2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：雙曲線（原卷版）

專題48雙曲線（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................4

【考點(diǎn)1】雙曲線的定義及應(yīng)用................................................4

【考點(diǎn)2】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程..................................................5

【考點(diǎn)3］雙曲線的簡單幾何性質(zhì)...............................................6

【分層檢測】................................................................8

【基礎(chǔ)篇】..................................................................8

【能力篇】.................................................................10

【培優(yōu)篇】.................................................................10

考試要求：

1.了解雙曲線的定義，幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì).

2.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.

知識梳理

1.雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,放的距離差的絕對值等于非零常數(shù)(小于下聲2|)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.這

兩個定直叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合p=

{M\\\MFi\-\MF2\\=2a},|FIF2|=2C,其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.

(1)若組，則集合P為雙曲線；

(2)若a=c,則集合P為兩條射線;

(3)若正o則集合尸為空集.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

x2y2

標(biāo)準(zhǔn)方程了一金=1(〃>0,b>0)%一\=l(a>0，。>0)

圖形

范圍或a,y￡R

對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸;對稱中心：原點(diǎn)

頂點(diǎn)4(—a,0),A2(a,0)4(0,1a)9A2(0,a)

ba

性漸近線產(chǎn)土不u廬

質(zhì)

離心率6=%e￡(l,+0°)

線段4A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長度|4A2|=2a；線段BLB2

實(shí)虛軸叫做雙曲線的虛軸，它的長度|31班|=20；。叫做雙曲線的實(shí)

半軸長，6叫做雙曲線的虛半軸長

a,b,c的關(guān)系C2=6Z2+Z?2

|常用結(jié)論

1.過雙曲線的一個焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長為斗.

2.離心率e=常遮衿=/著.

3.等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于表.

2

b%2y2

4.若漸近線方程為y=±~x,則雙曲線方程可設(shè)為涓一5=如20）.

5.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b.

6.若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1,仍分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則1PBimin=c+a,1Pgimin

7.焦點(diǎn)三角形的面積:P為雙曲線上的點(diǎn),人,仍為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，且NBPR2=e,則△BPg

的面積為上萬

C7

tan2

真題自測

一、單選題

1.（2024?全國,高考真題）已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別為（0,4）,（0,T）,點(diǎn)（-6,4）在該雙曲線上，則該雙曲

線的離心率為（）

A.4B.3C.2D.72

22

2.（2023?全國?高考真題）已知雙曲線C:「-2=l（a>0/>0）的離心率為石，C的一條漸近線與圓

ab

（x-2y+（y-3）2=1交于A,8兩點(diǎn)，貝力"1=（）

.V5R275R3A/5n475

5555

3.（2023?全國?高考真題）設(shè)4B為雙曲線V=1上兩點(diǎn)，下列四個點(diǎn)中，可為線段A3中點(diǎn)的是（）

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)

二、多選題

4.（2022?全國?高考真題）雙曲線C的兩個焦點(diǎn)為￡,耳，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為。，過耳作。的切線

3

與C交于M,N兩點(diǎn)，且cosN片叫=g，則C的離心率為()

A.正B.之C.四D.叵

2222

三、填空題

22

5.（2023?全國?高考真題）已知雙曲線C:斗-與=l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)A在C上，

ab

點(diǎn)B在V軸上，F(xiàn)lAlFlB,F2A=--F2B,則C的離心率為.

22

6.（2022?全國?高考真題）記雙曲線C:1r-%=l（a>0,b>0）的離心率為e,寫出滿足條件"直線>=2尤與C

無公共點(diǎn)”的e的一個值___________.

3

7.（2022?全國?高考真題）若雙曲線V一j=1（m>0）的漸近線與圓三+V一4>+3=0相切，貝U切=.

m

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】雙曲線的定義及應(yīng)用

一、單選題

丫2、,2

1.（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測）已知雙曲線與一%=1（°,b>0）的左焦點(diǎn)為尸，過坐標(biāo)原點(diǎn)。作直線與

雙曲線的左右兩支分別交于A8兩點(diǎn)，且W@=4|E4|,ZAFB=y,則雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=土空xB.y=±^-xC.y=+-xD.y=+^-x

3233

2.（2024?安徽池州?二模）已知圓O+V=4和兩點(diǎn)A（-〃O）,30%O）O>0）,P為圓。所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，

記以以為直徑的圓為圓Af,以尸8為直徑的圓為圓N,則下列說法一定正確的是（）

A.若圓M與圓。內(nèi)切，則圓N與圓。內(nèi)切

B.若圓M與圓。外切，則圓N與圓。外切

C.若根=1,且圓M與圓。內(nèi)切，則點(diǎn)尸的軌跡為橢圓

D.若旭=3,且圓M與圓。外切，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線

二、多選題

22

3.（2024?貴州六盤水三模）（多選）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，片，&分別為雙曲線C:J-2=l（a>0,6>0）的左、

ab

右焦點(diǎn)，離心率為2,焦點(diǎn)到漸近線的距離為百，點(diǎn)尸為雙曲線上一點(diǎn)，則（）

A.若閥|=3,則附|=1

B.若，PO外的面積為迪，貝l]N￡P(guān)&=60°

2

C.若線段PE的中點(diǎn)在y軸上，則|尸耳|=3

D.片尸國內(nèi)切圓的圓心到'軸的距離為1

4.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）已知雙曲線C：/Y=l（a>0）的一條漸近線方程為y=g,上、下焦點(diǎn)

分別為瓦，工，貝U（）

2

A.C的方程為匕-尤2=1

3

B.。的離心率為2

C.若點(diǎn)%）為雙曲線C上支上的任意一點(diǎn)，尸（2,0）,則|必+|A閶的最小值為26

D.若點(diǎn)刈2點(diǎn)勾為雙曲線C上支上的一點(diǎn)，則△町鳥的內(nèi)切圓面積為2兀

4

5.（2024?云南昆明?一模）已知雙曲線C：三-==l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為五-B，尸是C右支

上一點(diǎn)，線段尸4與C的左支交于點(diǎn)若VPA名為正三角形，則C的離心率為.

22

6.（2024?黑龍江?模擬預(yù)測）設(shè)片，F(xiàn)Z是雙曲線C：左一方=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，以月居為直徑的

圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)尸，且|P團(tuán)=3|/訃則雙曲線C的離心率為若/耳B內(nèi)切圓圓心/的橫坐

標(biāo)為2,則2耳巴的面積為

反思提升：

在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PR|一|尸7切|=2用運(yùn)用平方的方法，

建立與|尸乃卜|。歹2|的聯(lián)系.

【考點(diǎn)2】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

一、單選題

22

1.（2024?天津?高考真題）雙曲線鼻-a=1（“>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月、斗尸是雙曲線右支上一點(diǎn)，

且直線尸工的斜率為2.尸月工是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（）

22

2.（2024?河北石家莊?二模）已知曲線C:土+匕=1（〃"0）,則"me（0,6）"是"曲線C的焦點(diǎn)在x軸上"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

22

3.（2023?廣東?模擬預(yù)測）已知雙曲線C：三-七=1（。>0，b>0）,C的左、右焦點(diǎn)分別為《，F(xiàn)”尸

為C上一點(diǎn)，則以下結(jié)論中，正確的是（）

A.若尸⑼）,且巡，無軸,則C的方程為f--=i

B.若C的一條漸近線方程是=則C的離心率為亞

2

C.若點(diǎn)P在C的右支上，C的離心率為了，則等腰92月。的面積為〃

D.若sin/尸片耳=e-sin/Pg居，則C的離心率e的取值范圍是（1,0+1]

22

4.（2023?浙江紹興?模擬預(yù)測）過雙曲線C:土-匕=1的左焦點(diǎn)廠的直線交C的左、右支分別于A8兩點(diǎn),

22

交直線戶―1于點(diǎn)尸，若9A尸=3尸，則（）

A.|的=20附B.4\AF\=5\AP\

5

AF_AP_J_____1_2

C,~BF=~BPD.網(wǎng)-函一畫

三、填空題

5.(2021?浙江杭州模擬預(yù)測)在四邊形ABCO中，已知4-1,0),8(2,0),ZABC=2ZBAC,|r>B|=2|ZM|,

若C,。兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，則|8|=.

6.（2023?廣東韶關(guān)?一模）已知雙曲線。：；-丁=1的左、右焦點(diǎn)分別為不鳥，以片鳥為直徑的圓與雙曲線

2

在第一、三象限的交點(diǎn)分別為設(shè)四邊形與環(huán)M的周長為p,面積為S,則2=_____.

S

反思提升：

1.用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由

條件確定。2,廿的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)的位置不好確定，可將雙曲線的方程

?2

設(shè)為余一方=犯70）或mx2—ny2=l（mn>0）,再根據(jù)條件求解?

2.與雙曲線”一中=1有相同漸近線時可設(shè)所求雙曲線方程為”一次=2（丸老0）.

【考點(diǎn)3】雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

一、單選題

1.（2024?重慶?模擬預(yù)測）過雙曲線的右焦點(diǎn)廠作與其中一條漸近線垂直的直線口分別與這

a

21

兩條漸近線交于A3兩點(diǎn)，若。尸+則該雙曲線的焦距為（）

A.2B.3C.2GD.4

2.（21-22高三上?湖北黃岡?階段練習(xí)）尸為雙曲線/-丁=1左支上任意一點(diǎn)，。為圓C:（x-2>+丁=4的

任意一條直徑，則矗,赤的最小值為（）

A.3B.4C.5D.9

二、多選題

22

3.（2024?山東?二模）己知雙曲線-斗=1（。>0,6>0）的離心率為e,過其右焦點(diǎn)尸的直線,與「交于

ab

點(diǎn)A,8,下列結(jié)論正確的是（）

A.右a=b,貝！Je=

B.|A目的最小值為2a

C.若滿足|AB|=2〃的直線/恰有一條，則e>形

D.若滿足|鈣|=2a的直線/恰有三條，則

6

22

4.（2024?河北秦皇島?三模）設(shè)4，是雙曲線C*-%=ig>0,6>0,a4）的兩條漸近線，若直線4與直

線'關(guān)于直線4對稱，則雙曲線C的離心率的平方可能為（）

A.5+2-73B.5-2』C.8+4-D.8-473

三、填空題

22

5.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測）己知雙曲線=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別是庫巴，若雙曲線左支

ab

上存在點(diǎn)尸，使得|桃|=2|尸耳］,則該雙曲線離心率的最大值為.

6.（2024?吉林延邊?一模）祖曬是我國南北朝時期偉大的科學(xué)家，他于5世紀(jì)末提出了"幕勢既同，則積不

容異"的體積計(jì)算原理，即"夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如

果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等".某同學(xué)在暑期社會實(shí)踐中，了解到火電

廠的冷卻塔常用的外形可以看作是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面（如圖）.現(xiàn)有某火電廠的冷

2

卻塔設(shè)計(jì)圖紙，其外形的雙曲線方程為V-乙=1（-2VyVl）,內(nèi)部虛線為該雙曲線的漸近線，則該同學(xué)

4

利用"祖曬原理"算得此冷卻塔的體積為.

反思提升：

1.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法：

（1）直接求出a,c的值，利用離心率公式直接求解.

（2洌出含有a,6,c的齊次方程（或不等式），借助于尻=〃一，消去從轉(zhuǎn)化為含有e的方程（或

不等式）求解.

y2%2丫2%y

2.雙曲線,一笆=l（a>0,6>0）的漸近線可由即得兩漸近線方程1±g=0.

■分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

22

1.（2024?山西晉城?二模）已知雙曲線工-2=1（。>0,b〉0）的兩條漸近線均和圓C:d+y2+8x+7=0

ab

相切，且雙曲線的左焦點(diǎn)為圓。的圓心，則該雙曲線的方程為（）

7

A,工上=1B,場上LiC,任一叱=1D,匚￡=1

97977979

2

2.（2024?湖南?三模）雙曲線C:5-無2=1（°＞0）的上焦點(diǎn)鳥到雙曲線一條漸近線的距離為則雙曲線兩

a2

條漸近線的斜率之積為（）

A.-4B.4C.-2D.2

22

3.（2024?廣西桂林?模擬預(yù)測）已知耳、鳥是雙曲線C:二-與=1的左、右焦點(diǎn)，過尸2作雙曲線一條漸近線

ab

2

的垂線，垂足為尸，S.\PF^+\PF2^=8b,則雙曲線C的離心率為（）

A.3B.2C.友D.巫

3433

4.（23-24高三上?江西?期末）阿波羅尼斯（約公元前262年?約公元前190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家，主要

著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，

此書集前人之大成，進(jìn)一步提出了許多新的性質(zhì).其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線的一個焦

22

點(diǎn)發(fā)出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過其另一個焦點(diǎn).已知雙曲線C：3-當(dāng)=1（a＞0,

ab

b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為K，F(xiàn)2,其離心率6=石，從工發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線C的右支上一點(diǎn)E的

反射，反射光線為砂，若反射光線與入射光線垂直，貝UsinN工片E=（）

A.』B,6C.士D.拽

6555

二、多選題

22

5.（2024?河北邯鄲?三模）已知雙曲線C:二----匚=1,則（）

2+63-A

A.2的取值范圍是（-6,3）B.C的焦點(diǎn)可在x軸上也可在V軸上

C.C的焦距為6D.C的離心率e的取值范圍為（L3）

22

6.（21-22高二上,浙江金華,期中）已知點(diǎn)月、工是雙曲線二一斗=1（。＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)，以線段耳耳為

ab

直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P,若|尸司=3|尸耳則（）

A.|Pa|與雙曲線的實(shí)軸長相等B.尸耳工的面積為

C.雙曲線的離心率為半D.直線出x+也y=0是雙曲線的一條漸近線

7.（2021?海南?二模）已知雙曲線C：!■ulS＞。）的離心率為手，則（）

A.C的焦點(diǎn)在y軸上B.C的虛軸長為2

C.直線尤=如與C相交的弦長為1D.C的漸近線方程為＞=±2X

三、填空題

8

8.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知圓錐曲線如2+42=1的焦點(diǎn)在，軸上，且離心率為2,則—=.

n

9.（2023?吉林延邊?二模）已知坐標(biāo)平面無。》中，點(diǎn)大，F(xiàn)?分別為雙曲線C:^-/>0）的左、右焦點(diǎn)，

點(diǎn)加在雙曲線C的左支上，4與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)Z）,且。為加入的中點(diǎn)，點(diǎn)/為△。叫的

外心，若。、人D三點(diǎn)共線，則雙曲線C的離心率為.

2

2

10.（2024?上海閔行?二模）雙曲線「：x-^-=l的左右焦點(diǎn)分別為耳、F2,過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與r相交于

43兩點(diǎn)，若山口=2|耳4|,則&4耳3=.

四、解答題

11.（2024?河南商丘?模擬預(yù)測）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)。，以坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線E經(jīng)過點(diǎn)，

且其漸近線的斜率為土店.

2

⑴求E的方程.

⑵若動直線/與E交于A8兩點(diǎn)，且=證明：為定值.

,An

22

12.（2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測）已知雙曲線E:鼻-與=1（。>0,6>0）的左頂點(diǎn)是4-1,0）,一條漸近線的方

ab

程為y=x.

⑴求雙曲線E的離心率；

（2）設(shè)直線y尤-g與雙曲線E交于點(diǎn)P,Q,求線段PQ的長.

【能力篇】

一、單選題

22

1.（2023?河南駐馬店?二模）已知雙曲線E:5-多=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,耳，過月的直線

ab

/:瓜-y+根=0與雙曲線E的右支交于點(diǎn)M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)。作ON，町，垂足為N,若MN=5NR,

則雙曲線E的離心率是（）

A.3+遙B.2亞C.3+SD.2A/7

二、多選題

2.（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知雙曲線E：W-y2=i（a>o）過點(diǎn)尸國,若），則（）

a

A.雙曲線E的實(shí)軸長為4

B.雙曲線E的離心率為亞

2

C.雙曲線E的漸近線方程為〉=±2彳

9

D.過點(diǎn)尸且與雙曲線E僅有1個公共點(diǎn)的直線恰有1條

三、填空題