x軸正向，AD為了軸正向建立平面直角坐標(biāo)系，

又選項(xiàng)A可知：P（l-tz,O）,2（O,1-Z?）,,a+b=\-ab,

則直線PQ的方程為F+即（l-6）x+（l—a）y=（l-a）?！＃?2—2（a+b）,

1—67\—b

即（1一/?）龍+（l-a）y+2（a+Z?）-2=0,

則。點(diǎn)到直線P。的距離

_Ia2+2ab+b2

~\\-2b+b*1+\-2a+a1

Ia1+2(1—a—b^+b2

~\l-2b+b2+l-2a+a2

=1

故D錯(cuò)誤.

故選：BC

4.BC

【分析】A項(xiàng)，先由橢圓與過原點(diǎn)直線的對(duì)稱性知，|AF|+忸尸|=4,再利用1的代換利用基本不等式可得

最小值：，A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，由直線與橢圓方程聯(lián)立，解得交點(diǎn)坐標(biāo)，得出面積關(guān)于左的函數(shù)關(guān)系式，再求

函數(shù)最值；C項(xiàng)，由對(duì)稱性，可設(shè)4（%。,%）,則3（-%-%）,E（xo,O）f則可得直線m的斜率與人的關(guān)系；

16

A211

D項(xiàng)，先由A、8對(duì)稱且與點(diǎn)P均在橢圓上，可得％.%=—4=――,又由C項(xiàng)可知浮5=女跖=7左，得

a22

心臉=一1，即N/%?=90。，排除D項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為歹"連接AT,BF',

則四邊形AF'BF為平行四邊形，

.-.|AF|+|BF|=\AF\+\AF'\=2a=4,

當(dāng)且僅當(dāng)忸戶|=2|AF|時(shí)等號(hào)成立，A錯(cuò)誤;

±2

對(duì)于B,由4?得戶后h

y=kx

.|y_yI-4Ifel

11||?對(duì)4/—

:.^ABE的面積$一5"回一.VBI-]+2左2--2

當(dāng)且僅當(dāng)憶=土變時(shí)等號(hào)成立，B正確;

2

對(duì)于C,設(shè)A1,%）,則E（%,0）,

故直線BE的斜率凝E=上顯=；&=弓左，C正確;

%o+%o/工0Z

對(duì)于D,設(shè)P（w〃），直線以的斜率額為即A，直線總的斜率為％,

n+yrr-yl

貝!IkpA*k="%0=

PB2

m—x0m+x0m-XQ

2222

又點(diǎn)尸和點(diǎn)A在橢圓C上，.[2+土=1①，血+生=1②,

4242

①-②得^4=-；，易知%=*=,，

m—xQ22

則%—,得%=一1,

?k.k

../VpA7VAe-k=-l,.-.ZPAB=90°,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

17

22

已知橢圓［+2=1（“＞。＞0）,A2為橢圓經(jīng)過原點(diǎn)的一條弦，P是橢圓上異于A、8的任意一點(diǎn)，若kpA，kpB

ab

都存在，則%?%=-4.

a

5.18

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得&?=L2,3）的表達(dá)式，由此化簡推出：+!=結(jié)合42=-2說明

?V|￡3乙

勺〉0次3＞。，繼而利用基本不等式，即可求得答案.

【詳解】由于九一%）（%-%2）（%-%3）3＞。），

故/'（%）=］［（%——%2）+（無一%2）（%—兀3）+（%—%3）（1—七）］，

故％=4（%一%）（王一電），攵2=〃（%2—電）（%2—芯），&=〃（電一石）（七一工2），

111111

則---1---1---=-7-------------r-7--------------r+-7--------------r

XXaXXXX

、k\k2k3ayxx-^2）（1~3）〃（工2一工3）（工2一須）（3~1）