2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：拋物線（原卷版）

專題50拋物線（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................4

【考點(diǎn)1］拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程............................................4

【考點(diǎn)2］拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用............................................5

【考點(diǎn)3】直線與拋物線的綜合問題............................................7

【分層檢測(cè)】................................................................8

【基礎(chǔ)篇】..................................................................8

【能力篇】.................................................................10

【培優(yōu)篇】.................................................................10

考試要求：

1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).

2.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

.知識(shí)梳理

L拋物線的定義

(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)R和一條定直線1(1不經(jīng)過點(diǎn)￡)的距離相笠的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F

叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：{MI"W=d}(d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線I的距離).

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

圖形

y2=~2pxf=~2py

y2=2px(/?>0)x2=2py(p>Q)

標(biāo)準(zhǔn)方程⑦>0)(P>0)

"的幾何意義：焦點(diǎn)R到準(zhǔn)線/的距離

頂點(diǎn)0(0,0)

對(duì)稱

y=0x=0

軸

隹占電,0)山,§

八、、八、、

性離心

e=l

質(zhì)率

準(zhǔn)線

2x=E22

x=—2冗尸2

方程2

范圍X三0,yERyWO,%￡R

開口

向右向左向上向下

方向

|常用結(jié)論

1.通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)等于2p,通徑是過焦點(diǎn)最短的弦.

2.拋物線丁2=2內(nèi)(戶0)上一點(diǎn)P(xo,yo)到焦點(diǎn)年,0)的距離|PF|=xo+$稱為拋物線的焦半徑.

真題自測(cè)

一、單選題

2

L（2022?全國(guó)?高考真題）設(shè)尸為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)以3,0）,若|AF|=忸尸|,貝||的=

A.2B.272C.3D.3直

二、多選題

2.（2024?全國(guó)?高考真題）拋物線C：y2=4x的準(zhǔn)線為/,p為C上的動(dòng)點(diǎn)，過尸作。A:/+⑶一4）?=1的

一條切線，。為切點(diǎn)，過P作/的垂線，垂足為8,則（）

A./與0A相切

B.當(dāng)尸，A,3三點(diǎn)共線時(shí)，|PQ|=A

C.當(dāng)|PB|=2時(shí)，PA±AB

D.滿足I尸4月尸B|的點(diǎn)尸有且僅有2個(gè)

3.（2023?全國(guó)?高考真題）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-6（x-l）過拋物線C：/=2”（p>0）的焦點(diǎn)，且與

C交于M,N兩點(diǎn)，/為C的準(zhǔn)線，則（）.

Q

A.p=2B.

C.以MN為直徑的圓與/相切D.為等腰三角形

4.（2022?全國(guó)?高考真題）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C:/=2p無（0>0）焦點(diǎn)廠的直線與C交于A,8兩

點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M（p,0）,若|4F|=|AM|,則（）

A.直線的斜率為26B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4\OF\D.ZOAM+ZOBM<1SO0

5.（2022?全國(guó),高考真題）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1,D在拋物線C:1=2py（p>0）上，過點(diǎn)8（0,-1）的直

線交C于尸，0兩點(diǎn)，則（）

A.C的準(zhǔn)線為y=-lB.直線AB與C相切

C.\OP\-\OQ\>\OAfD.\BP\\BQ\>\BA\l

三、填空題

6.（2023?全國(guó)?高考真題）已知點(diǎn)在拋物線C：產(chǎn)=2內(nèi)上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為.

四、解答題

7.（2022?全國(guó)?高考真題）設(shè)拋物線。：丫2=2。吠0>0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)。他,0）,過尸的直線交C于跖N

兩點(diǎn).當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，\MF\=3.

⑴求C的方程;

3

（2）設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,A8的傾斜角分別為a4.當(dāng)a-尸取得最大

值時(shí)，求直線AB的方程.

庠考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

一、單選題

1.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）過拋物線產(chǎn)=2尤上的一點(diǎn)尸作圓C：（元-4）?+丁=1的切線，切點(diǎn)為A,

B,則|人5|忖。的最小值是（）

A.4B.2A/6C.6D.40

■rr

2.（2024?河南南陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知過拋物線C:丁=2px（〃〉0）的焦點(diǎn)F且傾斜角為二的直線交。于A5兩

點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。是。上一點(diǎn)，若點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1,直線/：3x+2y+3=0,則2到C的準(zhǔn)線的

距離與尸到I的距離之和的最小值為（）

A3而R5V13r3而n9而

26261326

二、多選題

3.（23-24高三下?河北,開學(xué)考試）雙曲拋物線又稱馬鞍面，其形似馬具中的馬鞍表面而得名.其在力學(xué)、

建筑學(xué)、美學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.在空間直角坐標(biāo)系中，將一條xOz平面內(nèi)開口向上的拋物線沿著另一條

yOz平面內(nèi)開口向下的拋物線滑動(dòng)（兩條拋物線的頂點(diǎn)重合）所形成的就是馬鞍面，其坐標(biāo)原點(diǎn)被稱為馬

22

鞍面的鞍點(diǎn)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為3-《=2z（a>0,6>0）,則下列說法正確的是（）

A.用平行于xOy平面的面截馬鞍面，所得軌跡為雙曲線

B.用法向量為（1,0,0）的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線

C.用垂直于y軸的平面截馬鞍面所得軌跡為雙曲線

D.用過原點(diǎn)且法向量為（LLO）的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線

4.（23-24高二下?河南?期末）已知拋物線C:?的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/,點(diǎn)尸是C上位于第一象限的動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)”為/與》軸的交點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

4

A.尸到直線/的距離為2

B.以尸為圓心，|尸尸|為半徑的圓與/相切

C.直線MP斜率的最大值為2

D.若則△NWP的面積為2

三、填空題

5.（2024?北京朝陽(yáng)?一模）已知拋物線VUZPMP>。）的焦點(diǎn)為歹，準(zhǔn)線方程為y=-l,則。=

設(shè)。為原點(diǎn)，點(diǎn)加5,為）在拋物線上，^\OM\=\FM\,則%=.

6.（2024?安徽?二模）已知拋物線>=依2的焦點(diǎn)/，直線/過P與拋物線交于A,3兩點(diǎn)，若A（4,4）,則直

線/的方程為,△OAB的面積為（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

反思提升：

求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方程的類

型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)2，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)

方程.

【考點(diǎn)2】拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用

一、單選題

1.（2022?江蘇?一模）P是拋物線V=2x的焦點(diǎn)，以尸為端點(diǎn)的射線與拋物線相交于A,與拋物線的準(zhǔn)線

相交于B,若麗=4麗，貝IFA'FB=

39

A.1B.-C.2D.-

24

2.（2023?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）己知拋物線E:f=4y,圓C:/+（萬3）2=1,P為E上一點(diǎn),。為C上一

點(diǎn)，則的最小值為（）

A.2B.2.72-1C.2A/2D.3

二、多選題

3.（2023?廣東佛山?二模）如圖拋物線口的頂點(diǎn)為A,焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為4,焦準(zhǔn)距為4；拋物線口的頂點(diǎn)

為B,焦點(diǎn)也為F,準(zhǔn)線為4,焦準(zhǔn)距為6.和和上交于尸、。兩點(diǎn)，分別過尸、。作直線與兩準(zhǔn)線垂直,

垂足分別為加、N、S、T,過尸的直線與封閉曲線交于C、。兩點(diǎn)，則（）

Q

5

A.|45|=5B.四邊形MJST的面積為100

「25-

c.FS.FT=0D.|CD|的取值范圍為5,y

4.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知曲線C上的點(diǎn)滿足：到定點(diǎn)（1,0）與定直線V軸的距離的差為定值加，其中，

點(diǎn)A,8分別為曲線C上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)8恒在點(diǎn)A的右側(cè)，則（）

A.若，”=[,則曲線C的圖象為一條拋物線

B.若〃z=l,則曲線C的方程為丁=4x

C.當(dāng)〃2＞1時(shí)，對(duì)于任意的A（芯,%）,3（苞,%）,都有㈤＞民|

D.當(dāng)加＜-1時(shí)，對(duì)于任意的4（%,%）,3（如為）,都有聞＞同

三、填空題

5.（22-23高三上?江蘇南通?期中）已知拋物線M：x2=4y,圓C：x2+（y-3）2=4,在拋物線M上任取一

點(diǎn)P,向圓C作兩條切線和尸3,切點(diǎn)分別為A,B,則m?麗的取值范圍是.

6.（22-23高三上?湖南益陽(yáng),期末）已知拋物線C-.y2=2x的焦點(diǎn)為。圓O:V+/=3與C交于M,N兩點(diǎn)，

其中點(diǎn)”在第一象限，點(diǎn)尸在直線％=-2上運(yùn)動(dòng)，記麗=4麗+〃兩（4〃wR）.

①當(dāng)而〃麗時(shí)，有乎；

__3

②當(dāng)痂_L兩時(shí)，有彳=一天

③APMN可能是等腰直角三角形；

其中命題中正確的有.

反思提升：

與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個(gè)轉(zhuǎn)化策略

轉(zhuǎn)化策略一：將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段

最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.

轉(zhuǎn)化策略二：將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連

線中垂線段最短”原理解決.

【考點(diǎn)3】直線與拋物線的綜合問題

一、解答題

1.（2024?廣西南寧?一模）已知曲線「：/=”.

⑴若點(diǎn)T（r,s）是「上的任意一點(diǎn)，直線/：y=；x-s,判斷直線/與「的位置關(guān)系并證明.

⑵若E是直線y=T上的動(dòng)點(diǎn)，直線E4與：T相切于點(diǎn)A,直線EB與「相切于點(diǎn)3.

6

①試問NAEB是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

EBAB

②若直線反，防與x軸分別交于點(diǎn)CD,證明：—=

ziCCD

2.(2024?江蘇南京?二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)在原點(diǎn)。的拋物線E經(jīng)過點(diǎn)4(9,6).

⑴求拋物線E的方程；

(2)若拋物線E不經(jīng)過第二象限，且經(jīng)過點(diǎn)3(0,3)的直線/交拋物線E于"，N,兩點(diǎn)(忸過M

作x軸的垂線交線段。4于點(diǎn)P.

①當(dāng)MP經(jīng)過拋物線E的焦點(diǎn)/時(shí)，求直線NP的方程；

②求點(diǎn)A到直線NP的距離的最大值.

3.(2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè))設(shè)拋物線Uy?=2px(0>O)的焦點(diǎn)為尸，「(毛,%)是C上一點(diǎn)且

|PF|2-|PF|=%+/,直線/經(jīng)過點(diǎn)。(-8,0).

(1)求拋物線C的方程；

(2)①若/與C相切，且切點(diǎn)在第一象限，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若/與C在第一象限內(nèi)的兩個(gè)不同交點(diǎn)為A3,且。關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為R,證明：直線A氏3R的傾

斜角之和為兀.

4.(2024?山西太原二模)已知拋物線C：y=2px(。>0)的焦點(diǎn)為R過點(diǎn)。(2,1)且斜率為1的直線經(jīng)

過點(diǎn)F.

⑴求拋物線C的方程；

(2)若A,B是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M(異于坐標(biāo)原點(diǎn)。)，使得當(dāng)直線A2經(jīng)過點(diǎn)

/時(shí)，滿足。4,03?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

5.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)4(4,4),B,C,。均在拋物線W：Y=2py(p>0)上，A,C關(guān)于V軸

對(duì)稱，直線A3,AO關(guān)于直線AC對(duì)稱，點(diǎn)。在直線AC的上方，直線A。交'軸于點(diǎn)E,直線A3斜率小

于2.

⑴求AABE面積的最大值；

⑵記四邊形BCOE的面積為Sj,△相￡的面積為S2,若9~=2,求sin/B4￡).

6.(2025?四川巴中?模擬預(yù)測(cè))已知?jiǎng)訄A。經(jīng)過點(diǎn)尸(L0)且與直線x=-l相切，記圓心2的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)/且斜率為正的直線/交曲線C于A3兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方)，他的中點(diǎn)為

7

①過作直線x=T的垂線，垂足分別為M，用，試證明：AM,//FBt.

②設(shè)線段A3的垂直平分線交尤軸于點(diǎn)尸，若AERW的面積為4,求直線/的方程.

反思提升：

1.有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn).若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接

使用公式|A3|=xi+x2+p,若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式.

2.涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、

“整體代入”等解法.

分層檢測(cè)

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?北京西城?三模）點(diǎn)廠拋物線V=2x的焦點(diǎn)，A,B,C為拋物線上三點(diǎn)，若西+麗+記=。，則

|K4|+|FB|+|FC|=()

A.2B.2A/3C.3D.4出

2.（2023?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為凡過點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線

交于A,B兩點(diǎn),^\AF\-\BF\=2,則2=（）

A.4B.3C.2D.1

3.（2024?河南駐馬店?二模）已知點(diǎn)尸（6,%）在焦點(diǎn)為尸的拋物線。:產(chǎn)=2座5>0）上，若|尸盟=g,貝！Jp=

（）

A.3B.6C.9D.12

4.（2024?山東聊城?二模）點(diǎn)夕在拋物線丁=8%上,若點(diǎn)P到點(diǎn)（2,0）的距離為6,則點(diǎn)P到V軸的距離為（）

A.4B.5C.6D.7

二、多選題

5.（2023?山西?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)為R點(diǎn)M?,%）在C上，若/MOF=45。（。為

坐標(biāo)原點(diǎn)），則（）

A.與=4B.%=4

3

C.|MF|=5D,cosZOFM=-

6.（2024?河北保定?二模）若直線y=（。-1）無+1與拋物線C：/=2依（。工0）只有1個(gè)公共點(diǎn)，則C的焦點(diǎn)F

8

的坐標(biāo)可能是（）

A.B.[了0]C.（1,0）D.（2,0）

7.（2023?湖南常德?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線y2=2px（p>0）經(jīng)過點(diǎn)M（l,2）,其焦點(diǎn)為歹，過點(diǎn)廠的直線/與

拋物線交于點(diǎn)4（占,乂），3伍，為），設(shè)直線。4，。8的斜率分別為峭網(wǎng)，貝U（）

A.p=2B.|AB|>4

C.OAOB=-4D.kxk2=-4

三、填空題

8.（2024?山西太原?模擬預(yù)測(cè)）已知等腰梯形A8CQ的四個(gè)頂點(diǎn)在拋物線E：V=4X上，且|/叫:=1:2,

則原點(diǎn)到AB的距離與原點(diǎn)到CD的距離之比為.

9.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）若拋物線y=2px（p>0）的焦點(diǎn)是橢圓m+片=1的一個(gè)頂點(diǎn)，則"的值為

164

10.（2021?青海西寧?二模）在平面直角坐標(biāo)系X0y中，已知拋物線加：;/=22X5>（））與雙曲線

22

C:1-2=1（。>0,6>0）有公共焦點(diǎn)廠，拋物線〃與雙曲線C交于A,8兩點(diǎn)，A,B,尸三點(diǎn)共線，則

ab

雙曲線C的離心率為.

四、解答題

11.（2021?陜西漢中?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:/=2px的焦點(diǎn)為P（l,o）,直線:％=沖+《/>0）與拋物線C交

于A（%,%）,鞏馬,％）兩點(diǎn)，且35?歷=-4（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

⑴求拋物線C的方程；

⑵求證:直線AB恒過定點(diǎn).

12.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）已知A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2,0）,（2,0）,直線AM,8M相交于點(diǎn)M,

且直線AM的斜率與直線的斜率的差是Y,記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程.

（2）將曲線C向上平移4個(gè)單位得到曲線E,已知斜率為3的直線/與曲線E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。,石且滿足

歷.礪=2，求直線/的方程.

【能力篇】

一、單選題

1.（2024?陜西西安三模）設(shè)拋物線E：%2=2/他>0）的焦點(diǎn)為歹，過點(diǎn)尸（0,3）的直線與拋物線E相交于

A,B兩點(diǎn)，|A耳=2,忸刊=10,則。=（）

A.1B.2C.4D.22

9

二、多選題

2.（2024?廣東汕頭?三模）已知拋物線C：丁=2/（。＞0）的焦點(diǎn)為產(chǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在C上，若

定點(diǎn)M（2,指）滿足|MF|=2|O產(chǎn)則（）

A.C的準(zhǔn)線方程為尤=-2B.△RWF周長(zhǎng)的最小值為5

C.四邊形0PMp可能是平行四邊形D.兩■?麗的最小值為-3

三、填空題

3.（2024?廣東廣州?一模）已知曲線C是平面內(nèi)到定點(diǎn)F（0,-2）與到定直線/:y=2的距離之和等于6的點(diǎn)的

軌跡，若點(diǎn)P在C上，對(duì)給定的點(diǎn)T（-2,r）,用，"⑺表示|「司+|尸］的最小值，則，M）的最小值為.

四、解答題

4.（2024?廣西來賓?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知尸為拋物線C：V=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，。

為坐標(biāo)原點(diǎn)，〃為C的準(zhǔn)線/上一點(diǎn)，直線的斜率為-1,△。句欣的面積為4.

⑴求C的方程；

（2）過點(diǎn)F的直線交C于A,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)8作y軸的垂線交直線A。于點(diǎn)Q,過點(diǎn)A作直線。尸的垂線與C

的另一交點(diǎn)為E