2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：兩條直線的位置關(guān)系（解析版）

專題44兩條直線的位置關(guān)系（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................7

【考點(diǎn)1］兩直線的平行與垂直.................................................7

【考點(diǎn)2］兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題............................................13

【考點(diǎn)3］對(duì)稱問(wèn)題..........................................................16

【考點(diǎn)4】直線系方程的應(yīng)用..................................................24

【分層檢測(cè)】...............................................................28

【基礎(chǔ)篇】.................................................................28

【能力篇】.................................................................36

【培優(yōu)篇】.................................................................38

考試要求：

1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.

2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

3.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.

M知識(shí)梳理

1.兩條直線平行與垂直的判定

(1)兩條直線平行

對(duì)于兩條不重合的直線A,h,其斜率分別為上，ki,則有/i〃/2=&三七.特別地，當(dāng)直線3

/2的斜率都不存在時(shí)，與/2平行.

⑵兩條直線垂直

如果兩條直線/1,/2斜率都存在，設(shè)為匕，左2,則llLbOkl?k2=—l,當(dāng)一條直線斜率為零，

另一條直線斜率不存在時(shí)，兩條直線垂直.

2.直線的交點(diǎn)與直線的方程組成的方程組的解的關(guān)系

(1)兩直線的交點(diǎn)

點(diǎn)P的坐標(biāo)既滿足直線h的方程AIX+BIJ+CI=O＞也滿足直線h的方程A2x+&y+C2=0,

Aix+&y+Ci=O,

即點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程組，c的解，解這個(gè)方程組就可以得到這兩條直線的交點(diǎn)

〔42%+3+。2=0------

坐標(biāo).

⑵兩直線的位置關(guān)系

fAix+Biy+Ci=O,

方程組L的解一組無(wú)數(shù)組無(wú)解

[A2X~rB2y+Q=0

直線/1與/2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)無(wú)數(shù)個(gè)零個(gè)

直線Z1與h的位置關(guān)系相交重合平行

3.距離公式

⑴兩點(diǎn)間的距離公式

平面上任意兩點(diǎn)P1(X1,yi),P2(X2,丫2)間的距離公式為|P1P2|=、/(X2—~X1)2+(Y2—

特別地，原點(diǎn)。(0,0)與任一點(diǎn)P(x,y)的距離I。尸l=、/G+y2.

⑵點(diǎn)到直線的距離公式

|Aro+5yo+C]

平面上任意一點(diǎn)Po(xo,yo)到直線/：Ax+Bv+C=0的距離d=

A/A2+B2

⑶兩條平行線間的距離公式

Ig-Ql

一■般地，兩條平行直線/i：Ar+By+Ci=0,Z2：Ax+By+C2=0間的距曷d='在十房

4.對(duì)稱問(wèn)題

2

(1)點(diǎn)P(xo,yo)關(guān)于點(diǎn)A(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)為P'(2a—xo,2b—yo).

⑵設(shè)點(diǎn)P（xo,yo）關(guān)于直線廠質(zhì)+6的對(duì)稱點(diǎn)為PH，辦則有<,,可求出

y十加,x'十xo

口一=%?一?+"，

x',y'.

I常用結(jié)論

1."直線Aix+B\y+Ci=0,Avc+B2y+C2=0平行”的充要條件是aAiB2=A2B1且

A1C2WA2C1"，“兩直線垂直”的充要條件是“A1A2+H1&”=0.

2.討論兩直線的位置關(guān)系時(shí)應(yīng)考慮直線的斜率是否存在.

.L真題自測(cè)

一、單選題

1.（2024全國(guó)高考真題）已知6是4,。的等差中項(xiàng)，直線依+勿+C=0與圓/+）；2+43；_1=0交于4,2兩點(diǎn)，

則|4用的最小值為（）

A.1B.2C.4D.26

2.（2024?北京?高考真題）圓元2+/一2x+6y=0的圓心到直線》->+2=0的距離為（）

A.&B.2C.3D.3A/2

3.（2024?全國(guó)?高考真題）已知直線辦+勿-4+26=。與圓C：V+/+4y-1=0交于兩點(diǎn)，貝的最

小值為（）

A.2B.3C.4D.6

二、填空題

x+2,x<-a,

4.（2023?北京?高考真題）設(shè)。>0,函數(shù)/（尤）=，而予尤W。,，給出下列四個(gè)結(jié)論：

~y[x-1,尤>a.

①/（無(wú)）在區(qū)間m-1,+刃）上單調(diào)遞減；

②當(dāng)時(shí)，/（X）存在最大值；

③設(shè)14abN（孫電））（巧>a）,則I初W>1；

④設(shè)可七,〃毛?（工3〈-”）。（%/（%?（七"江若IPQI存在最小值，則a的取值范圍是.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

參考答案：

1.C

3

【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將C代換，求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.

【詳解】因?yàn)?。也C成等差數(shù)列，所以2b=o+c,c=2b-a,代入直線方程方+勿+c=0得

x-l=Ox=\

ax+by+2b-a=0,即Q(x-l)+Z?(y+2)=0,令得

7+2=0j=-2'

故直線恒過(guò)(-2),設(shè)P。,-2),圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：C:爐+(y+2)2=5,

設(shè)圓心為C,畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時(shí)，|48|最小,

|PC|=1,\AC\=W=逐，此時(shí)\AB\=2\AP\=2A/AC2-PC2=2A/5^T=4.

2.D

【分析】求出圓心坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可.

【詳解】由題意得Y+y2-2x+6y=0,即(x-l)?+(y+3)-=10,

|1—3)+2lr—

則其圓心坐標(biāo)為(1,-3),則圓心到直線X-y+2=0的距離為=312

故選：D.

3.C

【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線過(guò)定點(diǎn)尸(1,-2),從而可得當(dāng)「。，的時(shí)，|48|的最小，結(jié)合勾股定理

代入計(jì)算，即可求解.

【詳解】因?yàn)橹本€方+勿-。+2/?=0,即a(x—l)+b(y+2)=0,令工一1=0,

則x=l,y=-2,所以直線過(guò)定點(diǎn)(1,一2),設(shè)網(wǎng)1,一2),

將圓C：V+V+4＞一1=0化為標(biāo)準(zhǔn)式為爐+(丫+2)2=5,

所以圓心C(0,—2),半徑一石，\PC\=l

當(dāng)PCLA?時(shí)，|48|的最小，

4

止匕時(shí)|=2Jr2TBe2=2義行=1=4.

故選：c

4.②③

【分析】先分析/'(x)的圖像，再逐一分析各結(jié)論；對(duì)于①，取。=:，結(jié)合圖像即可判斷；對(duì)于②，分段

討論F5)的取值范圍，從而得以判斷；對(duì)于③，結(jié)合圖像可知的范圍；對(duì)于④，取結(jié)合圖像

可知此時(shí)歸9存在最小值，從而得以判斷.

【詳解】依題意，a>0,

當(dāng)x<-a時(shí)，/(x)=x+2,易知其圖像為一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞增的射線；

當(dāng)-時(shí)，f(x)={a—,易知其圖像是，圓心為(0,0),半徑為。的圓在x軸上方的圖像(即半圓)；

當(dāng)時(shí)，=易知其圖像是一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞減的曲線；

顯然，當(dāng)xe—),即時(shí)，在［g,。］上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)工<—〃時(shí)，%)=X+2V—Q+2<1；

當(dāng)-，<無(wú)時(shí)，f顯然取得最大值a；

當(dāng)x>〃時(shí)，于(x)=—\［x-1<—y/u_1<—2,

綜上：/(%)取得最大值〃，故②正確；

對(duì)于③，結(jié)合圖像，易知在玉=〃，尤2且接近于％="處，”，/(石》(石<a)，N(九2，/(%2))(%2>。)的

距離最小，

5

當(dāng)否=a時(shí)，y=/(&)=o,當(dāng)尤2>4且接近于x=a處，y2=f(x2)<-4a-1,

此時(shí)，|加|>%-%>6+1>1，故③正確;

因?yàn)槭╓，/（W））（W<-。）,。卜4，/（%））（々2-。），

結(jié)合圖像可知，要使|尸。|取得最小值，則點(diǎn)尸在“x）=x+2（x〈-。上，點(diǎn)Q在

以小居可-如事

同時(shí)|「。|的最小值為點(diǎn)。到?。?了+21<-￡|的距離減去半圓的半徑。，

此時(shí)，因?yàn)?（尤）=〉=工+21<-*）的斜率為1,貝故直線OP的方程為丫=一x,

\y=-x\x=—\/、

聯(lián)立’,解得1,則P-M）,

[y=x+2[y=l

顯然尸（-1,1）在/（X）=X+2（X<-￡|上，滿足|PQ|取得最小值，

即a=g也滿足「。|存在最小值，故.的取值范圍不僅僅是]。[,故④錯(cuò)誤.

故答案為：②③.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是分析得"%）的圖像，特別是當(dāng)-aWxWa時(shí)，/（x）=J。2一元2的圖像

為半圓，解決命題④時(shí)，可取特殊值進(jìn)行排除即可.

6

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1］兩直線的平行與垂直

一、單選題

1.（23-24高三上■陜西西安?階段練習(xí)）已知直線7nx+2y+〃z+2=0與直線4x+（ffi+2）y+27〃+4=0平行，

則m的值為（）

A.4B.-4C.2或TD.一2或4

2.（23-24高二上?山東?階段練習(xí)）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、

重心、垂心在同一條直線上，這條直線被稱為歐拉線.已知VABC的頂點(diǎn)若直線

/:ox+（a-3）y+l=0與VABC的歐拉線垂直，則直線/與VABC的歐拉線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）

]_3J_3j__3]_3

A.B.C.，D.

5555,55-555

二、多選題

3.（2022?廣東?一模）下列說(shuō)法正確的是（）

A.已知直線?。ㄗ?3）x+（4-k）y+l=0與4：2（03）x-2y+3=0平行，則上的值是3

B.直線履-y-左=。與圓尤2+9=2的位置關(guān)系為相交

C.圓Y+/+2尤+4、-3=0上至IJ直線無(wú)+y+l=。的距離為&的點(diǎn)共有3個(gè)

D.已知AC、BO為圓O:/+>2=4的兩條相互垂直的弦，垂足為后），則四邊形A8CD的面積的

最大值為10

4.（23-24高三下?河南濮陽(yáng),開學(xué)考試）費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的一條重要定理，由此定理可以推導(dǎo)出圓錐

曲線的一些性質(zhì)，例如，若點(diǎn)A是雙曲線C（4，B為C的兩個(gè)焦點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則C在點(diǎn)A處的切線平分

22

々他.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為GB，直線/為。在其上一點(diǎn)A（4&2正）處的切線,

則下列結(jié)論中正確的是（）

A.C的一條漸近線與直線y+3=。相互垂直

B.若點(diǎn)3在直線/上，且「BLAB,則|?；?2及（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）

C.直線’的方程為若彳_q/_4=0

延長(zhǎng)明交C于點(diǎn)尸'則的內(nèi)切圓圓心在直線.手上

D.

三、填空題

5.（23-24高三下?河南?階段練習(xí)）已知P,。是拋物線C:/=8x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A（2,4）,直線AP的斜率

7

與直線AQ的斜率之和為4,若直線P。與直線/：X-丫+1=0平行，則直線P。與/之間的距離等于.

6.(2023?海南?模擬預(yù)測(cè))已知直線4：x-3y+l=O,直線4過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線乙相互垂直，圓

C-.x2+y2-4x-2y-3=0,若直線4與圓C交于N兩點(diǎn)，則|肱V|=.

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)兩直線平行得到根(根+2)=2X4,求出機(jī)的值，再檢驗(yàn)即可.

【詳角星】因?yàn)橹本€mx+2y+m+2=0與直線4x+(機(jī)+2)y+2機(jī)+4=。平行，

所以根("2+2)=2義4,解得力=2或徵=-4,

當(dāng)帆=2時(shí)直線2x+2y+4=0與直線4x+4y+8=0重合，不符合題意;

當(dāng)m=T時(shí)直線一4x+2y-2=0與直線4x—2y—4=0平行.

故選:B

2.B

【分析】由題求出歐拉線方程，即可得直線/方程，后可得交點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】由VA5c的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可知其重心為

注意到心B=0,直線3。斜率不存在，則VABC為直角三角形,

11

y——x——

11

則其垂心為其直角頂點(diǎn)5(1,0),則VABC歐拉線方程為：-1=———X+一.

22

0——1--

33

一Q1

因其與Z:ar+(a-3)y+l=0=>y=------x---------垂直，貝【J—^-=2=>a=2.

a—3Q—3a—3

1

11x=——

y=——x+—，即交點(diǎn)為

則/:y=2x+l,則直線/與VA3C的歐拉線的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足；22A3$?1}

y=2x+l

故選：B

3.BC

【分析】A由直線平行的判定求參數(shù)，注意驗(yàn)證是否重合；B根據(jù)直線所過(guò)的定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷即可;

C由圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系即可判斷；D設(shè)圓心0(0,0)到AC,m的距離分別為以“，則

m2+n2=1OM|2=3及=^\AC\\BD\,結(jié)合基本不等式求最大值即可判斷.

【詳解】A：由平行知：2(無(wú)-3)(4-k)+2/-3)=2("3)(5-k)=0,則==3或左=5,當(dāng)。=3時(shí)有4：?+1=0,

6：3—2y=0滿足題設(shè)，當(dāng)k=5時(shí)有(：2x_y+l=0,右：4x—2y+3=0滿足題設(shè)，故左=3或左=5,錯(cuò)誤；

8

B:由丘-y-左=。過(guò)定點(diǎn)(1,0),而(1,0)在圓f+y2=2內(nèi)，故它們的關(guān)系為相交，正確；

C：由題設(shè)知：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+l)2+(y+2)2=8,則圓心為(T,-2),半徑為2夜，所以圓心到x+y+l=0

距離為血，易知圓上點(diǎn)到直線距離為行的點(diǎn)共有3個(gè)，正確；

D：設(shè)圓心0(0,0)到AC,3D的距離分別為則療+"=|OM|2=3,又AC,2D相互垂直，所以

AC||80=2j(4-4)(4一/)=2〃+加“2，而加+/=322加〃，即加〃W|當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=當(dāng)時(shí)

等號(hào)成立，故(SAB6)max=5,故錯(cuò)誤.

故選：BC

4.ABD

【分析】根據(jù)雙曲線方程即可求出漸近線可判斷A,由角平分線性質(zhì)可得G點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線/方程可判斷

C,設(shè)出8點(diǎn)坐標(biāo)由條件可判斷B,假設(shè)用的內(nèi)切圓圓心在直線為=逋上，由內(nèi)心性質(zhì)可判斷D.

3

【詳解】選項(xiàng)A：雙曲線c：《-M=1的一條漸近線方程為y=—1%與后_y+3=0相互垂直，故A正

842

確；

選項(xiàng)BC：因?yàn)椤?2?",6=2,所以C=2>/5,耳卜工(2A^,0),

\AF\=’(4肉2廚+(2扃=8亞，1=472,

所以,

又韶栩吃所以G'4)所以k「-k娟一二指2一小干一一屈§，

后(,O，__

直線/：y=X-----,即8次一百y-2=0,故C錯(cuò)誤，

(瓜一2、瓜-2廣

設(shè)B,則一小5,化簡(jiǎn)得：x=-5

(心J、-與百一忑I

所以網(wǎng)-6,-6)，則|。因=20,故B正確；

2⑻,

12^/3

解得=4A/3,

7

9

12732A/5

所以尸

所以直線P￡:y=

因?yàn)椤鰽PG的內(nèi)切圓圓心在直線直線/：>=坐x一孚］上，若又在直線尤=生叵上,

5I3J3

/廠/~、

則內(nèi)切圓圓心為殍，手，圓心到直線轉(zhuǎn)：疝53丁-6方=0的距離為：

岳義弋一3義堂一6小

4回，

J15+915

圓心到直線尸￡:岳x+39y+6宕=0的距離為：

Ax逑+39x涯+6君「

354A/30,即4=4，

a=-------/------=----

2V15+39*215

「4C2代、「462C

所以點(diǎn)與，三一也在/AP片的角平分線上，即點(diǎn)三,三一為AAPK的內(nèi)切圓

圓心，圓心在直線x=±叵上，故D正確；

3

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：充分利用角平分線的性質(zhì)得出G點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線垂直關(guān)系及點(diǎn)到直線距離公式可

判斷各項(xiàng).

【分析】設(shè)出直線尸。的方程，聯(lián)立曲線，可得與縱坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，借助韋達(dá)定理轉(zhuǎn)換題目條件計(jì)算可

得直線PQ所過(guò)定點(diǎn)，或結(jié)合直線P。與直線/：X-y+1=0平行可得具體方程，后借助平行線間的距離公式

計(jì)算即可得..

【詳解】法一：

顯然直線尸。的斜率不為0,故可設(shè)PQ：x=my+f,

10

,可得y2-Smy-81=0,

x=my+t

如圖，設(shè)P(%i，yi),Q(x2,y2)f貝！|%+為=8九%%=一8%

所以A>0=>64m2+32/>0n2m2+，>0,

kJ_4_y「4_8&

則”占-2y；%+4,^kQA=——,

----L>2十今

所以2(%+%)+16=%%+4(%+%)+16,則%%=-2(%+%)，

即，=2〃z,直線尸Q:x=%+2相=?"(y+2),故直線尸。恒過(guò)定點(diǎn)(0,-2).

故當(dāng)直線尸。與直線無(wú)-y+i=o平行時(shí)，

兩直線之間的距離等于定點(diǎn)(0,-2)到直線X-y+1=0的距離，

削-2)+1|二逑

法二：

由題意，設(shè)尸Q：x-y+機(jī)=。，

,[y2=Sx

由《，得y?-8y+8m=0,

[x—y+m=0

由A=64—32相>0,解得機(jī)<2.

/2\/2A

設(shè)尸今,％,Q>,y2,則%+%=8,M%=8—又42,4),

8(%+必+8)

%+4%+4%%+4(%+%)+16m+6>

由題意，上=4,解得機(jī)=-2,故兩平行直線之間的距離為艮口劃=述.

11

故答案為：邁.

2

u8而

O.-------------

5

【分析】根據(jù)題意求得直線的方程為3x+y-3=0,以及圓C的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式，即

可求解.

【詳解】由直線4：x-3y+l=O,可得斜率匕=g,

因?yàn)?,4且直線k過(guò)點(diǎn)。，0），所以直線4的斜率為月=-3,

所以4的方程為3x+y-3=O,

又由圓C:/+y2-4x-2y-3=0,BPC:(x-2)2+(y-l)2=8,

可得圓C的圓心坐標(biāo)為C（2,D,半徑為r=2A/^,

|2x3+l-3|4

則圓心C到直線4的距離為口」I,「二下，

V32+l2Vio

所以弦長(zhǎng)\MN\=2介一/=2j（20y-（木子8M

5

故答案為：殳他.

5

反思提升：

1.當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí)，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情

況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還栗注意x,y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條

件.

2.在判斷兩直線的平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.

【考點(diǎn)2】?jī)芍本€的交點(diǎn)與距離問(wèn)題

一、單選題

1.（2023?北京東城?二模）已知三條直線4：x-2y+2=O,4：x-2=0,4：x+@=0將平面分為六個(gè)部分,

則滿足條件的上的值共有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

2.（24-25高三上?河南焦作?開學(xué)考試）已知點(diǎn)A12p+l,3p+；］在拋物線。:/=2外（0>0）上，則C的焦

點(diǎn)與點(diǎn)（1,2）之間的距離為（）

A.4B.75C.2D.72

二、多選題

3.（2023?河北?模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)〃尤）=若直線/：>=丘+仇6>1）與函數(shù)/。）在［-1,1］

12

上有1個(gè)公共點(diǎn)，在（1,3］上有2個(gè)公共點(diǎn)，則上2+^2的值不可能為（）

654

A.1B.—C.—D.一

543

4.（2024?甘肅定西?一模）下列命題為真命題的是（）

A./尤2-4尤-8，^+^+卜-1|的最小值是2

B.QX。-4無(wú)一8，一x+4+的最小值是

C.6—4x—8Q+4+&—2x—4日+2的最小值是也

D.^/x2—4x—8A/—x+4+y/x1—2x—4y/—x+2的最小值是6

三、填空題

5.（2024?山東?二模）過(guò)直線x+y+l=0和3x—y-3=O的交點(diǎn)，傾斜角為45。的直線方程為.

6.（2022?江蘇?模擬預(yù)測(cè)）過(guò)拋物線4=M（W<0）的焦點(diǎn)F作圓C?+3）2+（y+3）2=16的切線,切點(diǎn)為尸.

若|（?/|=后，貝！||尸尸|=,m=.

參考答案：

1.C

【分析】考慮三條直線交于一點(diǎn)或4與4或‘2平行時(shí)，滿足條件，求出答案.

【詳解】當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，可將平面分為六個(gè)部分，

（=2

聯(lián)立（：尤-2y+2=0與6：尤-2=0,解得《x,

一［）=2

fx=2

貝IJ將《"代入Qx+初=。中，2左+2=0,解得上=一1,

［y=2

當(dāng)4：x+⑥7=0與4：x—2>+2=。平行時(shí)，滿足要求，此時(shí)左=一2,

當(dāng)4：x+@=0與4：尤-2=0平行時(shí)，滿足要求，此時(shí)左=0,

綜上，滿足條件的女的值共有3個(gè).

故選:C

2.D

【分析】根據(jù)A在拋物線上可求P的值，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)后結(jié)合距離公式可得正確的選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)锳在拋物線上，故（20+1）2=2°90+；］,

整理得到：4/+40+1=6/+§即202-?-1=0,

解得P=2或。=-;（舍），故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,

13

故選：D.

3.AD

【分析】作出函數(shù)/(%)的圖象，由直線/：y=^+AS>D與函數(shù)〃%)在［-U］上有1個(gè)公共點(diǎn)，可得

b2=k2+l,又在(1,3］上有2個(gè)公共點(diǎn)，可得蛛+人<1且女+20,計(jì)算可得人2+尸的取值范圍.

【詳解】作出函數(shù)“尤)=二的圖象如圖所示,

一2|,1<尤43

y=kx+b

-1O13個(gè)x

.直線/：y=履+仇〃>1）與函數(shù)/（X）在［-1,1］上有1個(gè)公共點(diǎn),

.,./:y=fac+bS>l）與圓x?+;/=1在x軸上方的半圓相切，

\b\,

：.^===1,即〃=F+i,

收+1

.直線/：y=H+63>i）與在（L3］上有2個(gè)公共點(diǎn),

2k+8v1且3左+）20,

:.k<0^.b>-3k,:.b2>9k2,:.k2+l>9k2,■-0<k2<1,

8

222

fc+h=2fc+lefl,-.

故選：AD.

4.BC

【分析】利用兩點(diǎn)距離公式將題干中復(fù)雜式子轉(zhuǎn)化為幾個(gè)點(diǎn)間的距離，結(jié)合拋物線的定義，作出圖形，數(shù)

形結(jié)合即可得解.

【詳解】設(shè)4(0,2),8(-1,1),歹(一1,0),2國(guó)7^),

易知點(diǎn)P的軌跡是拋物線/=-4x的上半部分，

拋物線y=_4x的準(zhǔn)線為直線X=1,P到準(zhǔn)線的距離d=\x-l\,F為拋物線V=-4x的焦點(diǎn),

14

對(duì)于AB;&-4X-8Q+4+1x-11=G+或不+d

=|PA\+d=|^A|+|PF|>|AF\=y/5,

所以"尤2—4x—81ji+4+|x—11的最小值為小，故A錯(cuò)誤，B正確；

對(duì)于CD,y/x2-4x-8y/-x+4+\lx2-2x-4y[^x+2

=&+好不否+J(X+1)2+G/^-1)2=|PA|+|PB|>|AB|=V2-

所以Jx?—4x—8>/=^+4+Jx2—2x-4y/M+2的最小值是，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化根號(hào)內(nèi)的式子，聯(lián)想到兩點(diǎn)距離公式，從而數(shù)形結(jié)合即可得

解.

5.y=x-2

【分析】聯(lián)立直線求解交點(diǎn)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程.

【詳解】聯(lián)立x+y+l=O與3x-y-3=0可得尤=”1=一3.

故交點(diǎn)為傾斜角為45。，所以斜率為1,

31

故直線方程為>+即>=無(wú)一2,

故答案為：y=x-2

6.3a-32

【分析】利用切線長(zhǎng)公式可得I尸可，然后利用兩點(diǎn)間距離公式可得加.

【詳解】由題可知拋物線y2=m(m<0)的焦點(diǎn)為歹圓心c的坐標(biāo)為(-3,-3),圓C的半徑廠=4,

所以|PF|=-/=3④.

S|CF|=.R+3|+(0+3>=后，

解得m=-32或相=8.

15

又加<0,所以根=—32.

故答案為：3TL-32.

反思提升：

(1)求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法：先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線

方程.

(2)利用距離公式應(yīng)注意：①點(diǎn)P(xo,")到直線x=a的距離d=\xo~a\,到直線y=b的距離d

=|yo-/7|;②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x,y的系數(shù)化為相等.

【考點(diǎn)3】對(duì)稱問(wèn)題

一、單選題

1.(2024?天津和平?二模)過(guò)直線>=無(wú)上的點(diǎn)尸作圓C：(x+3y+(y-5)2=4的兩條切線4,12,當(dāng)直線4，

右關(guān)于直線丫=了對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()

A.(1,1)

2.(2024?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè))設(shè)直線l:x+y-l=0,一束光線從原點(diǎn)。出發(fā)沿射線y=kx(x^0)向

直線/射出，經(jīng)/反射后與x軸交于點(diǎn)M,再次經(jīng)x軸反射后與丫軸交于點(diǎn)N.若

史，貝Ik的值為()

1126

32

A.-B.一

23

11

C.—D.—

23

二、多選題

3.(23-24高三上?重慶?階段練習(xí))已知圓G:(x+iy+(y-2)2=3,直線/:〃zx-"y=0(縱”eR且加,〃不同

時(shí)為0),下列說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)直線/經(jīng)過(guò)(-M)時(shí)，直線/與圓G相交所得弦長(zhǎng)為

B.當(dāng)機(jī)=0時(shí)，直線/'與/關(guān)于點(diǎn)G對(duì)稱，貝”的方程為：，=4

C.當(dāng)”=0時(shí)，圓G上存在4個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為血

D.過(guò)點(diǎn)G與/平行的直線方程為：mx-ny-m-2n=Q

4.(23-24高二上?廣東東莞?期中)已知直線/：x-2y+8=0和三點(diǎn)A(2,0),B(-2.-4),C(2,5),過(guò)點(diǎn)C的直線

4與x軸、y軸的正半軸交于N兩點(diǎn).下列結(jié)論正確的是()

A.P在直線/上，貝“%|+歸口的最小值為40

B.直線/上一點(diǎn)尸(12,10)使|阿一網(wǎng)|最大

16

UUUUlInui

C.當(dāng)|CM|?|CN|最小時(shí)乙的方程是x+y—7=。

UUULUUULL

D.當(dāng)||?|ON|最小時(shí)4的方程是5x+y-15=0

三、填空題

5.（2023?福建廈門?模擬預(yù)測(cè)）已知直線入3》-4丫-4=0關(guān)于直線4的對(duì)稱直線為'軸，則4的方程

為

6.（23-24高二上?福建三明?階段練習(xí)）2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩(shī)的熱

情，唐詩(shī)中邊塞詩(shī)又稱出塞詩(shī)，是唐代漢族詩(shī)歌的主要題材，是唐詩(shī)當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富,

藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分.唐代詩(shī)人李頑的邊塞詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)："白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交

河”.詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題一"將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊

飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是A（2.4）,軍營(yíng)所在位

置為8（6,2）,河岸線所在直線的方程為x+y-3=0,若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營(yíng)（"將軍飲馬”）

的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點(diǎn)的坐標(biāo)為.

參考答案:

1.A

【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、兩直線的交點(diǎn)等知識(shí)求得正確答案.

【詳解】圓C：（x+3）2+（y-5）2=4的圓心為C（-3,5）,

直線4,4關(guān)于直線y=x對(duì)稱時(shí)，CP與直線Y=x垂直,

所以直線CP的方程為＞_5=_（%+3）,尤+y_2=0,

x+y-2=0x—1/、

由解得yT，所以尸a）

y=x

故選：A.

2.B

【分析】根據(jù)光學(xué)的性質(zhì)，根據(jù)對(duì)稱性可先求。關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)A,后求直線相，可得M、N兩點(diǎn)坐

標(biāo)，進(jìn)而由=姮可得h

116

17

【詳解】

，即A?！?,

由題意知y=Ax(x?O)與直線/不平行，故無(wú)力-1,

y=kx

%+>—1=0

故直線AP的斜率為kAP=阡」=；,

--1卜

k+1

直線"的直線方程為：y-l=1(x-l),

K

令y=0得尤=1一左，故A/(l—左,0),

令x=0得y=l-:，故由對(duì)稱性可得N-1],

由|MN卜手得(1一左=1|,即|上+:1-2^+|^=||,

解得%+；1=1?3,得上"2或左二3,

k632

3

若k=j,則第二次反射后光線不會(huì)與y軸相交，故不符合條件.

故'=j

18

故選：B.

3.AB

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：利用直線/經(jīng)過(guò)得到x+y=0,求出圓心到直線的距離，借助圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)

算即可；

對(duì)于B選項(xiàng)：利用直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的求法，求解即可；

對(duì)于C選項(xiàng)：借助圓心到直線的距離，半徑，以及圓上的點(diǎn)到直線的距離的大小關(guān)系判斷即可；

對(duì)于D選項(xiàng)：借助直線平行的相關(guān)知識(shí)，求出與之平行的直線即可.

【詳解】因?yàn)閳AG:(x+iy+(y_2)2=3,所以圓心為(—1,2),半徑r=

對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)橹本€/經(jīng)過(guò)(-1,1),所以〃2+〃=0,l:x+y=O,

所以圓心到直線的距離為d=I"。=§

^12+122

直線/與圓G相交所得弦長(zhǎng)為2〃一/=2CI,故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)機(jī)=0時(shí)，直線/：y=0,因?yàn)橹本€/'與/關(guān)于點(diǎn)G對(duì)稱，所以直線，與/平行，由于G(T,2)到

/：y=0的距離為2,所以G(-1,2)到I'的距離也為2,

所以/'的方程為：y=4,故B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)〃=0時(shí)，直線/:x=0,此時(shí)圓心G(-L2)到直線的距離為4=1,

由于半徑廠=百，

所以在直線/：x=0的右側(cè)：：?_〃=退-1〈應(yīng)，所以在直線/:x=0的右側(cè)不存在滿足條件的點(diǎn)；

在直線/:x=0的左側(cè)：r+d=G+l＞應(yīng)，所以在直線/:尤=0的左側(cè)存在滿足條件的點(diǎn)有2個(gè)；

所以圓G上只存在2個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為0,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)：過(guò)點(diǎn)G(-l,2)與/平行的直線方程可設(shè)為：7M-利+。=0,

將點(diǎn)G(T,2)代入，所以T〃-2〃+C=0,BPc=m+2n,

所以過(guò)點(diǎn)G(-1,2)與/平行的直線方程為：mx-ny+m+2n=0,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AB.

19

【分析】對(duì)于A：求出點(diǎn)B關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)亞“㈤,然后通過(guò)|山+|尸耳=|圖+|尸叫引"1求最小值;

對(duì)于B：通過(guò)歸國(guó)當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最大值來(lái)求解；對(duì)于C：設(shè)4：y=Mx-2)+5,左＜0,

UUU1UUUUUUUIUUUU

求出M,N坐標(biāo)，表示出|CM|?|CN|,利用基本不等式求最小值；對(duì)于D：表示出|OM|.|ON|,利用基本

不等式求最小值.

【詳解】對(duì)于A：設(shè)點(diǎn)8關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為"的,〃),

n+41,

m+223836A

，解得B'

-2+m--4+n?M三

-----------2x---------+8o=0J

.".|PA|+|PB|=|PA|+|PB,|>\AB'\

當(dāng)A8',P三點(diǎn)共線時(shí)取最小值.A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：歸m-|到閆明，當(dāng)A民尸三點(diǎn)共線時(shí)取最大值,

4

又：y=w（x-2）,即x-y-2=o,

x—y—2=0

聯(lián)立解得％=12,y=10,

x—2y+8=0

即直線/上一點(diǎn)尸(12,10)使11PBl-網(wǎng)|最大，B正確;

20

p.

對(duì)于C：設(shè)4:丁=左(%—2)+5,左<0,

當(dāng)x=O時(shí)，y=-2k+5,當(dāng)y=。時(shí)，x=-^-+2,

k

即M1—7+2,O),N(O,—2%+5),

當(dāng)且僅當(dāng)，=產(chǎn)，即左=T時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)4：V=—(%—2)+5,即x+y—7=0,C正確;

ixumuuu*2525

對(duì)于D：|OM|?|ON|+5)=20+——+4(-k)>20+2——x4(—左)二40,

—ky—k

當(dāng)且僅當(dāng)彳=4(-k),即左=-：時(shí)等號(hào)成立，

KZ

止匕時(shí)小〉=_|(尤_2)+5,即5x+2y-20=0,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

5.,=2了_］或y=一；x—l

【分析】根據(jù)題意，求出4與軸的交點(diǎn)，設(shè)出直線乙的方程，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線4的對(duì)稱點(diǎn)在y軸上，列出

方程，即可得到結(jié)果.

【詳解】

21

設(shè)直線4的方程為y=kx-\,則M關(guān)于直線k的對(duì)稱點(diǎn)N（a,b）在y軸上,

所以0=0,則跖V的中點(diǎn)Q仁號(hào)在直線4上，所以/―-①，

l=b-0

又一7二一②，聯(lián)立①②可得上=2或%