2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習講義：排列與組合（解析版）

專題59排列與組合（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................8

【考點1】排列問題..........................................................8

【考點2】組合問題..........................................................12

【考點31排列與組合的綜合問題..............................................15

【分層檢測】...............................................................19

【基礎(chǔ)篇】.................................................................19

【能力篇】.................................................................26

考試要求：

1.理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.

2.能解決簡單的實際問題.

.知識梳理

1.排列與組合的概念

名稱定義

并按照一定的順序排成一列,叫做從〃個

排列從〃個不同元素

元素中取出機個元素的一個排列

中取出m（mWn）

作為一組，叫做從n個不同元素中取出m

組合個元素

個元素的一個組合

2.排列數(shù)與組合數(shù)

（1）從n個不同元素中取出mOnW”）個元素的所有不同排列的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出

加個元素的排列數(shù)，用符號AT表示.

⑵從n個不同元素中取出"?（mW"）個元素的所有不同組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出

加個元素的組合數(shù)，用符號CT表示.

3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

12!

(1)A伊一〃(〃一1)(及一2>??(〃一加十—加].

A伊n(〃-1)(〃-2)…(n—m+1)

公式⑵-A廠加

_?1一("，加￡N*,且加特別地C2—1

加kn—m)!

(1)0!=1；A[="！.

性質(zhì)

(2)c俄=c「m；a=c^+a-i

I常用結(jié)論

1.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法（合理分類）和間接法（排除法）.分類時標準應(yīng)統(tǒng)

一,避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.

2.對于分配問題，一般先分組、再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復(fù)或遺漏.

真題自測

一、單選題

1.（2024?全國?高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（）

2

2.（2023?全國?高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣

調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生,

則不同的抽樣結(jié)果共有（）?

A.C-C器種B.C2.C或種

D.C%C北種

3.（2023?全國?高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有

1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

4.（2023?全國?高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從

這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）

A.120

5.（2022?全國?高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和

丁相鄰，則不同排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

6.（2022?全國?高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（）

、填空題

7.（2024?全國?高考真題）在如圖的4x4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中,

則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

8.（2024?全國?高考真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6,從中無放回地隨機取3次,

每次取1個球.記機為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，”為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則加與”之差

的絕對值不大于1的概率為

2

9.（2023?全國?高考真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修

3

2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.

10.（2022?全國?高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率

為.

參考答案:

題號123456

答案BDCBBD

1.B

【分析】解法一：畫出樹狀圖,結(jié)合古典概型概率公式即可求解.

解法二：分類討論甲乙的位置,結(jié)合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計算公式進行求解.

【詳解】解法一：畫出樹狀圖，如圖,

甲

乙丙丁

丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙

丁丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲

丙

甲乙丁

乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙

丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲

由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法,

其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，

Q1

故所求概率p=五=十

解法二：當甲排在排尾，乙排第一位，丙有2種排法，丁就1種，共2種;

當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1種排法，丁就1種，共2種；

于是甲排在排尾共4種方法，同理乙排在排尾共4種方法，于是共8種排法符合題意;

基本事件總數(shù)顯然是A：=24,

Q1

根據(jù)古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為五="

故選：B

2.D

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

4

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60X￡K=40人，高中部共抽取60xv=20,

600600

根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C%c嘉種.

故選：D.

3.C

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.

【詳解】首先確定相同得讀物，共有或種情況，

然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有A；種，

根據(jù)分步乘法公式則共有A；=120種，

故選：C.

4.B

【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動的情況，即可得解.

【詳解】不妨記五名志愿者為a,6,c,d,e,

假設(shè)。連續(xù)參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有A；=12

種方法，

同理：女c,d,e連續(xù)參加了兩天公益活動，也各有12種方法，

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動的選擇種數(shù)有5x12=60種.

故選：B.

5.B

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解

【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列，有3!種排列方

式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；

注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：3!x2x2=24種不同的排歹U方式，

故選：B

6.D

【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.

5

【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法,

若兩數(shù)不互質(zhì),不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7種，

21-72

故所求概率尸=一=彳.

213

故選：D.

7.24112

【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果，

即可求解.

【詳解】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，

則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，

第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，

所以共有4x3x2x1=24種選法；

每種選法可標記為(a/,c,d),%6,Gd分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，

則所有的可能結(jié)果為：

(11.22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(H,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以選中的方格中，(15,21,33,43)的4個數(shù)之和最大，為15+21+33+43=112.

故答案為：24；112

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選，利用列

舉法寫出所有的可能結(jié)果.

8.」

15

【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個球的號碼為以第三個球的號碼為c,則

a+b-3<2c<a+b+3,就c的不同取值分類討論后可求隨機事件的概率.

【詳解】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120種，

設(shè)前兩個球的號碼為。，6,第三個球的號碼為。，則”(二一審4；,

故|2c-(<7+6)歸3,故-3W2c-(“+Z043,

6

若c=l,則a+H5,則（。㈤為:（2,3）,（3,2）,故有2種，

若c=2,則1＜。+647,則（a,b）為:（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（3,4）,

（3,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（4,3）,故有10種，

當c=3,則3Va+AV9,則（a,6）為：

（1,2）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（4,5）,

（2,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（4,2）,（5,2）,（6,2）,（5,4）,

故有16種，

當c=4,則5Va+Z?Vll,同理有16種,

當c=5,貝!]7Va+Z?W13,同理有10種，

當c=6,貝!]9Wa+bW15,同理有2種，

共m與”的差的絕對值不超過之時不同的抽取方法總數(shù)為2（2+10+16）=56,

故所求概率為1=：.

7

故答案為：~

9.64

【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運算求解.

【詳解】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有C：C：=16種；

（2）當從8門課中選修3門，

①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有C：C：=24種；

②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有CjC；=24種；

綜上所述：不同的選課方案共有16+24+24=64種.

故答案為：64.

3,

10.—/0.3

10

【分析】根據(jù)古典概型計算即可

【詳解】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3,從5名同學(xué)中隨機選3名，

7

有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,（乙，1,2）,（乙，1,

3）,（乙,2,3）,（1,2,3）,共10種選法;

3

其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率尸=記.

3

故答案為：—.

解法二：從5名同學(xué)中隨機選3名的方法數(shù)為C；=10

甲、乙都入選的方法數(shù)為C；=3,所以甲、乙都入選的概率尸=歷

3

故答案為：—

考點突破

【考點1］排列問題

一、單選題

1.（2023?遼寧?三模）安排包括甲、乙在內(nèi)的4名大學(xué)生去3所不同的學(xué)校支教，每名大學(xué)生只去一個學(xué)校,

每個學(xué)校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有（）

A.36種B.30種C.24種D.12種

2.（23-24高三上?山西運城?期末）第33屆夏季奧運會預(yù)計2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦,

這屆奧運會將新增2個競賽項目和3個表演項目.現(xiàn)有三個場地A,B,C分別承擔這5個新增項目的比賽,

且每個場地至少承辦其中一個項目，則不同的安排方法有（）

A.150種B.300種C.720種D.1008種

二、多選題

3.（2024?江蘇?模擬預(yù)測）若m,見為正整數(shù)且〃＞加＞1,則（）

（）1

C.mC：=n-lC'^D.A：+mA：-=A：'+1

4.（23-24高二上?遼寧遼陽?期末）某班星期一上午要安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理4節(jié)課，且該天上午總

共4節(jié)課，下列結(jié)論正確的是（）

A.若數(shù)學(xué)課不安排在第一節(jié)，則有18種不同的安排方法

B.若語文課和數(shù)學(xué)課必須相鄰，且語文課排在數(shù)學(xué)課前面，則有6種不同的安排方法

C.若語文課和數(shù)學(xué)課不能相鄰，則有12種不同的安排方法

D.若語文課、數(shù)學(xué)課、英語課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法

三、填空題

8

5.（2024?全國?模擬預(yù)測）2023年10月18日，第三屆"一帶一路"國際合作高峰論壇在北京舉行.在“一帶

一路"歡迎晚宴上，我國拿出特有的美食、美酒款待大家，讓國際貴賓們感受中國飲食文化、茶文化、酒文

化.這次晚宴菜單中有"全家?！?沙蔥牛肉""北京烤鴨""什錦鮮蔬""冰花鍋貼""蟹黃燒麥""天鵝酥""象形枇

杷”.假設(shè)在上菜的過程中服務(wù)員隨機上這八道菜（每次只上一道菜），貝/沙蔥牛肉""北京烤鴨”相鄰的概率

為.

6.（2024?廣西?模擬預(yù)測）第19屆杭州亞運會的吉祥物，分別取名為"琮琮""蓮蓮""宸宸"，是一組承載深厚

底蘊和充滿時代活力的機器人，組合名為“江南憶”.現(xiàn)有6個不同的吉祥物，其中"琮琮""蓮蓮"和"宸宸"各2

個，將這6個吉祥物排成前后兩排，每排3個，且每排相鄰兩個吉祥物名稱不同，則排法種數(shù)共有.

（用數(shù)字作答）

參考答案:

題號1234

答案BAADABC

1.B

【分析】利用間接法，先求所有的可能情況，再排除甲、乙安排在同一所學(xué)校的可能情況.

【詳解】若每名大學(xué)生只去一個學(xué)校，每個學(xué)校至少去1名，則不同的安排方法有CjA；=36種,

若甲、乙安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有A；=6種，

所以甲、乙不能安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有36-6=30種.

故選：B.

2.A

【分析】分3,1』和2,2,1兩種情況，結(jié)合排列組合知識進行求解.

【詳解】若三個場地分別承擔3,1,1個項目，則有=60種安排,

若三個場地分別承擔2,2,1個項目，則有6=90種安排,

綜上，不同的安排方法有60+90=150種.

故選：A

3.AD

【分析】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的計算公式和性質(zhì)，對每個選項逐一計算即可判斷.

【詳解】對A：由組合數(shù)性質(zhì)：C：=C；E可知，A正確;

9

對B：€：；=&■,故B錯誤；

73!

m_加一(D!，-1\f~\m-l_/

又寸C：mC〃-m"■一■■一〃~-,(〃-1)C_]—(〃-1)■",左右

m\(ji—m)\(m—l)!(n—m)!(m—l)!(n—m)!(m—l)!(n—m)!

不相等，故C錯誤；

.riIriI,,nIriI

=5+1)7-A；=(("+?x=A；+1,故D正確.

故選：AD

4.ABC

【分析】選項A將數(shù)學(xué)排在后三節(jié)，再將其余3個科目全排列即可；選項B采用捆綁法進行求解；選項C

采用插空法進行求解；選項D根據(jù)除序法進行求解.

【詳解】對于A,有3A：=18種排法，故A正確；

對于B,采用捆綁法，有A；=6種排法，故B正確；

對于C,采用插空法，有A；A；=12種排法，故C正確；

對于D,有冬=4種排法，故D錯誤.

故選：ABC

1,

5.-/0.25

4

【分析】根據(jù)元素相鄰關(guān)系進行捆綁并結(jié)合排列問題得出結(jié)果.

【詳解】服務(wù)員隨機上這八道菜有A：種排法，

"沙蔥牛肉"，"北京烤鴨"相鄰有A；種排法，

A2.A71

所以所求概率尸

A；4

故答案為：

6.336

【分析】

分兩種情況，前排含有兩種不同名稱的吉祥物和前排含有三種不同名稱的吉祥物，結(jié)合排列組合知識進行

求解.

10

【詳解】

由題意可分兩種情形：

①前排含有兩種不同名稱的吉祥物，

首先，前排從"琮琮""蓮蓮"和"宸宸"中取兩種，有C；種情況，

從選出的兩種吉祥物中，其中一種取兩個，另一種選一個，有c；c；c；種排法，

選出的三個吉祥物進行排列，選一個的一定放中間，名字相同的放兩邊，

由于屬于不同的吉祥物，故有A；種排法，

綜上，有C；C；C；C；A：=24種排法；

其次，后排剩余兩個相同名字的吉祥物和另一個名字不同的吉祥物，

故有A；=2種排法，故共有24x2=48種不同的排法；

②前排含有三種不同名稱的吉祥物，

先從"琮琮""蓮蓮"和"宸宸"各二選一，有C；C；C；種選法，

再進行全排列，故有C；C；C；A；=48種排法；

同理后排有A；=6種排法，止匕時共有48x6=288種排法；

因此，共有48+288=336種排法，

故答案為:336.

反思提升：

排列應(yīng)用問題的分類與解法

(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時

一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多

的問題可以采用間接法.

(2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件

的排列問題的常用方法.

【考點2】組合問題

一、單選題

1.(2024?河南?模擬預(yù)測)將8個數(shù)學(xué)競賽名額全部分給4個不同的班，其中甲、乙兩班至少各有1個名額，

則不同的分配方案種數(shù)為()

A.56B.84C.126D.210

11

2.（2024?河南商丘?模擬預(yù)測）若S（"）=f”與c,則5（98）=（）

M（左+1）伏+2）

101Kl010

“2-102。2-101「2°-101c2"-100

A.-------D.------------------C.--------------D.-------------

102001020099009900

二、多選題

3.（2023?吉林?三模）從4名男生和3名女生中選出4人去參加一項創(chuàng)新大賽，下列說法正確的是（）

A.若4人中男生女生各選2人，則有18種選法

B.若男生甲和女生乙必須在內(nèi)，則有12種選法

C.若男生甲和女生乙至少有1人在內(nèi)，則有15種選法

D.若4人中既有男生又有女生，則有34種選法

4.（2024?河南信陽?二模）下列命題中真命題是（）

A.設(shè)一組數(shù)據(jù)4孫…,％的平均數(shù)為"方差為$2,則$2=,￡尤；-（可2

〃i=\

B.將4個人分到三個不同的崗位工作，每個崗位至少1人，有36種不同的方法

C.一組數(shù)據(jù)148,149,154,155,155,156,157,158,159,161的第75百分位數(shù)為158

D.已知隨機變量乂的分布列為「（*=7）=吊%（，=1,2,3,...,100）,則。=粉

三、填空題

5.（2024?湖北?二模）已知x,y,zeN*,且y>2,z>3,則方程x+y+z=10的解的組數(shù)為.

6.（2024?廣東?模擬預(yù)測）將1到10這10個正整數(shù)平均分成甲、乙兩組，每組5個正整數(shù)，且甲組的中位

數(shù)比乙組的中位數(shù)小1,則不同的平分方法共有種.

參考答案:

題號1234

答案BCADABC

1.B

【分析】將問題等價轉(zhuǎn)換為將10個數(shù)學(xué)競賽名額全部分給4個不同的班，每個班至少有1個名額的分法,

利用隔板法即可求解.

【詳解】將8個數(shù)學(xué)競賽名額全部分給4個不同的班，其中甲、乙兩班至少各有1個名額的分法，

等價于將10個數(shù)學(xué)競賽名額全部分給4個不同的班，每個班至少有1個名額的分法.

用3個隔板插入10個小球中間的空隙中，將球分成4堆，

由于10個小球中間共有9個空隙，因此共有C；=84種不同的分法.

故選：B.

2.C

12

【分析】利用組合數(shù)公式可得,再求和并結(jié)合二項式系數(shù)的性質(zhì)求出5("),然后

(左+1)(左+2)(〃+2)(〃+1)

賦值即得.

n\n\

【詳解】依題意,

(左+1)(左+2)(%+2)(左+1)?%!(〃一%)!(女+2)!("_%)!

1(幾+2)!

(〃+2)5+1)(左+2)![(〃+2)—(％+2)]!(n+2)(n+l)

「左+2

11,+2

則$(")=￡5+2ZC震=(ZC—久)

k=0(〃+2)(九+1)(〃+2)(〃+1)氏=0(〃+2)(〃+1)k=0

12n+2-n-3

[2"+2-(H+2)-1]=

(〃+2)(〃+1)(〃+2)(〃+1)

2100-101

所以5(98)=

9900

故選：C

n\

【點睛】關(guān)鍵點點睛：正確掌握并運用組合數(shù)公式C：而二初及階乘的運算性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

ml

3.AD

【分析】選項A、B根據(jù)組合及分步計數(shù)原理的知識可列出表達式，進行計算可得結(jié)果；選項C、D可采用

間接的方法，先計算出反面一共有多少種，然后用總的種數(shù)減去反面的種數(shù)即可得到結(jié)果.

【詳解】對選項A,依題意，根據(jù)組合及分步計數(shù)原理，可知一共有=6x3=18種.所以該選項正確;

對選項B,依題意，要從7名同學(xué)中選取4人，而甲乙必須在內(nèi)，則相當于從5名同學(xué)中選取2人，一共有

砥=10種.所以該選項不正確；

對選項C,依題意，要從7名同學(xué)中選取4人，一共有C：=35種，而甲乙都不在內(nèi)一共有C；=5種，

.?.甲與乙至少要有1人在內(nèi)有C；-C；=35-5=30種.所以該選項錯誤；

對選項D,依題意，假設(shè)全是男生一共有C：=l種，全是女生的情況沒有，

,既有男生又有女生一共有C；-C：=35-1=34種.所以該選項正確.

故選：AD

4.ABC

【分析】對于A,由方差公式平均數(shù)公式化簡即可；對于B,由先分組再分配即可；對于C,由百分位數(shù)的

定義求解即可；對于D,由所以概率之和為1,裂項求和即可判斷.

1〃7

【詳解】對于A,由方差定義可得$2=—2(%-可

ni=l

所以52=工￡任2-2XjX+)=—-2x^xi+加之］

n

NJ=13=1i=l)

13

=—^^-2rix2+rix^=—^j^-x2,A正確；

對于B,先把4個人分成3組，每組至少一個人，有Cj=6種分法,

再把三族人分配到三個不同的工作崗位，有A；=6種分配方法，

所以共有6x6=36種不同的方法，故B正確;

對于C,10x75%=7.5,所以該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為158,故C正確;

對于D,尸(X=J=一4)?=1,2,3,…,100),

2(ZI1)kIII1J

111111Cl1110°〃1而山_101

?T以Q|1---1-----F???H---------I=QI1-------------1所以”而,故D錯誤.

(223100101J1101J101

故選：ABC.

5.15

【分析】問題等價于將7個相同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子中至少放入1個小球的方法個數(shù)，

利用隔板法求解即可.

【詳解】由題意，原問題等價于將7個相同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子中至少放入1個小球的

方法個數(shù)，在7個相同的小球之間形成的6個空中，任選2個放入兩個隔板，共有C；=?==15種方法，

2x1

即方程x+y+z=10的解的組數(shù)為15.

故答案為：15

6.36

【分析】首先確定甲和乙的中位數(shù)，再從其他的數(shù)字分組，利用組合數(shù)公式，即可求解.

【詳解】依題意，甲組的中位數(shù)必為5,乙組的中位數(shù)必為6,

所以甲組另外四個數(shù)，可從L2,3,4和7,8,9,10這兩組數(shù)各取2個，共有C：Cj=36.

故答案為：36

反思提升：

組合問題常有以下兩類題型變化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元

素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.

(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多

這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)

雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.

【考點3】排列與組合的綜合問題

一、單選題

14

1.（22-23高三下?湖北?階段練習）甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有A3,C三

個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū).則每個小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在A小區(qū)的概率

為（）

19310025

A.-----B.-----C.—D.一

24324339

2.（22-23高三下?江蘇蘇州?開學(xué)考試）將六枚棋子A,B,C,D,E,尸放置在2x3的棋盤中，并用紅、黃、

藍三種顏色的油漆對其進行上色（顏色不必全部選用），要求相鄰棋子的顏色不能相同，且棋子48的顏

色必須相同，則一共有（）種不同的放置與上色方式

A.11232B.10483C.10368D.5616

二、多選題

3.（21-22高二?全國?單元測試）帶有編號1、2、3、4、5的五個球，貝|（）

A.全部投入4個不同的盒子里，共有45種放法

B.放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，共有C：種放法

C.將其中的4個球投入4個盒子里的一個（另一個球不投入），共有C；C；種放法

D.全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，共有C；A：種不同的放法

三、填空題

4.（2024?廣東佛山?二模）甲、乙、丙3人在公交總站上了同一輛公交車，已知3人都將在第4站至第8站

的某一公交站點下車，且在每一個公交站點最多只有兩人同時下車，從同一公交站點下車的兩人不區(qū)分下

車的順序，則甲、乙、丙3人下車的不同方法總數(shù)是.

5.（2023?廣東汕頭?三模）現(xiàn)在有5人通過3個不同的閘機進站乘車，每個閘機每次只能過1人，要求每個

閘機都要有入經(jīng)過，則有種不同的進站方式（用數(shù)字作答）

參考答案:

題號123

答案BCACD

1.B

【分析】根據(jù)題意，先求得所有情況數(shù)，然后求得甲去A的情況數(shù)，從而得到甲不去A小區(qū)的情況數(shù)，再

結(jié)合概率公式，即可得到結(jié)果.

【詳解】首先求所有可能情況，5個人去3個地方，共有35=243種情況，

再計算5個人去3個地方，且每個地方至少有一個人去，

5人被分為3,1,1或2,2,1

當5人被分為3,1,1時，情況數(shù)為C；xA；=60；

15

當5人被分為2,2,1時，情況數(shù)為生與蟲.=90；

A；

所以共有60+90=150.

由于所求甲不去A,情況數(shù)較多，反向思考，求甲去A的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，

當5人被分為3,1,1時，且甲去A,甲若為1,則C；xA；=8,甲若為3,則C；xA；=12

共計8+12=20種，

當5人被分為2,2,1時，且甲去A,甲若為1,則"|xA；=6,甲若為2,貝|C；xC；xA；=24,共計6+24=30

種，

所以甲不在A小區(qū)的概率為-（20+3。）=W2

243243

故選：B.

2.C

【分析】進行顏色分配，然后利用分類原理的相加和分步相乘的原理進行分析即可.

【詳解】①3個1,3個2,0個3如表：

□0

000

只用兩種顏色，并選取兩個位置放此時有：A；（C；+C；）=36種,

②1個1,2個2,3個3如表:

000

000

選用三種顏色（1+2+3,且只用一次的顏色放在拐角），并選取兩個位置放AB,此時有：C〉A(chǔ)，（C；+C；）=96

種，

或

000

000

選用三種顏色（1+2+3,且只用一次的顏色放在中間），并選取兩個位置放物此時有：C>ANC：+C；）=48

16

種，

③2個工，2個2,2個3如表:

0

00

選用三種顏色（2+2+2）,并選取兩個位置放A3,此時有：C；?A；=18種,

或

n0

Q0

選用三種顏色（2+2+2）,并選取兩個位置放AB,此時有：C；?A；=18種,

所以不同的放置與上色方式有：

（36+96+48+18+18>A；?A：=10368.

故選：C.

3.ACD

【分析】對A：根據(jù)分步乘法計數(shù)原理運算求解；對B：分類討論一共用了幾個球，再結(jié)合捆綁法運算求解;

對C：根據(jù)分步乘法計數(shù)原理運算求解；對D：利用捆綁法運算求解.

【詳解】對于A：每個球都可以放入4個不同的盒子，貝IJ共有4x4x4x4x4=45種放法，A正確；

對于B：放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，則有：

全部投入4個不同的盒子里，每盒至少一個，相當于把其中的2個球捆綁成一個球，再進行排列，共有

C；A：=240種放法，B錯誤;

對于C：先選擇4個球，有C：種，再選擇一個盒子，有C；種，故共有C：C；種放法，C正確；

對于D：全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，則相當于把其中的2個球捆綁成一個球，再進行排列，共

有C；A：=240種放法，D正確;

故選：ACD.

4.120

【分析】分3人都在第4站至第8站的某一公交站點1人獨自出下車和3人中有2人在同一公交站點下車，

另人在另外一公交站點下車，兩種情況討論即可，

【詳解】由題意，3人都在第4站至第8站的某一公交站點工人獨自出下車，共有A；=60種，

17

3人中有2人在同一公交站點下車，另1人在另外一公交站點下車，共有C；A；=60種，

故甲、乙、丙3人下車的不同方法總數(shù)是60+60=120種.

故答案為：120.

5.720

【分析】考慮1+1+3和2+2+1兩種情況，結(jié)合同一閘機的不同人的順序，計算相加得到答案.

【詳解】將5人分為3組，有1+1+3和2+2+1兩種情況：

當分組為1+1+3時：共有.A；=360；

當分組為2+2+1時：共有V7^A，A；?A；=360；

A?

綜上所述：共有360+360=720種不同的進站方式.

故答案為：720.

反思提升：

（1）對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件

的排列問題的常用方法.

⑵對于分堆與分配問題應(yīng)注意三點

①處理分配問題要注意先分堆再分配.

②被分配的元素是不同的.

③分堆時要注意是否均勻.

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?貴州?三模）2023年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（決賽）于2023年11月26日至12月3日在湖

北省武漢市武鋼三中舉行，賽后來自某所學(xué)校的3名同學(xué)和2名老師站成一排合影，若兩名老師之間至少

有一名同學(xué)，則不同的站法有（）種.

A.48B.64C.72D.120

2.（2024?廣東深圳?二模）已知某六名同學(xué)在CMO競賽中獲得前六名（無并列情況），其中甲或乙是第一名，

丙不是前三名，則這六名同學(xué)獲得的名次情況可能有（）

A.72種B.96種C.144種D.288種

3.（2024?河北邯鄲?二模）某班聯(lián)歡會原定5個節(jié)目，己排成節(jié)目單，開演前又增加了2個節(jié)目，現(xiàn)將這2

個新節(jié)目插入節(jié)目單中，要求新節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數(shù)為（）

18

A.12B.18C.20D.60.

4.（2024?山東煙臺?一模）將8個大小形狀完全相同的小球放入3個不同的盒子中，要求每個盒子中至少放

2個小球，則不同放法的種數(shù)為（）

A.3B.6C.10D.15

二、多選題

5.（23-24高三上?福建廈門?期中）以下結(jié)論中，正確的是（）

A.若復(fù)數(shù)z（l—3i）=2-i,則+

B.若復(fù)數(shù)z滿足|z-2i|=l,則忖的最大值為3

C.已知復(fù)數(shù)2=。+歷，其中ae{—2,0,1}4€{0,1,4,9},則復(fù)數(shù)2=。+歷是純虛數(shù)的概率為；

D.A,B,C,D,E五名學(xué)生按任意次序站成一排，則A和8站兩端的概率為《

6.（2023?湖北武漢?一模）已知離散型隨機變量X服從二項分布3（”,p）,其中〃wN*,0<p<l,記X為奇

數(shù)的概率為。，X為偶數(shù)的概率為6,則下列說法中正確的有（）

A.a-\-b=l8.2=3時，々=6

c.0<p<g時，。隨著"的增大而增大D.J<P<1時，。隨著〃的增大而減小

7.（2024?山東青島?一模）袋子中有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中隨機取出兩個球，

設(shè)事件A="取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)"，事件3="取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)"，事件C="取出的球的數(shù)

字之和為偶數(shù)"，則（）

A.事件A與B是互斥事件B.事件A與8是對立事件

C.事件B與C是互斥事件D.事件8與C相互獨立

三、填空題

8.（23