2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：空間向量及其應(yīng)用（解析版）

專題40空間向量及其應(yīng)用（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................4

【考點突破】................................................................9

【考點1】空間向量的運算及共線、共面定理....................................9

【考點2】空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用..........................................17

【考點3】利用空間向量證明平行與垂直........................................25

【分層檢測】...............................................................35

【基礎(chǔ)篇】.................................................................35

【能力篇】.................................................................46

【培優(yōu)篇】.................................................................52

考試要求：

1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐

標(biāo)表不.

2.掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示.

3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.

4.理解直線的方向向量及平面的法向量.

5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.

6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.

■■知識梳理

L空間向量的有關(guān)概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反且模相等的向量

共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相生狂或重

(或平行向量)合的向量

共面向量平行于同一個平面的向量

2.空間向量的有關(guān)定理

(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a,雙方力0),的充要條件是存在實數(shù)九使得好

運

(2)共面向量定理：如果兩個向量a,8不共線，那么向量p與向量a,8共面的充要條件是存

在唯二的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使。=迎土地.

(3)空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對任意一個空間向量p,存在唯一

的有序?qū)崝?shù)組｛x，y，z｝,使得〃=xa+y/>+zc,其中，｛a,b,c｝叫做空間的一個基底.

3.空間向量的數(shù)量積

(1)兩向量的夾角：已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點。，作為=a,OB=b,則NA03

叫做向量a與8的夾角，記作(a,b),其范圍是「0,兀］,若〈a,b)=/,則稱a與b互相垂

直,記作a_Lb.

(2)兩向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量a,b,則|a||Z>|cos｛a,b)叫做a,的數(shù)量積，記作a。，

即a-/>=|a||/>|cos〈a,b).

⑶空間向量數(shù)量積的運算律

①結(jié)合律：(2a)Z>=A(a-Z>)；

②交換律：ab=ba；

③分配律：a-(b+c)=a-b-\-a-c.

2

4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)a=(ai,ai,ai),b—(bi,bi,bi).

向量表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a-baibi+o2b2+〃3加

共線0=勸(*0,2￡R)m=2bi1Q2=Xb?,(13=21)3

垂直a?A=O(aWO,bWO)〃如+aib?+〃3卜3=0

模l?lA/屏+港+孱

/,、aibi+〃2歷+〃3歷

夾角〈a,b)(aWO,b彳0)［濟+〃鄉(xiāng)+泊\/胡+慶+員

5.直線的方向向量和平面的法向量

⑴直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線/平行或重合,則稱此向

量a為直線/的方向向量.

⑵平面的法向量：直線取直線/的方向向量a,則向量a叫做平面a的法向量.

6.空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

h//hUl//〃2=〃1=2〃2

直線/1,/2的方向向量分別為"1,M2

Z1X/2W1_L〃2=〃l〃2=0

直線/的方向向量為〃，平面a的法l//a〃J_〃=〃?〃=0

向量為“l(fā)-Lau//n=u=^n

a///3m//〃2=〃1=力12

平面a,￡的法向量分別為m,〃2

a邛m_L鹿2=〃i：〃2=0

|常用結(jié)論

1.在平面中A,B,C三點共線的充要條件是：應(yīng)=》所十>沅(其中x+y=l),。為平面內(nèi)任

意一點.

2.在空間中P,A,B,C四點共面的充要條件是：舁=%以十y屈+z沆(其中x+y+z=l),0

為空間任意一點.

3.向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即aZ="a,a-(Z>+c)=a?b+a-c成立，但不滿足結(jié)合

律，即(a0)-c=aQ-c)不一定成立.

4.在利用疚=x協(xié)+薪證明MN〃平面ABC時，必須說明M點或N點不在平面ABC內(nèi).

3

u真題自測

一、單選題

1.（2023?全國?高考真題）己知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為4的正方形，PC=PD=3,ZPCA=45°,

則△尸3c的面積為（）

A.272B.3^C.472D.672

二、多選題

2.（2021?全國?高考真題）在正三棱柱ABC-A.BG中，AB=AAl=l,點P滿足麗=4阮+〃兩，其中

/le[0』，〃e[0,1],則（）

A.當(dāng)4=1時，ZV1用尸的周長為定值

B.當(dāng)〃=1時，三棱錐尸-ABC的體積為定值

C.當(dāng)時，有且僅有一個點尸，使得4尸，2尸

D.當(dāng)M=g時，有且僅有一個點P,使得A3,平面4用尸

三、解答題

3.（2023?全國?高考真題）如圖，在三棱錐尸—ABC中，AB±BC,AB=2,BC=2丘,PB=PC=a,

3P,AP,3c的中點分別為，及O,點尸在AC上，BFLAO.

⑴求證：EF〃平面ADO；

（2）若/POE=120。，求三棱錐P-ABC的體積.

參考答案：

1.C

【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得,PDO三APCO,,PDBmPGl,從而得到上4=PB,

再在..R4c中利用余弦定理求得P4=Ji7,從而求得尸8=折，由此在△P3C中利用余弦定理與三角形面

積公式即可得解；

4

法二：先在./AC中利用余弦定理求得PA=J討，cosZPCB=1,從而求得尸A.PC=-3，再利用空間向量

的數(shù)量積運算與余弦定理得到關(guān)于網(wǎng),/瓦力的方程組，從而求得依=J萬，由此在△「改?中利用余弦定理

與三角形面積公式即可得解.

【詳解】法一：

連結(jié)AC,血交于。，連結(jié)PO,則。為AC,的中點，如圖，

因為底面ABC￡>為正方形，AB=4,所以AC=3D=4應(yīng)，則OO=CO=20,

又PC=PD=3,PO=OP,所以“PDOMPCO,貝U/PDO=/PCO,

又PC=PD=3,AC=BD=4啦,所以aPDB三PCA,則PA=PB,

在，叢C中，PC=3,AC=4V2,ZPCA=45°,

貝lj由余弦定理可得PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x472x3x—=17,

2

故尸4=如，貝1|尸8=而，

故在△PBC中，PC=3,PB=后,BC=4,

PC?+BC?-PB?9+16-17_1

所以cosNPCB=

2PCBC2x3x4-3

又0<NPCB<n,所以sinNPCB=Jl-cos?NPCB=,

3

所以△P3C的面積為5=!尸。及7$吊/尸（78=*3*4*3&=451份.

223

法二:

連結(jié)AC/。交于。，連結(jié)尸。，則。為AC,3D的中點，如圖,

5

因為底面AfiCD為正方形，AB=4,所以AC=BD=4應(yīng)，

在，B4c中，PC=3,/PC4=45。，

222

貝1|由余弦定理可得PA=AC+PC-2AC-PCCOSZPCA=32+9-2X4JIx3x—=17,故=

2

17+9-32717

所以cosNAPC=P4+PCYO則

2PAPC2XVT7X3-17

PAPC=|PA||pc|cosZAPC

不妨記PB=m,ZBPD=e,

因為/>0=3（尸4+/>?）=3（28+/>0）,所以（PA+尸C）°=（PB+PD）2,

art-2222

BPPA+PC+2PAPC=PB+PD+2PBPD-

2

貝5|17+9+2x（—3）=7/+9+2x3xmcos6,整理得m+6??zcos0-11=0①，

22

又在APBD中，瓦）2=PB+PD-2PB-PDcosNBPD，即32=療+9-cos6,則療一6利cos6-23=0②,

兩式相力口得一34=0,故尸8=機=舊，

故在△BBC中，PC=3,PB=gBC=4,

PC-+BC2-PB-9+16-17_1

所以cosNPC3=

2PCBC-.2x3x4-3

X0<ZPCB<7t,所以sinNPCB=Jl-cos?NPCB=-,

3

所以△P3C的面積為5=!尸。放人也/尸（72=!義3*4*名旦=4直.

223

故選：C.

2.BD

【分析】對于A,由于等價向量關(guān)系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進而確定點的坐標(biāo)；

對于B,將尸點的運動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路線，進而考慮體積是否為定值；

對于C,考慮借助向量的平移將P點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解P點的個數(shù);

對于D,考慮借助向量的平移將P點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解P點的個數(shù).

【詳解】

6

易知，點尸在矩形2CG片內(nèi)部（含邊界）.

對于A,當(dāng)4=1時，前=或+〃西=近+即此時Pe線段CG，周長不是定值，故A錯

誤;

對于B,當(dāng)〃=1時，而=4前+西=西+4瓦瓦，故此時尸點軌跡為線段用q,而BCJ/BC,BiG〃平

面ABC,則有P到平面ABC的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確.

對于C,當(dāng)時，麗=：前十曲瓦,取BC,4G中點分別為Q,H,則麗=麗+〃麗，所以尸點

軌跡為線段?！?，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，4（今0,1）,P（0,0,〃），B（0,|,0）,則中=

BP=（0,-l，H），布?喬=〃（〃—1）=0,所以〃=0或〃=1.故耳。均滿足，故C錯

誤；

對于D,當(dāng)〃=：時，BP=ABC+取8片，CG中點為BP=~BM+XMN,所以尸點軌跡為

線段ACV.設(shè)P（0,y（）,J因為0,0），所以AP=（_y，yo<0,AiB=（一,卷,—所以：+泌一；

。今加=一|，此時P與N重合，故D正確.

故選：BD.

【點睛】本題主要考查向量的等價替換，關(guān)鍵之處在于所求點的坐標(biāo)放在三角形內(nèi).

3.（1）證明見解析

（2）或

3

【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形ODEF為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

7

(2)作出并證明尸加為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.

【詳解】(1)連接。E,OF,設(shè)AF=zAC,貝!]8尸=84+4尸=(1一/)84+/8。，AO=-BA+^BC,BF1AO,

1_21

則班'.AO=[(l-t)BA+tBC](-BA+-BC)=(r-l)BA-+-rBC2=4(Z-l)+4r=0,

解得f=則F為AC的中點，由RE,Q廠分別為尸員PA,BC,AC的中點，

2

于是。==,即DE//OF,DE=OF,

22

則四邊形ODEF為平行四邊形，

EFIIDO,EF=DO,又EFu平面ADO,DOu平面ADO,

所以砂//平面ADO.

(2)過尸作PM垂直產(chǎn)。的延長線交于點M,

因為尸8=PC,。是2C中點，所以尸O13C,

在Rt△尸30中，PB^^6,BO=-BC=y/2,

2

所以PO=JPB2-OB2=后三=2'

因為AB_LBC,OP//AB,

所以上_L3C,又POcOF=O,尸。,。/<=平面尸。/，

所以3CL平面尸0B,又RWu平面尸0尸，

所以又BQFM=O,平面ABC,

所以川f_L平面ABC,

即三棱錐尸-ABC的高為PM，

因為/尸。尸=120°,所以NPOA/=60°,

所以尸M=POsin60°=2x3=JL

2

XSAABC=|AB-BC=1X2X2A/2=2A/2,

所以Vp-ABC，PM=；x20x=

8

D,

考點突破

【考點1】空間向量的運算及共線、共面定理

一、單選題

1.（2021?上海崇明?一模）若正方體上的點尸、2氏S是其所在棱的中點，則直線尸。與直線RS異面的圖形是

()

2.（2023?黑龍江佳木斯?模擬預(yù)測）給出下列命題，其中錯誤的命題是（）

A.向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面

B.若對空間中任意一點。，有++則P,A,B,C四點共面

442

C.兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線

D.已知向量。=（9,4,T）,6=（1,2,2）,則］在方上的投影向量為（1,2,2）

二、多選題

3.（2022?重慶?模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為正方形，24,底面ABCD,PA=AB,

E、產(chǎn)分別為線段P8、CO的中點，G為線段PC上的動點（不含端點尸），則下列說法正確的是（）

9

p

c

A.對任意點G,則有3、E、G、尸四點共面

B.存在點G,使得A、E、G、歹四點共面

C.對任意點G,則有AG，平面尸3D

D.存在點G,使得EG//平面B4F

4.（22-23高二上?廣東?階段練習(xí)）《瀑布》（圖1）是埃舍爾為人所知的作品.畫面兩座高塔各有一個幾何體,

左塔上方是著名的"三立方體合體"（圖2）.在棱長為2的正方體ABCD-A'B'C'D中建立如圖3所示的空間

直角坐標(biāo)系（原點。為該正方體的中心，x,y,z軸均垂直該正方體的面），將該正方體分別繞著無軸，y軸，

z軸旋轉(zhuǎn)45。，得到的三個正方體,n=l,2,3（圖4,5,6）結(jié)合在一起便可得到

一個高度對稱的“三立方體合體"（圖7）.在圖7所示的“三立方體合體”中，下列結(jié)論正確的是（）

10

圖7

A.設(shè)點紇'的坐標(biāo)為（x“,％,z“），n=\,2,3,則x；+y；+z；=3

2

B.設(shè)^Gl'&外=石，則用石二§

C.點A1到平面B2C2B3的距離為亞

3

77

D.若G為線段與G上的動點，則直線4G與直線44所成角最小為:

0

三、填空題

5.（2023?山東?模擬預(yù)測）己知三棱錐S-ABC,空間內(nèi)一點M滿足-3S8+4SC，則三棱錐M-ABC

與S-ABC的體積之比為.

6.（23-24高二上?浙江麗水?期末）已知三棱錐P-ABC的體積為15,M是空間中一點，

124

PM=--PA+—PB+—PC,則三棱錐A-MBC的體積是.

參考答案：

1.B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出滿足每個選項點的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運算以及向量平行的定義，

結(jié)合異面直線的定義逐項判斷即可.

【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長為2,建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,如圖所示

對于A,由A選項的圖可知，尸（2,l,0）,Q（L2,0）,R（L0,2）,S（0,l,2）,所以尸Q=（T,l,0）,RS=即

PQ=RS,所以PQ//RS,即PQ〃RS,故A錯誤;

11

對于C由C選項的圖可知，尸（2,0,1）,Q（2,1,0）,尺（0,2,1）,s（l,2,0）,所以m=（—2,2,0）,=1,0）,即

PR=2RS，所以PR//QS=>PR//QS,即PQ與共面，故C錯誤；

對于D,由D選項的圖可知，尸（2,0,1）,0（0,2,1）,0（0,1,2）,5（2,1,0）,所以尸5=（0,1,-1）,0尺=（0,-1,1）,即

PS=-QR^PS//QR=>PS//QR,即尸2與RS共面，故D錯誤.

對于B,由B選項的圖可知，尸（2,0,1）,Q（2,1,0）,尺（1,2,2）,5（1,2,0）,所以「。=（0,1,-1）,放=（0,0,-2）,即不存

在實數(shù)4使得PQ=ARS,,即PQ與RS不平行,

由圖可知尸。與RS不相交，所以尸。與RS是異面直線，故B正確.

故選：B.

2.A

【分析】根據(jù)共面向量的性質(zhì)，結(jié)合基底的定義、投影向量的定義進行逐一判斷即可.

【詳解】對于A,向量可以通過平移后共面，但是它們的所在直線不一定是共面直線，故A錯誤;

對于B,OP=；OA+；OB+goC,^（0P-0A）=^（0B-0P）+^（0C-0PyAP=PB+2PC，

所以尸，A,B,C四點共面，故B正確；

對于C,根據(jù)空間向量基底的性質(zhì)可知這兩個向量共線，故C正確；

a-bba-b9+8-8八_..外。*

對于D,〃在人上的投影向量為口耐a\?面=汴力=—―。，2,2）=（L2,2）,

Ml忖9

故D正確.

故選：A.

3.BD

【分析】以點A為坐標(biāo)原點，AB、A￡）、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)上4=AB=2,

利用空間向量法可判斷各選項的正誤.

【詳解】因為PAL底面ABCD,四邊形ABCD為正方形，

以點A為坐標(biāo)原點，AB.AD,AP所在直線分別為彳、'、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

12

設(shè)B4=AB=2,則4(0,0,0)、8(2,0,0)、C(2,2,0)、￡>(0,2,0)、P(0,0,2)、E(l,0,l)、F(1,2,0),

^PG=APC=(22,22,-22),其中0<XVl,則AG=AP+PG=(242彳,2-2；1),

uuu

AE=(1,0,1),AF=(1,2,0),AG=mAE+nAF=(^m+n,2n,rri),

m+n=2A

2

貝Ij2九二2幾,解得根=〃=2=],故存在點G,使得A、E、G、尸四點共面，B對;

m=2-22

=(-1,0,1),=(-1,2,0),BG=BP+PG=(22-2,22,2-2A),

-a-b=2A-2a=2

設(shè)BG=aBE+bBF=(-a-b,2b㈤,所以，[26=22解得卜=0，不合乎題意，A錯;

〃=2—24Z=0

AG=(22,22,2-2/1),BP=(-2,0,2),

若AG_L平面PSD,BPu平面P3D,貝UAG-8P=T2+4—42=4—82=0，解得a=C錯;

設(shè)平面P4F的法向量為"=(尤,y,z),AP=(O,O,2),=(1,2,0),

n-AP=2z=0

取x=2,貝!]〃=(2,-l,0),

n-AF=x+2y=0

EG=EP+PG=(-1,0,1)+(22,22,-22)=(22-1,22,1-22),

若EG〃平面^4F,則￡^/=4彳一2—2幾=2/1—2=0，解得4=1，

故當(dāng)點G與點C重合時，EG〃平面Q4F,D對.

故選：BD.

4.ACD

【分析】正方體的頂點到中心。的距離不變，判斷A,寫出各點坐標(biāo)，利用空間向量法求解判斷BCD.

【詳解】正方體棱長為2,面對角線長為2近，

13

由題意B(l,1,D,C(-l,l,l),0(-1,-1,1),

旋轉(zhuǎn)后A(L—也,o)，G(-1,0,72),卬-1,-忘,0),4(也-i,o),耳(&0),q(o,i,a

Z)2(0,-1,72),%(衣0,1),4(0,0,1),q(-V10,1),2(0,-⑸),

旋轉(zhuǎn)過程中，正方體的頂點到中心。的距離不變，始終為6,因此選項A中，n=l,2,3,x：+y；+z：=3

正確；

員4=(血,一血,。)，設(shè)四點=力用4=(血/1,一血/1,0),貝q

B2E=B2B3+B3E=(一0,0-1,1)+(V22,->/22,0)=(0-&,一歷+72-1,1),

(-72,0,72),

EWBG，則存在實數(shù)熱，使得與后=加82c2，

(0-6-&+0-1,1)=(-萬〃,0,72m),

A/2A-C=—y/2m

<-A/22+A/2-1=0,2=1-^,0B3￡=2B3A3=(1-^)X2=2-A/2,B錯；

1=y[2m

B2C2=(-A/2,0,V2),B3Q=(0,l->/2,V2-l),

設(shè)〃=(x,y,z)是平面與Cz鳥的一個法向量，則

n?B2cz=-y/2x+V2z=0

令x=l,得〃=(1,1,1),

”?咳=(1-&)y+(應(yīng)T)z=。

又4鳥=(一1，2血,1),

I/??I-1+2A/2+112娓

0A到平面B2C2B3的距離為d==I——_I=T-,c正確;

\n\733

32c2=(-3,°，夜)，設(shè)B?G=kB?G=dk,0Qk),(0<^<l),

$G=A,B2+B2G=(0,2,0)+7ik,0,y/2k)=(—伍,2,,

44=(0,夜,回,

cos"A4)="g=2亞+21=氏+k

RG||A聞244k2+42收+1

14

y/2+k(1-圓

令f(k)=則:因=

2正+11(l+k2)yjl+k2

OQ日時，小)＞?！?遞增,泉y時，人)＜。一⑶遞減,

町*)2=，)瀉,又f(0)=與〃八V2+1V2

所以“外

即cos(&G,44，(4G,44)￡［工,?。?

\'/64

TTTT

AG,A片夾角的最小值為9,從而直線4G與直線A4所成角最小為9,D正確.

66

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：本題正方體繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，因此我們可以借助平面直角坐標(biāo)系得出空間點的坐標(biāo)，例

如繞X軸旋轉(zhuǎn)時時，各點的橫坐標(biāo)(X)不變，只要考慮各點在坐標(biāo)平面yOz上的射影繞原點旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)

即可得各點空間坐標(biāo).

5.1

113

【分析】根據(jù)題意，化簡得到彳SM=彳SA-=S8+2SC,結(jié)合空間向量的基本定理，得到在平面ABC內(nèi)存

222

在一點。，使得：SAf=S。，得到%_ABC=K.ABC，即可求解.

13

【詳解】由空間內(nèi)一點M滿足SM=SA-3SB+4SC=2(5&4-5s5+2SC),

113

可得一SM=—SA——SB+2SC,

222

13

因為彳-7+2=1,根據(jù)空間向量的基本定理，可得在平面A3c內(nèi)存在一點。，

22

131

使得S0=QSA—5sB+2SC,所以5sM=SD,即點。為的中點，

可得%.ABC=匕一ABC，所以三棱錐M-ABC和S-ABC的體積比值為1.

故答案為：1.

6.10

15

i24

【分析】根據(jù)題意，由空間向量的運算可得2PM=-,腸1+二加8+二加。，再由空間向量基本定理可得

2PM=MD＞即可得到結(jié)果.

【詳解】

124

因為尸M=—石叢+石23+百「＜7,貝h5PM=—尸4+2P8+4PC，

BP15PM=-PM-MA+2PM+2MB+4PM+4MC，

124

即10尸M=—M4+2M5+4MC，所以2尸M=—1^4+1加3+不加。，

124

因為-W+6+M=1，由空間向量基本定理可知，在平面ABC內(nèi)存在一點￡),

124

^MD=--MA+jMB+-MC^,即2PM=MD，

132

所以PM=—MD,即尸D=—MD,則Affl=—P￡＞,

223

又三棱錐尸-"C的體積為15,

22

則匕一MBC=§匕?4BC=§X15=10.

故答案為：10

反思提升：

1.(1)選定空間不共面的三個向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾

何問題的基本要求.

(2)解題時應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，靈

活運用三角形法則及平行四邊形法則，就近表示所需向量.

2.⑴對空間任一點。，OP=xOA+yAB,若x+y=l,貝U點P,A,3共線.

(2)證明空間四點P,M,A,3共面的方法.

①加=%疝+y血

②對空間任一點。，OP=OM+xMA+yMB.

【考點2】空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

一、單選題

1.(2024?青海?模擬預(yù)測)如圖，在三棱錐P-ABC中，ZAPB=90°,NCPA=Z.CPB=60。，R4=PB=PC=2,

16

點。，E,尸滿足=PE=2EA，AF=FC則直線CE與。尸所成的角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）如圖，在所有棱長均為1的平行六面體ABC。-AgGR中，”為AG與

交點,N54O=/BA4,=ND4A=60。，則8Al的長為（）

A.正B.且C.叵D.在

4422

二、多選題

3.（2024?河北石家莊?三模）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A瓦GR中，M為&C的中點，則下列說

法正確的有（）

A.若點。為3。中點，則異面直線MO與CG所成角的余弦值為手

B.若點N為線段8C上的動點（包含端點），貝的最小值為舊

C.若點P為CD的中點，則平面AWP與四邊形CDAG的交線長為④

D.若點。在側(cè)面正方形A。。A內(nèi)（包含邊界）且MQ^AC,則點。的軌跡長度為近

17

4.（2024?山西太原?模擬預(yù)測）如圖，正八面體片ABCDG棱長為1,M為線段《C上的動點（包括端點）,

貝U（）

P1

A.比坐=、B.BM+MD的最小值為g

TT

C.當(dāng)鳥時，AM與BC的夾角為7D.AMDP2<APXDP2

三、填空題

5.（23-24高三下?上海浦東新?期中）正三棱錐5-ABC中，底面邊長鉆=2,側(cè)棱AS=3,向量”，匕滿足

a\aAC）=alAB,b\bAC）=b?AS,貝?。?一可的最大值為.

6.（23-24高二上?廣東?期末）如圖，正方形ABCD和正方形ABEF的邊長都是1,且它們所在的平面所成的

二面角。-尸的大小是60。，則直線AC和3P夾角的余弦值為.若分別是AC,2尸上的

動點，且AM=BN,則MN的最小值是.

參考答案：

1.D

【分析】設(shè)PA=a，PB=b，PC=c，利用空間向量運算得CE=go-e,DF=^(a-b+c],利用數(shù)量積

的運算律求解數(shù)量積，即可解答.

【詳解】設(shè)尸A=4,PB=b>PC=c>則a-b=0，a-c=b-c=2x2x-=2,

22

CE=PE-PC=-PA-PC=-a-c,

33

DF=PF-PD=^PA+PC^-^PB=-b+c^,

18

“，1-211112

所以C￡?￡>/=—Q——a-b——a-c+—b'Cc=0,

33622

故直線CE與。尸所成的角為90。.

故選：D

2.C

【分析】以44,，AD，AB作為一組基底表示出再根據(jù)數(shù)量積的運算律求出|喻|,即可得解.

［詳解］依題意BM=BB,+BtM=B月+；4R=2月+；(A2-A4)

=AA|+—A,D——AZ?,

所以曲=^AAi+^AD-^AB^

-212121

=朋+—AD+—AB+-AD--AB--AD-AB

=12+—xl2+—xl2+lxlx--Ixlx---xlxlx—=—,

4422224

所以卜*,即手.

故選：C

3.BD

【分析】取BC中點E,連接ME,MO,OE,NOME為異面直線MO與CG所成角，可判斷A；將側(cè)面8CC4

延BC旋轉(zhuǎn)至與平面ABCD共面，根據(jù)兩點間線段最短可判斷B；對于C,如圖以點。為原點，以DAQCQA

為羽y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，取A4靠近用的四等分點，則可證明M7/AP,判斷C；并確定點。的軌

跡為直線無+z=l在正方形4DR4內(nèi)的線段，判斷D.

【詳解】對于A,取中點E,連接MEMO,OE,

則CCJ/ME,所以NOME為異面直線MO與CC］所成角，

ME22亞

在RtZkO石M中，cos/OME=+=/乙=王,故A錯誤；

OMVl2+225

對于B,將側(cè)面BCG瓦延8C旋轉(zhuǎn)至與平面ABCD共面，

如圖連接DM,交BC與點N,此時|肱V|+|DN|最小，

19

^.\MN\+\DN\=\DM\=yj42+]1=y/V7,故B正確；

對于c,如圖，以點。為原點，以DA,z)c,z)〃為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(2,0,0),尸(0,1,0),M(1,2,2),

因為平面ABCD//平面44G，，

所以平面4WP與平面AB]C|A的交線為過點/且平行于AP的直線，

取A片靠近尾的四等分點P,連接FM,并延長交CR于點S,

連接SP,交CC]于點T,

由中1,2),所以“=[1,-；,0)"=(-2,1,0),

貝=則所以北田為平面AMP與平面A4GR的交線，

則SP為平面AMP與平面CDDG的交線，

所以7P為平面AWP與四邊形CDDg的交線，

由于Rt二尸4M=Rt_S￡M,所以SC|=F8]=g,

4

又RtSQTRtPCT,所以CT=g,

則尸7=卜+出=?故c錯誤；

對于D,因為點。在側(cè)面正方形ADR4內(nèi)，設(shè)。(x,0,z),

則A。=(一2,2,-2),W=(x-l,-2,z-2),

因為MQ^AC,所以—2(x—1)—4—2(z—2)=0,

化簡為x+z=l,

則點。的軌跡為直線x+z=l在正方形ADR4內(nèi)的線段，其長度為④，故D正確.

故選：BD

20

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題選項D為空間動點軌跡的探索問題，解答本題的關(guān)鍵是利用空間直角坐標(biāo)系探索

出動點的軌跡.

4.BC

【分析】根據(jù)體積公式即可求解A,根據(jù)平面中兩點距離最小即可求解B,根據(jù)線線垂直可得線面垂直，進

而求解C,根據(jù)數(shù)量積的運算律即可求解D.

【詳解】對于A,連接相交于。，故=尸2=1,，P0=飛PB2-OB?￡

222

XX=XXX=1

^ABCD=11=1,VpABCDP=^P-ABCD=7ABCD,ZA錯誤；

Pl

對于B,因，B/與△DC［均是邊長為1的正三角形，故可將沿［C翻折，

使其與2潢共面，得到菱形8C。。，則(BM+ATO)1m“=8。=1*孝、2=6,B正確;

對于C,由BDJ_AC且8。，［4,ACc耳鳥=O,AC,P}P2u平面APtCP2,

故3。)平面AA/u平面A［CE，:.BD±AM,

21

若AM-LDP2fBDcDP?=D,BD,DP2u平面5。舄，則yVHJ_平面,

■jr

故知M與C重合，AM與BC的夾角為:，C正確；

4

對于D,AM=APx+PlM=APl+XPlC=(1-X)APx+AAC,2e[0,l],

由于4?，3。,47,0鳥,05門3。=0,。5,8。匚平面8鳥。，故AC,平面

5Du平面2鳥。，故AC,8Z)

/、Z、UUU1

二411?邛=(1一彳)時-少+0=(1-4時?。6之時-。6(A［與￡>￡的夾角為鈍角)，D錯誤.

5.4

【分析】利用向量運算化簡變形，設(shè)a=CM,6=CN,將向量等式轉(zhuǎn)化為兩動點軌跡為均為球面，再利用球

心距求兩球面上任意兩點間距離最大值即可.

【詳解】已知正三棱錐S-ABC,則AS=3S=CS=3,S.AB^BC=CA=2,

由e(a+AC)=a-A8化簡得/=a.cB,

由"僅+人弓二或川^化簡得廣二切小.

i§：a=CM,b=CN,代入J=a-CB，b"=b-CS-

分別化簡得MC-MB=O，旦NC-NS=Q，

故點〃在以BC為直徑的球面上，半徑弓=；3C=1；

13

點N在以SC為直徑的球面上，半徑馬=5

分別取線段3C、SC的中點E、F,

13

則E/二-35=—，

22

i^\a-b\=\MN\=\EF\+r+r?=-+l+-=4.

IImax1lmax1122

故答案為：4

22

【點睛】將向量的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為動態(tài)的幾何表達，借助幾何意義求解動點間的距離最值是解決本類題型

的關(guān)鍵所在.

6.-/0.25；.—/-VS

455

【分析】

利用已知條件結(jié)合向量法即可求解；利用二面角的定義證得尸就是二面角。-AB-尸的平面角，即為

60°,再利用空間向量將的長轉(zhuǎn)化為的模求解，利用空間向量的線性運算和數(shù)量積、一元二次函數(shù)

的圖象與性質(zhì)運算即