2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：平面向量的概念及線性運(yùn)算（原卷版）

專(zhuān)題28平面向量的概念及線性運(yùn)算（新高考專(zhuān)用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................4

【考點(diǎn)1】平面向量的概念....................................................4

【考點(diǎn)2】向量的線性運(yùn)算....................................................5

【考點(diǎn)3】共線向量定理的應(yīng)用.................................................6

【分層檢測(cè)】................................................................8

【基礎(chǔ)篇】..................................................................8

【能力篇】..................................................................9

【培優(yōu)篇】.................................................................11

考試要求：

1.了解向量的實(shí)際背景.

2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義.

3.理解向量的幾何表示.

4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.

5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.

6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.

攣知識(shí)梳理

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,用有向線段表示，此時(shí)有向線段的方向就是向量

的方向.向量后的大小就是向量的是度(或稱(chēng)模)，記作畫(huà)1.

(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量,記作0.

(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.

(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a,8平行，記作a〃氏規(guī)定：0與任

一向量平行.

(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

C

交換律：

A，a'B(1)

=

求兩個(gè)向量和三角形法則a~\~bb~\~a.

加法

的運(yùn)算(2)結(jié)合律：

(a+A)+c=a+(A+c)

OA

平行四邊形法則

求兩個(gè)向量差

減法a~b=a+(—b)

的運(yùn)算a

三角形法則

規(guī)定實(shí)數(shù)丸與

(lW=|2||fl|；

向量a的積是

(2)當(dāng)丸＞0時(shí)，加的方向=2"。；

一個(gè)向量，這

數(shù)乘與a的方向相回；當(dāng)丸＜0(2+fi)a—；

種運(yùn)算叫做向

時(shí)，7a的方向與a的方向〃〃+1)=/1。+勸

量的數(shù)乘，記

相反;當(dāng)7=0時(shí)，2a=0

作ka

3.共線向量定理

2

向量a（aWO）與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)九使歸公.

|常用結(jié)論

1.中點(diǎn)公式的向量形式：若P為線段A3的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則。＞=/以+麗）.

2.OA=AO5+//OC（A,〃為實(shí)數(shù)），若點(diǎn)A,B,C共線，則4+〃=1.

3.解決向量的概念問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向;

二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿(mǎn)足條件.

真題自測(cè)

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高考真題）已知向量。,5,工滿(mǎn)足同二網(wǎng)=1,同=3,且商+5+^=0,貝！Jcos〈M—",石-2〉=（）

4224

A.——B.——C.-D.-

5555

2.（2020?山東?高考真題）已知平行四邊形ABC。，點(diǎn)E,尸分別是AB,的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)通=人

3.（2020?海南?高考真題）在AABC中，。是48邊上的中點(diǎn)，則而二（）

A.2CD+CAB.CD-2G4C.2CD-CAD.CD+2CA

二、填空題

4.（2021?全國(guó)高考真題）4知向量0=（2,5）,3=（44）,若?！?則，=.

_______________3

5.（2020?天津?高考真題）如圖，在四邊形A3CD中，ZB=60°,AB=3,BC=6,S.AD=^BC,ADAB,

則實(shí)數(shù)％的值為,若MN是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且|麗|=1,則兩.麗的最小值為.

6.（2020?江蘇?高考真題）在EIABC中，AB=4,AC=3,N8AC=9O。,。在邊BC上，延長(zhǎng)40至l」P,使得AP=9,

_______?q__k

若麗="麗+弓-機(jī)）定（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是.

3

□e考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】平面向量的概念

一、單選題

1.（2024?廣西南寧?一模）已知AABC的外接圓圓心為。，S.2AO=AB+AC,\O^=\A^,則向量正在向量

無(wú)上的投影向量為（）

1—.1―.

A.-CBB.—CBC.—CBD.—CA

4442

2.（2024?湖南永州?三模）在AABC中，ZAC8=120",河|=3,國(guó)=4,DCDB=0>則畫(huà)+碼的最

小值為（）

A.6月-2B.2M-4C.373-1D.719-2

二、多選題

3.（2022?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知向量2=（0」），S=（cos^sin/9）（0<^<^）,則下列命題正確的是（）

A.若則tan6=也

B.若B在Z上的投影向量為-且九則向量Z與B的夾角為耳

63

C.若B與￡共線,則1為再用或

D.存在仇使得卜+B卜同+忖

4.（2022?遼寧丹東?模擬預(yù)測(cè)）己知b，"為單位向量，若Z+2l+3"="則（）

A.|a-c|=2B.b^c

C.ab+bc=0D.3a+2B+c=6

三、填空題

5.（2022?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐P-ABC。的底面ABC。是矩形，且該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在球。的

球面上，B4團(tuán)平面ABC。，E4=AB=2,BC=20,點(diǎn)E在棱尸2上，且誑=2法，過(guò)E作球。的截面，則

所得截面面積的最小值是.

6.（2022?江蘇?三模）已知向量2=（6,2）,與￡共線且方向相反的單位向量5=.

反思提升：

4

平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)

（1）相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

（2）共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).

（3）向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移

混淆.

（4）非零向量a與言的關(guān)系：言是與a同方向的單位向量.

【考點(diǎn)2】向量的線性運(yùn)算

一、單選題

ULULULUUUU

1.（2024?廣西模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，通=4而，CE=2ES^BC=ZAE+jLiCD,則（）

2

A.九十"=5B.2-//=1C.24=6D.—=3

4

2.（2024?河北承德?二模）在中，。為中點(diǎn)，連接設(shè)E1為A。中點(diǎn)，且麗=元，廢=歹，則反

（）

A.4元+29B.-4元+歹

C.-4寵一29D.49一2元

二、多選題

3.（2023?山東濰坊?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)。為她3C內(nèi)的一點(diǎn)，D,E分別是BC,AC的中點(diǎn)，則（）

A.若。為中點(diǎn)，則而=g（屈+宓）

B.若O為AO中點(diǎn)，貝"麗=：荏一!近

C.若。為EA8C的重心，則歷+礪=6

D.若。為0ABe的外心，且8C=4,則詼.阮=-8

4.（2024?福建廈門(mén)三模）已知等邊AABC的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)。，E滿(mǎn)足瓦5=2方X，BE=EC,AE與CZ）交于

點(diǎn)。，貝I（）

A.CD=|cA+|cSB.BOBC=8

C.CO=2ODD.\OA+OB+OC\=-j3

三、填空題

5.（2023?上海黃浦?三模）在AABC中，/C=90。，N8=30。，N54C的平分線交8c于點(diǎn)。，若

AD=2AJB+//AC（2，X/GR）,則一=.

6.（2024?山西太原?三模）趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一

書(shū)作序時(shí)，介紹了"勾股圓方圖"，亦稱(chēng)"趙爽弦圖"（以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形）.類(lèi)比"趙爽弦

5

圖"，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，

且止=酢，點(diǎn)P在AB上，3尸=2AP,點(diǎn)。在ADEF內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，^PQ=APl5+PA,則幾的最大

值為—.

反思提升：

1.（1）解決平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反

向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.

（2）在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則及

三角形中位線定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向

量線性表示.

2.與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加

法或減法運(yùn)算，然后通過(guò)建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.

【考點(diǎn)3】共線向量定理的應(yīng)用

一、單選題

L（2024?全國(guó),模擬預(yù)測(cè)）已知平面上點(diǎn)。，A,8滿(mǎn)足|礪|=|幅|=2,且|礪+礪|=|函點(diǎn)C滿(mǎn)足

同一礪卜母，動(dòng)點(diǎn)尸滿(mǎn)足存=汨+（1-。元，則陽(yáng)的最小值為（）

A.叵B.酒C.1D.1或應(yīng)

777

22

2.（2024?浙江臺(tái)州?二模）設(shè)耳，生是雙曲線C：+一斗=1（。＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別在雙

ab

曲線。的左、右兩支上，且滿(mǎn)足NgN=5,NF^=2MF[,則雙曲線。的離心率為（）

7廣5

A.2B.—C.U3D.一

32

二、多選題

3.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2AD=2CD=2BC,E是8C的中點(diǎn)，連接

AE,相交于點(diǎn)R連接CR則下列說(shuō)法正確的是（）

6

A.AE^-AB+-ADB.AF=-AB+-AD

4255

—1—2——1—3—

C.BF=一一AB+-ADD.CF=—AB——AD

55105

4.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，平面向量￡=函，b=OB^、反，且￡是單位向量，7石=2,

=則下列結(jié)論正確的是（）

A.H=BT

-2f1-

B.若A,B,C二點(diǎn)共線，貝!JQ=§6+§C

C.若向量石—￡與￡垂直，則24的最小值為1

D.向量與石的夾角正切值的最大值為史

4

三、填空題

____UUUuuuUUULILIU4

5.（2023?上海黃浦?一模）已知四邊形A8CD是平行四邊形，右而=2詼，BF〃BE，AF-BE=0,且

UUUuuu

AF-AC^60>則AC在A廠上的數(shù)量投影為.

6.（2024?安徽淮北?一模）已知拋物線/=2/（°>0）準(zhǔn)線為/,焦點(diǎn)、為F,點(diǎn)A,B在拋物線上，點(diǎn)C在/

上，滿(mǎn)足：衣=2而，AB=HBC,若4=3,則實(shí)數(shù)〃=.

反思提升：

利用共線向量定理解題的策略

（l）a/7804=勸（方#0）是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.

（2）當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A,B,。三點(diǎn)共線今協(xié)，啟共線.

⑶若a與8不共線且癡=〃①貝|2=〃=0.

（4）dA=AO5+^OC（A,〃為實(shí)數(shù)），若A,B,C三點(diǎn)共線，則7+〃=1.

*分層檢測(cè)

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A（2,6）,B（-2,-3）,C（0,l）,。］，6）則與向量通+2①同方向

7

的單位向量為（）

（3M質(zhì)）

11010J

（27W

Ir--------------

2.（2024?河南三門(mén)峽?模擬預(yù)測(cè)）在“15。中，AN=3NC,BP=4PN,貝?。蓰?（）

1—.3—?3—?4—?

A.-AB+-CAB.-AB——CA

5555

3—?1—?1—.3—?

C.-AB——CAD.-AB——CA

5555

3.（2024?黑龍江?模擬預(yù)測(cè)）已知在梯形A3C。中，AB//CD且滿(mǎn)足與=2配，E為AC中點(diǎn)，b為線段至上

靠近點(diǎn)3的三等分點(diǎn)，設(shè)在=M,AD=b,則/=（）.

2-1干3一125一1l

A.—a——bB.—a——bC.——a——bD.-a一一br

324612226

4.（23-24高一下?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）在AASC中，E為AC上一點(diǎn)，3而，尸為BE上任意一點(diǎn)，若

_._31

AP=mABk+nACk（m>0,n>0）,則一+一的最小值是（）

mn

A.4B.8C.12D.16

二、多選題

jr

5.（22-23高三上?安徽阜陽(yáng)?期末）在AABC中，已知A=3C=5，麗=3麗，貝！I（）

A.|AB+AC|=|BC|B.|AC|=2|AD|

—.1—.3—?

C.AD=-AB+-ACD.AD1BC

44

6.（2022?廣東深圳?一模）四邊形A8CQ為邊長(zhǎng)為1的正方形，M為邊。的中點(diǎn)，則（）

A.AB=2MDB.DM-CB=AMC.AD+MC=MAD.AMBC=1

7.（2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.若。，6C為平面向量，allb.bllc,則2//工

B.若為平面向量，a1b,b.Lc,則Z//Z

C.若0=1,向=2,"勾則］在分方向上的投影為

D.在AABC中，M是AB的中點(diǎn)，AC=3SV,BN與CM交于點(diǎn)P,AP=AAB+//AC,則入=2"

三、填空題

8.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)G在AC上，且滿(mǎn)足近^3記，若麗=根荏+"布,

8

貝。根_〃=.

9.（2024?山西晉城?一模）已知兩個(gè)單位向量方，否的夾角為70。，則Y與1+石的夾角為.

10.（2023,上海徐匯?一模）在AABC中,AC=4,且在通方向上的數(shù)量投影是2則eR）的最

小值為.

四、解答題

11.（23-24高三上?江蘇徐州?階段練習(xí)）在AABC中，E為AC的中點(diǎn)，。為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn).

⑴分別用向量抽，而表示向量ST，BE;

（2）若點(diǎn)N滿(mǎn)足4RV+2通=3密，證明：B,N,￡三點(diǎn)共線.

12.（21-22高三下?山西呂梁?開(kāi)學(xué)考試）在三角形ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=2b,

JL2csinB=acos[c-7].

⑴求角C；

（2）￡為三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，AE=AB+AC，且|通|=2,求線段CE的長(zhǎng).

【能力篇】

一、單選題

1.（2024,福建漳州?模擬預(yù)測(cè)）在^ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，且加=2￡>C,E是AC的中點(diǎn)，記恁=加而=幾

則屁=（）

5--7一一7一一5一—

A.—n-3nlB.-n-3mC.—m-3nD.-m-3n

3222

二、多選題

2.（2022?山東?模擬預(yù)測(cè)）中華人民共和國(guó)的國(guó)旗圖案是由五顆五角星組成，這些五角星的位置關(guān)系象征著

中國(guó)共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)下的革命與人民大團(tuán)結(jié).如圖，五角星是由五個(gè)全等且頂角為36。的等腰三角形和一個(gè)正五

邊形組成.已知當(dāng)AB=2時(shí)，BD=y/5-l,則下列結(jié)論正確的為（）

Inum?Iuuir?

叫UUIUULL

A.=QHB.AFBJ=0

c.消.51聯(lián)UULUUIUuuuuu

D.CB+CD=JC-JH

2

三、填空題

9

3.（2023?江蘇南京?二模）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)介紹了"勾股圓方圖"，亦稱(chēng)"趙

爽弦圖”（如圖1）.某數(shù)學(xué)興趣小組類(lèi)比“趙爽弦圖"構(gòu)造出圖2：AABC為正三