2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念（原卷版）

專題20任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................4

【考點1】象限角及終邊相同的角..............................................4

【考點2】弧度制及其應(yīng)用....................................................6

【考點3】三角函數(shù)的定義及應(yīng)用..............................................8

【分層檢測】................................................................9

【基礎(chǔ)篇】..................................................................9

【能力篇】.................................................................12

【培優(yōu)篇】.................................................................13

考試要求：

1.T解任意角的概念和弧度制的概念.

2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.

3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.

知識梳理

1.角的概念的推廣

(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的喘點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.

、大!按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.

Q)分六［按終邊位置不同分為象限色和軸線角.

(3)終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S={四夕=a+

k360。，左GZ}.

2.弧度制的定義和公式

(1)定義：長度等于坐/旨的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1rad.

(2)公式

|a|=:(弧長用/表示)

角a的弧度數(shù)公式

角度與弧度的換算1。—180皿1rad一

弧長公式弧長l=\a\r

扇形面積公式

3.任意角的三角函數(shù)

⑴定義

如圖，設(shè)a是一

個任意角，它的

前提*4,

終邊與單位圓交

于點P(x,y)

正弦L叫做a的正弦函數(shù),記作sina,即sina=y_

余弦工叫做a的余弦函數(shù),記作cosa,即cosa=1

正切)叫做a的正切函數(shù)，記作tana,即tana=、(xW0)

定義

正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上

三角函數(shù)的點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們

統(tǒng)稱為三角函數(shù)

(2)定義的推廣

2

設(shè)尸(x,y)是角a終邊上異于原點的任一點，它到原點的距離為r(r>0),那么sina=*cosa

=',tana=%W0).

常用結(jié)論

1.三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.角度制與弧度制可利用180。=兀rad進(jìn)行互化，在同一個式子中，采用的度量制必須一致,

不可混用.

3.象限角

第一象限角｛?|2ATT<a<2fcTT,k&Z

la\2kk&z]

第二象限角7T4-乎<a<2kTT+7T,

(a,kEz]

第三象限角尿TT+"<ot<2A：Tr+等

殊L4e

F十<aFZ

第四象限角la<2

4.軸線角

.真題自測

4

一、單選題

1.(2023?全國?高考真題)已知函數(shù)〃x)=sin3+0)，3>0)在區(qū)間］口單調(diào)遞增，直線x=￡和丁=等

為函數(shù)y=/(x)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則/

1

A.B.——C.

222

2.(2022?全國?高考真題)沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的''會

圓術(shù)〃，如圖，A5是以。為圓心，0A為半徑的圓弧，。是A3的中點，。在AB上，CDLAB.”會圓術(shù)〃

2

給出A3的弧長的近似值s的計算公式：S=AB+^CD-.當(dāng)Q4=2,NAO3=60。時，s=()

OA

3

A1”3曲11-4占C9-3百D9-4g

B.

'-22,-2---2-

二、填空題

3.（2023?北樂,IWJ考真題）已知命題P：若a,￡為第一象限角，且。>4，則tana>tan#.能說明〃為假命題

的一組火尸的值為a

4.（2023?全國?高考真題）已知函數(shù)〃x）=sin（0x+9）,如圖A,B是直線y=1■與曲線y=/（%）的兩個交

點，若|A8|=g貝4（兀）=

6

5.（2023■全國■高考真題）若ee（0，W；tand=g,貝!|sin6-cos6=

6.（2021?北京?高考真題）若點A（cosO,sin0）關(guān)于y軸對稱點為B（cos0+g）,sin（e+g）），寫出6的一個取值為

o6

考點突破

【考點1】象限角及終邊相同的角

一、單選題

1.（23-24高一下?河南?階段練習(xí)）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角。的集合是（

A.scc|----F2EWa<（2左+1）兀，攵￡Z}B.------FEWaW（左+1）兀,左￡Z

a|一個'+2左兀<a<（2"1）兀，左￡ZD.（a|-e+2%兀<a<2kn,kGZ

C.

4

2.（2022?全國，模擬預(yù)測）己知角a第二象限角，且coas'ucoas,,則角n彳是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

二、多選題

3.（23-24高一上?吉林長春?期末）下列說法正確的是（）

a

A."a為第一象限角"是為第一象限角或第三象限角"的充分不必要條件

兀1

B.〃a=一+2E,左eZ"是"sina=—〃的充要條件

62

C.設(shè)=:，攵￡Z,,N=，za=??￡Z,,則〃是"OwN〃的充分不必要條件

Q

D."sin。＞0"是"tan：＞0"的必要不充分條件

4.（22-23高二下?吉林長春?期末）下列說法正確的是（）

A.軸截面為等腰直角三角形的圓錐，其側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為岳

B.若貝！]Jl-2sin（■!+＜/]sin-a）=sina-cosa

a

c.已知a為銳角，sina=.角夕的終邊上有一點P（2,l）,則tanQ+0=l

D.在-360。~360。范圍內(nèi)，與T10。角終邊相同的角是310。和-50。

三、填空題

5.（2022?河南開封?三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角￡均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于直線＞=x

對稱.若sina=g,則sin（a-￡）=.

6.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知a的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊在第二象限，sin?=@，

23

則tana的值為.

反思提升：

（1）利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的

所有角的集合，然后通過集合中的參數(shù)網(wǎng)左?Z）賦值來求得所需的角.

n

（2）確定ka,不kGN*）的終邊位置的方法

nn

先寫出ht或強(qiáng)勺范圍，然后根據(jù)上的可能取值確定ka或巖勺終邊所在的位置.

K.K

【考點2】弧度制及其應(yīng)用

一、單選題

1.（2023?陜西安康?三模）羽毛球運動是一項全民喜愛的體育運動，標(biāo)準(zhǔn)的羽毛球由16根羽毛固定在球托

5

上，測得每根羽毛在球托之外的長為6cm,球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個圓臺的側(cè)面，測得頂端

所圍成圓的直徑是6cm,底部所圍成圓的直徑是2cm,據(jù)此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展開圖的圓

心角為（）

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕.源遠(yuǎn)流長的磚雕，由東周瓦當(dāng)、漢代畫像磚

等發(fā)展而來，明清時代進(jìn)入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派.蘇

派磚雕被稱為"南方之秀"，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑

中.圖（1）是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環(huán)ABC。，如圖（2）,磚雕厚度為6cm,AD=80cm,C￡>=3AB，

CO所對的圓心角為直角,則該梅花磚雕的表面積為（單位：cm2）（）

圖⑴圖⑵

A.3200兀48071+960C.688071+960D.368071+960

二、多選題

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交于點4（1,0）,以無軸的非負(fù)半軸為始邊作銳

7T

角a,6，a-（3,它們的終邊分別與單位圓相交于點A，A，P.若a=；，則下列說法正確的是（）

B.當(dāng)〃時，扇形0A［的面積為B

66

6

C.當(dāng)月=?時，四邊形。針居的面積為2+逐一行

48

D.四邊形出面積的最大值為1

4.（23-24高三上?云南昆明?階段練習(xí)）質(zhì)點A,B在以坐標(biāo)原點。為圓心，半徑為1的圓上同時出發(fā)做逆

時針勻速圓周運動，點A的起點在射線>=氐（x?0）與圓。的交點處，點A的角速度為lrad/s,點2

的起點在圓。與x軸正半軸的交點處，點8的角速度為2rad/s,則下列說法正確的是（）

A.在2s末時，點B的坐標(biāo)為（-cos4,-sin4）

7T

B.在2s末時，劣弧A3的長為2-耳

C.在5兀s末時，點A與點5重合

D.當(dāng)點A與點8重合時，點A的坐標(biāo)可以為，J,#]

三、填空題

5.（2023?上海普陀?一模）若圓。上的一段圓弧長與該圓的內(nèi)接正六邊形的邊長相等，則這段圓弧所對的圓

心角的大小為.

6.（2024?上海黃浦?二模）如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實線部分（它由線段尸與分別以

OC,OD為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點C,。是線段A3上的動點，點。為線段AB,CD的中

點，點區(qū)尸在以A3為直徑的半圓弧上，且均為直角.若鉆=1百米，則此步道的最大長度為一

百米.

E廠……

ACODB

反思提升：

應(yīng)用弧度制解決問題時應(yīng)注意：

（1）利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.

（2）求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

（3）在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.

【考點3】三角函數(shù)的定義及應(yīng)用

一、單選題

7T

1.（2024?湖北?模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，繞原點將x軸的正半軸逆時針旋轉(zhuǎn)角a（0<a<5）交單位圓于A

點、順時針旋轉(zhuǎn)角伙:</<勺交單位圓于8點，若A點的縱坐標(biāo)為各，且ACMB的面積為也，則8點的縱

42134

7

坐標(biāo)為（）

A.一立

11抗R7A/2n2也

RD.----------------U.-------------U.------------

2262613

2.（2024?新疆烏魯木齊二模）已知角以0°<夕<360。）終邊上A點坐標(biāo)為（sin310o,cos310。），貝何=（）

A.130°B.140°C.220°D.230°

二、多選題

3.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）下列命題正確的是（）

A.P："a是第二象限角或第三象限角"，q："cosc<0",則。是4的充分不必要條件

B.若a為第一象限角，則Jose+sine=也

A/1+COS2<Zvl-cos2?2

C.在AABC中，若tan4tanB>l,則AABC為銳角三角形

D.己知且cos2a=避則tana=——

I4）32

4.（2024?河北保定?二模）一般地，任意給定一個角aeR,它的終邊OP與單位圓的交點尸的坐標(biāo)，無論

是橫坐標(biāo)x還是縱坐標(biāo)y,都是唯一確定的，所以點尸的橫坐標(biāo)尤、縱坐標(biāo)y都是角a的函數(shù).下面給出這些

函數(shù)的定義：

①把點P的縱坐標(biāo)y叫作a的正弦函數(shù)，記作sina,即丫=$也。；

②把點P的橫坐標(biāo)龍叫作a的余弦函數(shù)，記作cosa,即》=30；

③把點尸的縱坐標(biāo)y的倒數(shù)叫作a的余割，記作csca,即;=csca；

④把點P的橫坐標(biāo)尤的倒數(shù)叫作a的正割，記作seca,即工=seca.

C.函數(shù)/(x)=secx的定義域為左eZ}

D.sec2cif+sin2a+esc2a+cos2a>5

8

三、填空題

5.（2024?全國,模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，若角a-T1T的頂點為原點，始邊為x軸非負(fù)半軸，終邊經(jīng)

過點尸（—3,—4）,貝卜211（20+5）=.

3

6.（2023■江西贛州?二模）已知6為銳角，滿足sin20+sindcosd-3cos2，=M，貝l]tan6=.

反思提升：

1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用

（1）直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個點的坐標(biāo)，及這點到原點的距離，確

定這個角的三角函數(shù)值.

（2）已知角的某一個三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.

2.要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函

數(shù)值在各象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在象限，那就要進(jìn)行分類討論求解.

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

（2冗2兀）

1.（2023?安徽?模擬預(yù)測）已知角a終邊上有一點尸[sin?-,cos工貝無一々為（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

2.（23-24高一上?山東荷澤?期末）集合A=,8=[xx=E+],左ez},C=AQB,則集

合C中的元素個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

3.（2024?湖南?一模）出土于魯國故城遺址的"出廓雙龍勾玉紋黃玉璜"（圖1）的璜身滿刻勾云紋，體扁平，

呈扇面狀，黃身外樓空雕飾"S”型雙龍，造型精美.現(xiàn)要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數(shù)據(jù)（圖

。3

2)：ABq8cm,AD?2cm,AO?5cm,若sin37°?—,兀。3.14,則璜身（即曲邊四邊形ABC。）面積近似為（）

圖1圖2

A.6.8cm2B.9.8cm2C.14.8cm2D.22.4cm2

9

4.（2024?北京房山?一模）己知角a的終邊經(jīng)過點（3,4）,把角a的終邊繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)得到角尸的

終邊，則sin/?=（）

4433

A.——B.-C.--D.-

5555

二、多選題

5.（2022?福建,三模）若a,尸滿足sina=-、，cos（<z—/?）=—,則月可以是（）

7171571

A.lB.一C.—D.總

626

6.（23-24高一上?吉林延邊?期末）已知函數(shù)〃了）=108小-2|+2（。>0且。*1）的圖象經(jīng)過定點A，且點A在

角。的終邊上，則sin6的值可能是（

.2aR3岳D.平

1313

7.（22-23高一下?浙江杭州?期末）如圖,質(zhì)點A和B在單位圓。上逆時針作勻速圓周運動.若A和B同時出

發(fā)，A的角速度為lrad/s,起點位置坐標(biāo)為,8的角速度為2rad/s,起點位置坐標(biāo)為。,0）,則（）

A.在1s末，點8的坐標(biāo)為（sin2,cos2）

TT

B.在Is末，扇形A03的弧長為

7兀

C.在末，點A8在單位圓上第二次重合

D.”403面積的最大值為g

三、填空題

8.（2021?四川瀘州?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，角。與角夕均以以為始邊，它們的終邊關(guān)于>軸對

稱.若tana=2,貝|tan（a-/）=.

2

9.（2023?上海?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系工。，中，角。以。x為始邊，且sina二4.把角。的終邊繞端點

。逆時針方向旋轉(zhuǎn)3弧度，這時終邊對應(yīng)的角是尸，貝|cos￡=；

10.（2024?湖北?模擬預(yù)測）函數(shù)/（x）=sin（s+9）（0>O,O<9<n）,設(shè)T為〃x）的最小正周期，若

10

貝”9=.

四、解答題

11.（2021?上海閔行,二模）某植物園中有一塊等腰三角形ABC的花圃，腰長為20米，頂角為30。，現(xiàn)在花

圃內(nèi)修一條步行道（步行道的寬度忽略不計），將其分成面積相等的兩部分，分別種植玫瑰和百合.步行道用曲

線DE表示（D、E兩點分別在腰A3、AC上，以下結(jié)果精確到0.01）.

（1）如果曲線。E是以A為圓心的一段圓弧（如圖1）,求的長；

（2）如果曲線OE是直道（如圖2）,求AD+AE的最小值，并求此時直道DE的長度.

12.（2023?貴州?模擬預(yù)測）如圖所示，角。的終邊與單位圓。交于點尸［g,曰］,將OP繞原點。按逆時針

方向旋轉(zhuǎn)g后與圓。交于點Q.

2

⑴求地;

⑵若的內(nèi)角B,所對的邊分別為“，b,c,=y/2,b=2,sinA=\y^,求工

AABCA,Ca18c.

【能力篇】

一、單選題

1.（23-24高三上?湖南長沙,階段練習(xí)）"sin20>0且cos6<0"是"6為第三象限角"的（）

A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

2.（2024?安徽蕪湖?二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角。以坐標(biāo)原點。為頂點，以x軸的非負(fù)半軸為始邊,

其終邊經(jīng)過點Af（a,6）,|。叫=0）,定義“6）=*,g（?）=吐巴,則（）