2025年高考數(shù)學一輪復習講義：空間點、直線、平面之間的位置關系（原卷版）

專題37空間點、直線、平面之間的位置關系（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................4

【考點突破】................................................................6

【考點1］基本事實的應用....................................................6

【考點2】空間位置關系的判斷................................................8

【考點3】異面直線所成的角..................................................9

【分層檢測】...............................................................11

【基礎篇】.................................................................11

【能力篇】.................................................................14

【培優(yōu)篇】.................................................................15

考試要求：

1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上抽象出空間點、直線、平

面的位置關系的定義.

2.了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題.

知識梳理

L與平面有關的基本事實及推論

(1)與平面有關的三個基本事實

基本事實內(nèi)容圖形符號

A,B,。三點不共

基本過不在一條直線上的三

線=存在唯一的a

事實1個點，有且只有一個平面/J'/

使A,B,C^a

如果一條直線上的西仝

基本AC/,5?/,且Ada,

點在一個平面內(nèi)，那么這

事實2/BGan/ua

條直線在這個平面內(nèi)

如果兩個不重合的平面

基本有一個公共點，那么它們P^a,且尸?夕今a

事實3有且只有一條過該點的nj3=i,且pc/

公共直線

(2)基本事實1的三個推論

推論內(nèi)容圖形作用

經(jīng)過一條直線和這條直線外

推論1

一點，有且只有一個平面

經(jīng)過兩條相交直線，有且只確定平面的

推論2

有一個平面依據(jù)

經(jīng)過兩條平行直線，有且只

推論3

有一個平面/7/

2.空間點、直線'平面之間的位置關系

2

圖形

7

相交語言Xy

關系符號

aAa=AaC0=l

語言

圖形

7^7

獨有語言

關系符號a,b是

〃ua

語言異面直線

3.基本事實4和等角定理

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

等角定理：如果空間中兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

4.異面直線所成的角

⑴定義：已知a,》是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點。作直線"〃a,b'//b,把優(yōu)與加所

成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.

（2）范圍：fo,?.

|常用結(jié)論

1.證明點共線與線共點都需用到基本事實3.

2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異

面直線所成的角，也可能等于其補角.

；■真題自測

一、單選題

1.（2024?全國,高考真題）設辦￡為兩個平面，5、〃為兩條直線，且a6=根.下述四個命題:

①若則"http://?；?〃分②若則“_1_<7或"，力

③若〃〃a且〃///,貝|加/“④若”與心,△所成的角相等，則利，〃

其中所有真命題的編號是（）

3

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

2.（2024?天津,高考真題）若私〃為兩條不同的直線，a為一個平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若mlla,nila,貝B.若貝!J加〃〃

C.若，7〃/a,〃_La,則D.若加〃a,〃_La,則機與〃相交

3.（2022?浙江?高考真題）如圖，己知正三棱柱ABC-A百G，AC=明，E,尸分別是棱3C,AG上的點.記

防與Ad所成的角為a,E尸與平面ABC所成的角為夕，二面角歹-3C-A的平面角為/,貝U（）

A.a<P<yB.(3<a<yC.P<y<aD.a<y</3

4.（2021?全國?高考真題）在正方體ABCD-ABCQ中，P為8a的中點，則直線尸8與A，所成的角為（）

二、多選題

5.（2022?全國?高考真題）已知正方體ABCD-AgG。，貝U（）

A.直線BG與D4,所成的角為90。B.直線8。與C4所成的角為90。

C.直線BG與平面班離。所成的角為45。D.直線Bq與平面ABC。所成的角為45。

6.（2021?全國?高考真題）如圖，在正方體中，。為底面的中心，尸為所在棱的中點，M,N為正方體的頂

點.則滿足的是（）

4

「1

三、解答題

7.（2021?北京?高考真題）如圖：在正方體ABCD-ABCI。1中,E為42中點，BC與平面CDE交于點尸.

H

（1）求證：尸為4G的中點;

（2）點加是棱的上一點，且二面角小心E的余弦值為f求吃的值.

8.（2021?浙江?高考真題）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是平行四邊形,

ZABC=120°,AB=1,BC=4,PA=V15,M,N分別為BC,PC的中點，PDLDC,PMLMD.

(1)證明：ABLPM-,

（2）求直線AN與平面尸DM所成角的正弦值.

考點突破

【考點11基本事實的應用

一、單選題

1.（2002?全國?高考真題）已知"為異面直線，機u平面a,“u平面夕，&「'￡=/,則/（）

A.與優(yōu)，〃都相交B.與機，”中至少一條相交

C.與機，〃都不相交D.至多與小，〃中的一條相交

5

2.（2024?四川綿陽?模擬預測）如圖所示，在正方體4BCD-ABG。中，M是棱A4上一點，平面與

棱CG交于點N.給出下面幾個結(jié)論，其中所有正確的結(jié)論是（）

①四邊形"5AQ是平行四邊形；②四邊形MBNA可能是正方形；③存在平面與直線Bq垂直;

④任意平面MBNA都與平面ACBI垂直.

A.①②B.③④C.①④D.①②④

二、多選題

3.（2023?河北?模擬預測）如圖，已知正方體A8CO-A耳G"的棱長為1,O為底面A8CZ）的中心，AQ交

平面ABO于點E,點P為棱C。的中點，則（）

A.4，瓦。三點共線B.異面直線8。與所成的角為60°

c點G到平面48。的距離為與9

D.過點AI，產(chǎn)的平面截該正方體所得截面的面積為5

O

4.（2022?全國?模擬預測）如圖，在正方體ABCD-EFHG中，M,N分別為FH,EE的中點，則（）

6

A.AN,BF,CM三條直線不可能交于一點，平面ACW_L平面加G尸

B.AN,BF,CM三條直線一定交于一點，平面ACM?V_L平面BDG尸

C.直線AE與直線CM異面，平面AEHC_L平面A3CD

D.直線AE與直線CM相交，平面ACMV_L平面ABCD

三、填空題

5.（2024?山東濟南?三模）在正四棱柱A8CD-446A中，AB=4,e=6,M,N分別是AB,AD的中

點，則平面MNG截該四棱柱所得截面的周長為.

6.（2021?全國?模擬預測）如圖，在直三棱柱ABC-4與C中，AAi=AB=BC=2,D,E分別為84，AG

分如中點，則過點A,D,E的截面與三棱柱的側(cè)面BCG片的交線的長為

反思提升：

共面、共線、共點問題的證明

（1）證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線（或點）在這個平面內(nèi).

（2）證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.

（3）證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

【考點21空間位置關系的判斷

一、單選題

1.（2023?浙江嘉興?二模）已知正方體ABC。-4耳GR的棱長為2,P為空間內(nèi)一點且滿足AP工平面48。,

過4B作與"平行的平面，與4G交于點Q,則CQ=（）

A.1B.yf2C.5/3D.y/5

2.（2021?全國?模擬預測）已知〃，/是三條不同的直線，a,用是兩個不同的平面，則下列結(jié)論一定

正確的是（）

A.若"ua,Iua,m±n,mil,則

B.若根/〃，IIIa,則；"http://a

C.若〃z_L〃，n±Z,I'0,則

D.若mJ/a,nL/3,a11/3,則〃2〃

7

二、多選題

TT

3.（2024?浙江,三模）已知平面a,/3,直線a,b,若C分，ac￡=a,匕與a所成的角為;，則下列結(jié)

6

論中正確的有（）

A.a內(nèi)垂直a的直線必垂直于用

B.a內(nèi)的任意直線必垂直于夕內(nèi)的無數(shù)條直線

C.6與4所成的角為g

D.6與。內(nèi)的任意一條直線所成的角大于等于9

4.（23-24高二上?湖北恩施?期中）在棱長為2的正方體ABCD-AACIA中，E,E分別為AB,BC的中

點，則（）

A.異面直線。2與3/所成角的余弦值為W

B.點尸為正方形44G2內(nèi)一點，當。尸〃平面與E/時，DP的最大值為當

C.過點2，E,產(chǎn)的平面截正方體ABCD-AgCR所得的截面周長為2回+后

D.當三棱錐耳-BE尸的所有頂點都在球。的表面上時，球。的表面積為6兀

三、填空題

5.（2023?全國?模擬預測）己知外月是兩個不同的平面，以”是平面以月外兩條不同的直線，給出四個條件：

?m±n；②a〃￡；③n邛;@mla,以下四個推理與證明中，其中正確的是.（填寫正確推理與

證明的序號）

（1）已知②③④，則①成立

（2）已知①③④，則②成立

（3）已知①②④，則③成立

（4）已知①②③，則④成立

6.（2022?北京平谷?模擬預測）設棱長為2的正方體AB。-，E是AD中點，點M、N分別是棱A3、

GA上的動點，給出以下四個結(jié)論：

①存在EN〃MQ；

②存在ACV_L平面ECQ；

③存在無數(shù)個等腰三角形EMN;

~24~

④三棱錐C-肱VE的體積的取值范圍是-,J.

則所有結(jié)論正確的序號是.

8

反思提升：

空間中兩直線位置關系的判定，主要是異面，平行和垂直的判定.異面直線的判定可采用直接

法或反證法；平行直線的判定可利用三角形（梯形）中位線的性質(zhì)、基本事實4及線面平行與面

面平行的性質(zhì)定理；垂直關系的判定往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來解決.

【考點3】異面直線所成的角

一、單選題

1.（2024?江西南昌?二模）在三棱錐A-BCZ）中，AB1平面BCD,AB=6，BC=BD=CD=2,E,F

分別為AC,CO的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AF,BE是異面直線，AF.LBEB.AF,BE是相交直線，AF.LBE

C.AF,BE是異面直線，AF與BE不垂直D.AF,BE是相交直線，"與物不垂直

2.（2024?陜西西安?模擬預測）如圖，這是一個正方體的平面展開圖，在該正方體中，下列命題正確的是（）

A.AB//HGB.CGLBHC.CGLDHD.AC//DG

二、多選題

3.（2024?全國?模擬預測）如圖，已知正三棱錐A-P3C和正三棱錐。-P3C的側(cè)棱長均為0,BC=2.若

將正三棱錐A-P3C繞BC旋轉(zhuǎn)，使得點4尸分別旋轉(zhuǎn)至點A',P處，且A',8,C,。四點共面，點4,0分別位

于3C兩側(cè)，則下列說法中正確的是（）

A.多面體ABDPC存在外接球B.PP'LBC

C.PP7/平面A%）CD.點P運動所形成的最短軌跡長大于叵

3

4.（2024?江西宜春?模擬預測）如圖，在棱長為2a的正方體ABC。-A與GA中，點尸在線段BG上運動,

則（）

9

G

A.平面尸平面AC，

B.三棱錐2-APC的體積為定值

C.異面直線4尸與A2所成角的取值范圍是錯

D.當尸為BG的中點時，三棱錐瓦-ACR的外接球的表面積為24兀

三、填空題

5.（2024?上海崇明?二模）已知底面半徑為1的圓柱，。是其上底面圓心，A、B是下底面圓周上兩個不同

的點，8C是母線.若直線Q4與BC所成角的大小為三，則3C=.

6.（2022?重慶沙坪壩,模擬預測）如圖，已知“，6是相互垂直的兩條異面直線，直線A8與6均相互垂

直，且48=26,動點。。分別位于直線。，b上，若直線PQ與所成的角夕=已三棱錐A-BPQ的

6

體積的最大值為.

反思提升：

1.綜合法求異面直線所成角的步驟：

（1）作：通過作平行線得到相交直線.

（2）證：證明所作角為異面直線所成的角（或其補角）.

（3）求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是栗求的角；如果求

出的角是鈍角，則它的補角才是栗求的角.

2.向量法：利用向量的數(shù)量積求所成角的余弦值.

分層檢測

【基礎篇】

一、單選題

1.（2024?安徽蕪湖?三模）下列說法正確的是（）

10

A.正方體各面所在平面將空間分成27個部分

B.過平面外一點，有且僅有一條直線與這個平面平行

c.若空間中四條不同的直線4,4,44滿足4A。，。，則

D.若犯〃為異面直線，機，平面a,平面夕，且a與夕相交，若直線/滿足/，〃?,/，〃，貝心必平行于

?和夕的交線

2.（2024?上海?三模）如圖，點N為正方形ABC。的中心，，ECD為正三角形，平面ECZM平面ABC。，M

是線段E8的中點，則（）

A.DM*EN,且直線QM、EN是異面直線

B.DM=EN,且直線DM、EN是異面直線

C.DMHEN,且直線DW、EN是相交直線

D.DM=EN,且直線DM、EN是相交直線

3.（2020?四川眉山?二模）給出以下四個命題：

①依次首尾相接的四條線段必共面；

②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；

③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相等；

④垂直于同一直線的兩條直線必平行.

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

4.（2024?山東日照?一模）已知/，根是兩條不同的直線，a為平面，mua,下列說法中正確的是（）

A.若/與a不平行，則/與機一定是異面直線

B.若/〃a,貝心與根可能垂直

C.若/Ia=A,且4e加，則/與可能平行

D.若/Ie=A,且/與a不垂直，貝!]/與機一定不垂直

二、多選題

5.（2024?云南昆明?模擬預測）如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中（）

11

A.AF//CNB.BMIDE

C.CN與成60。角D.AE與是異面直線

6.（2024?山西運城?一模）設人6是兩條不同的直線，a,￡是兩個不同的平面，則下列命題正確的有（）

A.若a〃a,b〃a,則a〃bB.若。_La,6_La,貝!|a//Z）

C.a//b,b//a,a（za,則a〃aD.若a//a,a//6,a<z尸，則a〃6

7.（2024?廣東深圳?二模）已知優(yōu)，〃是異面直線，mua,nu/3,那么（）

A.當機_L〃，或〃_L&時，a1/3

B.當;"http://〃，且“〃a時，a!I{3

C.當a-L/?時，mVP,或〃_La

D.當a,用不平行時，機與夕不平行，且〃與a不平行

三、填空題

8.（20-21高二上?山西太原?階段練習）下列命題中正確的命題為.

①若，ABC在平面a外，它的三條邊所在的直線分別交a于P、。、R,則產(chǎn)、。、R三點共線；

②若三條直線a、b、c互相平行且分別交直線/于AB、C三點，則這四條直線共面；

③若直線a、6異面，b、c異面，則。、。異面；

④若a_Lc,6_Lc,貝!|a〃4

9.（2024?江蘇南通?二模）己知二面角夕-/一月為直二面角，A&a,Be/,A^l,B隹I,則AB與a,夕

所成的角分別為A3與/所成的角為_________.

64

10.（2005?山東?高考真題）已知機、”是不同的直線，a、乃是不重合的平面，給出下列命題：

①若allp,mua,nu0,則mlln；

②若m,nc:a,m//P，n///3,則all/3；

③若〃?」/〃，#,m//〃，則a〃尸；

④是兩條異面直線，若mUa,m//0,n//a,nll/3,則a//￡.

上面的命題中，真命題的序號是.（寫出所有真命題的序號）

四、解答題

11.（2022?陜西西安?模擬預測）如圖，在正四面體中，點￡,F分別是A3,8C的中點，點G,H

12

⑴求證：直線EH,FG必相交于一點，且這個交點在直線8。上；

（2）若AB=2,求點B到平面EFG8的距離.

12.（2023?廣東汕頭?二模）如圖,正方體ABCD-^QD,中，直線/u平面,I=E,A.E=3EQ.

（1）設人Bg=P,lcCR=Q,試在所給圖中作出直線/,使得UCE,并說明理由；

（2）設點A與（1）中所作直線/確定平面a.

①求平面a與平面ABCD的夾角的余弦值；

②請在備用圖中作出平面。截正方體ABCD-AAGR所得的截面，并寫出作法.

【能力篇】

一、單選題

1.（2023?天津和平?三模）已知正方體ABC。-A4GA的棱長為6,點E,尸分別在棱44，AC上，且

“D.ED.F1_,

旃足==￡，點。為底面.CD的中心，過點E,F,。作平面EFO,則平面￡FO截正方體

ABCO-AACA所得的截面面積為（）

A.8后B.6722C.4722D.2722

二、多選題

2.（2024?全國?模擬預測）已知利〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個不同的平面，則（）

A.若m〃a,m1/3,則B.若mua,wu0,則加與“為異面直線

C.若則〃2〃￡D.若加_La,"〃a,則

13

三、填空題

3.（2006?四川?高考真題）加，“是空間兩條不同的直線，尸是空間兩個不同平面，下面有四個命題:

①加J_a,B，all。工n；

（2）m±n,alip,mLa