2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（解析版）

專題46直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】...............................................................11

【考點(diǎn)11直線與圓的位置關(guān)系................................................11

【考點(diǎn)2】圓的切線、弦長(zhǎng)問題................................................17

【考點(diǎn)3】圓與圓的位置關(guān)系..................................................22

【分層檢測(cè)】...............................................................27

【基礎(chǔ)篇】.................................................................27

【能力篇】.................................................................35

【培優(yōu)篇】.................................................................39

考試要求：

1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.

2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.

?知識(shí)梳理

L直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C：(%—〃)2+(、一力2=戶，直線/：Ax-\-By+C=O,圓心C(Q,6)到直線/的距離為d,由

(x-6z)2+(y—b)2=戶，

41nl「八消去y(或X),得到關(guān)于％(或y)的一元二次方程，其判別式為/.

[Ax+B_y+C=O

位置關(guān)系相離相切相交

圖形

方程觀點(diǎn)J<0/三0J>0

量化

幾何觀點(diǎn)d>rd三rd<r

2.圓與圓的位置關(guān)系

已知兩圓Ci：(%—xi)2+(y—yi)2=T

C2：(%—X2)2+(y-")2="，

則圓心距d=|CiC2I=、/(11-12)2+(yi-丫2~5~^

則兩圓Ci,Q有以下位置關(guān)系：

位置關(guān)系外離內(nèi)含相交內(nèi)切外切

圓心距

In-2|<d〈ri

與半徑d>ri+nd<|ri1]2|。=|門一二|d=ri+r2

+廠2

的關(guān)系

?€)o0?

圖示電

公切線條數(shù)40213

常用結(jié)論

1.圓的切線方程常用結(jié)論

(1)過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(xo,yo)的圓的切線方程為xox+yoy=r2.

(2)過圓(X—Q)2+(y—力2=/上一點(diǎn)P(xo,yo)的圓的切線方程為(次一〃)(1—Q)+(刈-6)。一力=戶.

(3)過圓外一點(diǎn)M(xo,yo)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為xox+yoy=r2.

2.直線被圓截得的弦長(zhǎng)的求法

⑴幾何法：運(yùn)用弦心距4半徑廠和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形，計(jì)算弦長(zhǎng)履3|=2后彳.

2

（2）代數(shù)法：設(shè)直線y=履+用與圓/+'2+m+切+/=0相交于點(diǎn)M,N,將直線方程代入圓

的方程中，消去y,得關(guān)于x的一元二次方程，求出XM+XN和XM-XN,則\MN\=

q1+吩7（XM~\~XN）2——4XMFN.

5真題自測(cè)

一、單選題

L（2024?全國,高考真題）已知直線分+辦一。+26=0與圓C：尤?+y?+4y-l=0交于兩點(diǎn)，則的最

小值為（）

A.2B.3C.4D.6

2.（2024?全國高考真題）已知》是。,。的等差中項(xiàng)，直線6+勿+。=0與圓/+丁+4丫-1=0交于4,3兩點(diǎn)，

則|4B|的最小值為（）

A.1B.2C.4D.275

3.（2023?全國?高考真題）已知實(shí)數(shù)尤,V滿足爐+》2一4》-2》-4=0,則"一丁的最大值是（）

A.1+乎B.4C.1+3丘D.7

4.（2023?全國?高考真題）過點(diǎn)（0,-2）與圓/+/-以-1=0相切的兩條直線的夾角為a,貝hina=（）

A.1B.—C.巫D.諉

444

二、多選題

5.（2024?全國?高考真題）拋物線C：：/=?的準(zhǔn)線為/,P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過尸作OA:d+（y-4『=1的

一條切線，。為切點(diǎn)，過尸作/的垂線，垂足為8,則（）

A./與：A相切

B.當(dāng)尸，A,2三點(diǎn)共線時(shí)，|尸Q|=JB

C.當(dāng)|P8|=2時(shí)，PA±AB

D.滿足I如月產(chǎn)切的點(diǎn)尸有且僅有2個(gè)

三、填空題

6.（2023?全國?高考真題）己知直線/：x-沖+1=0與（C:（x-l）2+y2=43C^A,8兩點(diǎn)，寫出滿足"VABC

面積為|"的根的一個(gè)值____.

7.（2022?全國?高考真題）若雙曲線V一工=1（m>0）的漸近線與圓/+/-4〉+3=0相切，貝1]?1=.

m

8.（2022?全國,高考真題）寫出與圓爐+丁=1和（尤-3）2+（丫-4）2=16都相切的一條直線的方

程.

3

參考答案:

題號(hào)12345

答案CCCBABD

1.C

【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線過定點(diǎn)尸(1,-2),從而可得當(dāng)尸CLAB時(shí)，|4B|的最小，結(jié)合勾股定理

代入計(jì)算，即可求解.

【詳解】因?yàn)橹本€ox+6y-a+26=0,gpo(x-l)+/?(y+2)=0,令x-l=O,

則x=l,y=-2,所以直線過定點(diǎn)(1,-2),設(shè)尸(1,一2),

將圓C：x2+y2+4y-l=0化為標(biāo)準(zhǔn)式為X2+(>+2)一=5,

所以圓心C(0,-2),半徑廠=右，\PC\=1

當(dāng)尸CLAB時(shí)，|48|的最小，

此時(shí)|A卻=2、戶一|PC『=2>后開=4.

故選：C

2.C

【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將。代換，求出直線恒過的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.

【詳解】因?yàn)椤?瓦。成等差數(shù)列，所以2b=a+c,。=如一。，代入直線方程辦+勿+c=0得

九一1二0X=1

ax+by+2b-a=0,即Q（x-l）+8（y+2）=0,令得

y+2=0y=-2，

故直線恒過(1,-2),設(shè)網(wǎng)1,一2),圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：C:f+(y+2)2=5,

設(shè)圓心為C,畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)尸CLAB時(shí)，|2B|最小，

|PC|=l,|Aq=W=逐,此時(shí)|AB|=2|AP|=2jac2-PC2=2>/^T=4.

3.C

4

【分析】法一：令x-y=k,利用判別式法即可；法二：通過整理得（x-2）2+（y_l）2=9,利用三角換元法即

可，法三：整理出圓的方程，設(shè)=3利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.

【詳解】法一：令x-y=k,則彳=左+九

代入原式化簡(jiǎn)得2丁+（2左一6）y+/-4左一4=0,

因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)V，則A20,即（2左一6）2-4X2,2—44-4）20,

化簡(jiǎn)得左2-2A:-17V0,解得1-3應(yīng)〈左V1+3衣，

故工一，的最大值是3五+1，

法二：x2+y2-4x-2y-4=0,整理得（x-2）°+（y-l）2=9,

令x=3cosO+2,y=3sin〃+l,其中640,2可，

貝ij尤一y=3cosO-3sinO+l=30cos[o+：j+l,

，且0,2同，所以6+（號(hào)，則6+：=2兀，即0=彳時(shí)，無7取得最大值30+1,

法三：由爐+/-4+-2)；-4=0可得(x-2)2+(y-l)2=9,

|2—1|

設(shè)無一y=左，則圓心到宜線x-y=k的距離d

解得1-304左V1+30

故選：C.

4.B

【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，

結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得公+8左+1=0,利用韋達(dá)定理結(jié)合

夾角公式運(yùn)算求解.

【詳解】方法一：因?yàn)槎?/-以-1=0,即（x—2y+y2=5,可得圓心C（2,0）,半徑“右,

過點(diǎn)P（0,-2）作圓C的切線，切點(diǎn)為A,8,

因?yàn)閨PC|={22+(_21=2五,貝尸A|=,PC『一產(chǎn)=上,

可得sinZAPC差考,cosZAPC簽邛,

貝UsinNAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x巫x"=姮,

cosZAPB=cos2ZAPC=cos2ZAPC-sin2ZAPC=<0,

5

即ZAPB為鈍角，

所以sina=sin（五一ZAPB）=sinZAPB=；

法二：圓T+y>_4x-l=0的圓心C（2,0）,半徑廠=行，

過點(diǎn)尸（0,-2）作圓C的切線，切點(diǎn)為連接

可得|PC|=百+①）?=2五,則\PA\=\PB\=J|PCf一產(chǎn)=石，

因?yàn)閨"「+|尸8「一2怛H.歸卻cosZAPB=|C4「+|c8「-2|04卜|。國cosZACB

且NACB=冗一NAPB,貝U3+3-6cosZAPB=5+5-10cos（7i-Zz4PB）,

即3-cosZAPB=5+5cosZAPB,解得cos/4P8=-工<0,

4

即,APB為鈍角,貝｝|cosa=cos（it-ZAPB）=-cosZAPB=：,

且a為銳角，所以sina:=Jl-cos?a=；

4

方法三：圓/+尸-以-1=0的圓心C（2,0）,半徑『=6，

若切線斜率不存在，則切線方程為x=0,則圓心到切點(diǎn)的距離d=2>r,不合題意;

若切線斜率存在，設(shè)切線方程為>=依-2,即b-y-2=0,

則=非,整理得上？+8左+1=0，MA=64-4=60>0

412*+31

設(shè)兩切線斜率分別為匕，左2，則尢+心=-8,左右=1,

可得歸_周=J（k1+&）2-4\（=2屈,

所以tane=t=后,即至巴=厲，可得costz=*器，

1+k1&cosaV15

rn.i.22?2sincc

貝sina+cosa=sina-\---------=1,

15

且a￡（0㈤，則sina>0,解得sina=.

故選：B.

6

【分析】A選項(xiàng)，拋物線準(zhǔn)線為x=-l,根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)，先求

出尸的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長(zhǎng)；C選項(xiàng)，根據(jù)怛卻=2先算出p的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證原/例=-1是否成立；D選

項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義，戶同=|尸同，于是問題轉(zhuǎn)化成|必=戶典的尸點(diǎn)的存在性問題，此時(shí)考察AF的中垂

線和拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，亦可直接設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.

【詳解】A選項(xiàng)，拋物線丁=以的準(zhǔn)線為x=-L,

A的圓心(0,4)到直線x=-l的距離顯然是1,等于圓的半徑，

故準(zhǔn)線/和(A相切，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，P,A,B三點(diǎn)共線時(shí)，即則P的縱坐標(biāo)力=4,

由熄=4%,得到與=4,故尸(4,4),

此時(shí)切線長(zhǎng)|尸2|=，|/＜一＞="2一12=岳，B選項(xiàng)正確;

C選項(xiàng),當(dāng)1pBl=2時(shí),xp=l,此時(shí)近=4琴=4,故先(1,2)或P(l,-2),

4-24-2

當(dāng)尸(1,2)時(shí)，A(0,4),B(-l,2),k=---=-2k=-----=2,

PA0—1fAB0—(—1)

不滿足左PAG=T；

4(

當(dāng)尸(1,一2)時(shí)，A(0,4),B(-l,2),kPA=~~^=-6,勉=：丁？=6,

0—10—(—1)

不滿足kPAkAB=-1；

于是上4LAB不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化

根據(jù)拋物線的定義，|尸耳=|尸尸這里"1,0),

于是=\PB\時(shí)p點(diǎn)的存在性問題轉(zhuǎn)化成|P4|=|尸同時(shí)P點(diǎn)的存在性問題,

A(0,4),F(l,0),瓶中點(diǎn)(：,211

47中垂線的斜率為一廠=了,

kAF4

7

于是AF的中垂線方程為：y與拋物線y2=4x聯(lián)立可得y2T6y+30=0,

o

A=162-4X30=136>0,即AF的中垂線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，

即存在兩個(gè)尸點(diǎn)，使得|R4|=|PP|,D選項(xiàng)正確.

方法二：（設(shè)點(diǎn)直接求解）

，由可得又A(0,4),X|PA|=|PB|,

設(shè)尸U

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，、乙+?-4）2==+1，整理得6+30=0,

V164

A=162-4X30=136>01則關(guān)于t的方程有兩個(gè)解,

即存在兩個(gè)這樣的尸點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.

故選：ABD

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長(zhǎng)|AB|,以及點(diǎn)C到直線A3的距離，結(jié)合面積公式即可解出.

【詳解】設(shè)點(diǎn)C到直線A3的距離為d,由弦長(zhǎng)公式得|小|=2,4-磨,

所以5=3x2”-笛=!，解得：［=述或1=遞，

2555

由d=11+112所以方2\=4受出或2半2亞，解得：加=±2或加=±白1.

J1+■Jl+mJl+m5J1+-52

故答案為：2（2,-2，!，-：中任意一個(gè)皆可以）.

22

7.B

3

【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓

8

心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可.

丫2Y

【詳解】解：雙曲線丁―j=lW〉O）的漸近線為y=±±，即％±沖=0,

mm

不妨取X+股=0，圓/+/一4>+3=0,即X2+（,一2）2=1,所以圓心為（0,2）,半徑r=1,

一/、一|2m|

依題意圓心（0,2）到漸近線工+切=0的距離d==1,

Vl+m

解得根或機(jī)=（舍去）.

33

故答案為：旦.

3

35725

8.y=——％+—或,=——x--^x=-l

442424

【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.

【詳解】［方法一］：

顯然直線的斜率不為0,不妨設(shè)直線方程為％+勿+。二。，

于是荷=1，=4

故。2=1+/①，|3+4b+c|=|4c|.于是3+4Z?+c=4c或3+48+c=4,

724

b=---

b=07或，

再結(jié)合①解得c=l或

25空工，

c=---

73

所以直線方程有三條，分別為％+1=0,7%-24y-25=0,3x+4y-5=0.

（填一條即可）

［方法二］：

設(shè)圓/+y2=1的圓心。（0,0）,半徑為4二1,

圓（x—3）2+（>—4）2=16的圓心。（3,4）,半徑々=4,

則|0。|=5=彳+小因此兩圓外切，

9

由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然x+l=O符合題意；

又由方程(％-3y+(,一4)2=16和x2+y2=1相減可得方程3%+4y-5=。,

即為過兩圓公共切點(diǎn)的切線方程,

又易知兩圓圓心所在直線。。的方程為4尤-3y=0,

4

直線OC與直線x+l=0的交點(diǎn)為(T-§),

7

設(shè)過該點(diǎn)的直線為y+g=Wx+i),則7

=1-解得左=五，

從而該切線的方程為7x-24y-25=0.(填一條即可)

［方法三］：

圓/+,2=1的圓心為。(0,0),半徑為1,

圓(%—3)2+(y—4)2=16的圓心。1為(3,4),半徑為4,

兩圓圓心距為+4?=5，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切,

如圖，

10

當(dāng)切線為/時(shí)，因?yàn)?所4以勺=-31,設(shè)方程為y=-；3x+/?>0）

__!=]CQC

。到/的距離忑一,解得"“所以/的方程為卜=-“+"

當(dāng)切線為加時(shí)，設(shè)直線方程為h+y+p=。，其中。>。，k<o,

當(dāng)切線為幾時(shí)，易知切線方程為尤=-1,

35725

故答案為：'=一；%+：或>或％=—1?

442424

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】直線與圓的位置關(guān)系

一、單選題

1.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）已知直線/:x+（l+a）y=2—a,0C:x2+_y2-6.x+4_y+12=0,則該動(dòng)直線與圓

的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C,相交D.不確定

2.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P是直線尤-〉-機(jī)=。上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)P向圓。：/+丁=1引切線，切點(diǎn)分

別為M,N且/〃PN=90,若滿足以上條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)，則切=（）

A.72B.±72C.2D.±2

二、多選題

11

3.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）已知A倒,夜）,仆0,彳J,動(dòng)點(diǎn)P（x,y）滿足四=0阿，則下列結(jié)論正確

的是（）

A.點(diǎn)P的軌跡圍成的圖形面積為兀

B.|即的最小值為1

112

C.兒巴是尸的任意兩個(gè)位置點(diǎn)，貝|/匕4ew]

D.過點(diǎn)的直線與點(diǎn)P的軌跡交于點(diǎn)M,N,則MN的最小值為近

4.（23-24高三上?河北廊坊,期中）如圖,有一組圓C*化eN+）都內(nèi)切于點(diǎn)P（—2,0）,圓G：（x+3）2+（y_l）2=2,

設(shè)直線x+y+2=0與圓C&在第二象限的交點(diǎn)為A-若％4/=逝，則下列結(jié)論正確的是（）

A.圓C#的圓心都在直線無+y+2=0上

B.圓的方程為。+52）2+（y-50）2=5000

C.若圓C.與y軸有交點(diǎn)，則上38

D.設(shè)直線工=-2與圓6在第二象限的交點(diǎn)為紇，則囚/J=1

三、填空題

5.（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)4。,-3）的直線/與圓C:尤?+（y-2了=9相交于

N兩點(diǎn)，若打…3…，則直線/的斜率為——

6.（19-20高一下?江蘇無錫?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直角AABC中，直角頂點(diǎn)A在直線

x-y+4=0上，頂點(diǎn)B,C在圓/+/=10上，則點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍是.

參考答案:

題號(hào)1234

答案CDABDABD

1.C

【分析】根據(jù)題意可得直線/表示過定點(diǎn)4（3,-1）,且除去y=-l的直線，點(diǎn)A在圓上，可判斷直線/與圓C

12

相交.

【詳解】因?yàn)橹本€/：尤+(1+々))=2—Q,即x+y—2+a(y+l)=0,

(x=3

當(dāng)y+l=O時(shí)，％+y—2=0,解得

[y=-l

所以直線/表示過定點(diǎn)A(3「l),且除去y=-l的直線，

將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(尤-3)2+(y+2)2=l,因?yàn)閨AC|=1,點(diǎn)A在圓上,

所以直線/與圓C可能相交，可能相切，相切時(shí)直線/為了=-1,不合題意，

所以直線/與圓C相交.

故選：C.

2.D

【分析】連接O"，CW,結(jié)合圓的切線性質(zhì)可推得點(diǎn)尸在以點(diǎn)。為圓心，&為半徑的圓C上，再由題意可

知該圓與直線尤-y-相=。相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得答案.

【詳解】連接OM,ON,則RW_LOM,RV_LON.

又NMPN=9QQM=ON,所以四邊形MPNO為正方形，二|尸。|=夜|次|=0,

于是點(diǎn)尸在以點(diǎn)。為圓心，血為半徑的圓C上.

又由滿足條件的點(diǎn)尸有且只有一個(gè)，則圓C與直線x-y=。相切,

所以點(diǎn)。到直線x-y=0的距離〃=及，，工=應(yīng)，解得機(jī)=±2.

故選：D.

3.ABD

【分析】由1PAi=夜戶同得V+y2=l,計(jì)算面積可判斷A；結(jié)合圖象可知，當(dāng)O,B,P共線的時(shí)候忸耳取值

最小值，可判斷B；過A向圓引切線，用兩條切線夾角來可判斷C；分別用斜率存在和不在兩種情況寫出過

點(diǎn)的直線方程，然后由圓的幾何性質(zhì)求IMM，進(jìn)而結(jié)合基本不等式可得|MN|的最小值，即可判斷D.

目2

【詳解】由|尸山=拒|尸即得：=2/+＞一9即冗2+y2=],

27

13

點(diǎn)尸的軌跡為圓心0（0,0）,半徑r=l的圓.

對(duì)于A：面積為兀產(chǎn)=無，故A正確；

對(duì)于B：點(diǎn)8在圓內(nèi)，由圖知忸性O(shè)P,當(dāng)。,B,尸共線的時(shí)候等號(hào)成立，

所以忸尸|最小值為1-乎，故B正確，

對(duì)于C：因?yàn)閨OA|=&,r=l,所以過A向圓引切線，切線長(zhǎng)等于1,則兩條切線夾角為故C不正確.

對(duì)于D：斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)的直線方程為x=；,此時(shí)

斜率存在時(shí)，過點(diǎn)的直線方程為=即履一八,+；=0,

則圓心到該直線的距離d=-55=T+1,

J1+:2241+—

由圓的幾何性質(zhì)，\MN\=2=』4一〃-2受b+,

11\lbTiTFjvi+廿Vi+r

當(dāng)％=0時(shí)，|MV|=g；

當(dāng)上＞0時(shí)，|腦7|=』"||^＞道；

I2k2

當(dāng)左＜0時(shí)，河=++17^=「一一］’,/應(yīng)，當(dāng)且僅當(dāng);=%即左=—1時(shí)取等號(hào)，

V7（-左）k

綜上所述，MN的最小值為a,故D正確.

故選：ABD.

4.ABD

【分析】求出連心線所在直線方程判斷A；求出圓C?的方程判斷B；求出圓C上的圓心到了軸的距離，結(jié)合

直線與圓相交判斷C；求出點(diǎn)線的縱坐標(biāo)判斷D.

1-0

【詳解】圓G的圓心G（-3,l）,直線尸C1的方程為丁=?+2）,即x+y+2=0,

由兩圓內(nèi)切連心線必過切點(diǎn)，得圓Ck的圓心都在直線PG上，即圓c?的圓心都在直線無+y+2=0上，A正

14

確;

14+%=-2

顯然1%=應(yīng)（左+1）,設(shè)點(diǎn)4（無&,然）,則|V12+12^+2|=V2(^+D，而4<-2,

解得4=-"3,%=上+1,因此圓C1的圓心Q（-警，與3,半徑為^^』=正（左+1）,

2222

c2

圓Ck的方程為（》+與）2+（y-9）2=&F，貝U圓99的方程為（x+52）+（y-50）2=5000,B正確;

圓Ck的圓心到v軸距離為卓，若圓C*與y軸有交點(diǎn)，則到0w向卜+1），

222

解得424忘+3y8.6，而左eN+，因此左29,C錯(cuò)誤;

在（》+^^）2+“一個(gè)）2=%等中，令了=一2,得點(diǎn)紇的縱坐標(biāo)為無+1,因此I4為+"=1,D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：直線/：y=fcv+b上兩點(diǎn)44%）,3襄2，%）間的距離記?|x「X2l；

直線/：x=my+t上兩點(diǎn)A（無1，%）,8（%，%）間的距離|AB|=J1+療.I%%I-

5+血

7

【分析】設(shè)N（w，%）,直線MN的方程為>3,聯(lián)立直線與圓的方程，消元列出韋達(dá)定理，

根據(jù)根的判定式A>0,求出人的取值范圍，根據(jù)以4.=^5》0”，即可得到％=2%,即可求出儲(chǔ)

【詳解】解：由題意得C（0,2）,直線"N的斜率存在，設(shè)N（%,%），直線MN的方程為>=依-3,

與》2+（>_2）2=9聯(lián)立，得（左2+1）尤2_10履+16=0,A=100Z:2-64（^2+1）=36k2-64>0,,

%+%=V+1,網(wǎng)無2=武[因?yàn)?的=：SAACM，所以;x3x"|=|x；x5x卜|,則岡=2㈤，于是無2=2占,

（由點(diǎn)A及C在y軸上可判斷出X],%同號(hào)）

3x-10k_

所以1￡1，兩式消去4,得左2=電，滿足A>o,所以左=±組.

2x；=T77

I'k2+\

故答案為：土組

7

6.[-2-^,-2+76]

【分析】由題意畫出圖形，畫出以原點(diǎn)為圓心，以26為半徑的圓，結(jié)合圖形分析推理，點(diǎn)A在這個(gè)圓截直

線x-y+4=0所得弦上時(shí)，滿足要求，列出不等式求解即得.

【詳解】如圖所示，顯然直線x-y+4=0與圓/+丁=10相交，

15

當(dāng)點(diǎn)A為直線上的定點(diǎn)且在圓外，直線4氏AC與圓相切時(shí)，SBAC最大，

點(diǎn)A是直線被圓所截弦上的點(diǎn)（除弦的端點(diǎn)外）時(shí)，點(diǎn)A對(duì)圓上兩點(diǎn)所張角在（0,加，

點(diǎn)A在直線上從弦端點(diǎn)開始遠(yuǎn)離圓方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，SBAC逐漸變小，點(diǎn)A移動(dòng)到某位置A使得直線AB,AC為

圓的切線，aBAC就為直角，再沿著此方向移動(dòng)，SB4C將小于直角，則A為點(diǎn)A的邊界位置，

當(dāng)點(diǎn)A在4處時(shí)，ABOC為正方形，則。4=2岔，

則點(diǎn)A是以。為圓心，2石為半徑的圓截直線x-y+4=0所得弦上的點(diǎn)時(shí)符合要求，即直線上的點(diǎn)A在該圓及

內(nèi)部，

|04區(qū)25/5,A（x,x+4）,則+（x+4>V20n%2+4x—2V0=>—2—>/6VxV—2+y/6,

點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍是［-2-后,-2+而］.

故答案為：［-2,-2+峋

【點(diǎn)睛】（1）直線上的動(dòng)點(diǎn)與圓的關(guān)系類問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想，分析圖形的幾何特征是解題的關(guān)鍵；

⑵圓相外的定點(diǎn)向圓引的兩條切線夾角是該點(diǎn)對(duì)圓上兩點(diǎn)所張的角中最大的.

反思提升：

判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法

（1）幾何法：利用d與廠的關(guān)系.

（2）代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用/判斷.

（3）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.

【考點(diǎn)2】圓的切線、弦長(zhǎng)問題

一、單選題

1.（23-24高二下?廣東茂名?階段練習(xí)）已知圓C:（x-3y+（y-4）2=9,直線/:（〃z+3）x—（〃z+2）y+〃2=O.

則直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值為（）

A.2幣B.710C.2.x/2D.娓

2.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）過點(diǎn)尸（。⑼作圓尤2+丁=2的切線，A為切點(diǎn)，1pAl=1,則2”人的最大值是（）

A.V15B.V13C.4D.3

二、多選題

3.（2022?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)M在直線/：y—4=Mx-3）上，點(diǎn)N在圓。:尤2+,2=9上，則下列說

16

法正確的是（）

A.點(diǎn)N至心的最大距離為8

B.若/被圓。所截得的弦長(zhǎng)最大，則上=4]

c.若/為圓。的切線，則上的取值范圍為，0,11

D.若點(diǎn)M也在圓。上，則。至!|/的距離的最大值為3

4.（23-24高二上?湖南常德?期末）已知圓M:（尤+1了+丁=2,直線/：x-y-3=0,點(diǎn)P在直線/上運(yùn)動(dòng)，直

線P4,尸3分別與圓M切于點(diǎn)A,5.則下列說法正確的是（）

A.|尸山最短為?

B.|上4|最短時(shí)，弦A3所在直線方程為y=x

C.存在點(diǎn)P,使得".尸8=0

D.直線A3過定點(diǎn)為（一于-彳）

三、填空題

5.（2022?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線“x-y+2=。與圓C:/+y2一2彳-3=0交

于A,8兩點(diǎn)，若鈍角VABC的面積為右，則實(shí)數(shù)a的值是

6.（2024?全國,模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，P的坐標(biāo)滿足Qj+2）,reR,已知圓。:（％-3丫+y?=1,

過尸作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A8,當(dāng)NAP3最大時(shí)，圓C關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱的圓的方程為

參考答案:

題號(hào)1234

答案AAABDABD

1.A

【分析】先求出直線/所過的定點(diǎn)*2,3）,數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)CP，/時(shí)，直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)最小，再由

垂徑定理得到最小值.

【詳角軍】直線/:（根+3）%—（根+2）y+機(jī)=%（工一丁+1）+3尤一2,=。，

fx—y+1=0fx=2/、

令I(lǐng)」2y=0'解得「=3’所以直線/恒過定點(diǎn)尸（2,3），

圓C:（x-3）2+（y-4）2=9的圓心為C（3,4）,半徑為r=3,

且|PC『=（2一3了+（3_4）2=2<9,即尸在圓內(nèi)，

17

當(dāng)CP，/時(shí)，圓心C到直線I的距離最大為d=\PC\=y[2,

此時(shí)，直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)最小，最小值為2護(hù)工7=2近?

2.A

【分析】先根據(jù)切線長(zhǎng)度求出|0P|為定值，即。2+/=3,設(shè)2a-6一,兩個(gè)方程聯(lián)立，禾煙△對(duì)求

的取值范圍.

【詳解】由題意：|OP『=|OA「+|AP『,即4+匕2=3.

設(shè)2a-b=f,則b=2a-t,+b2=3）+（2a—Z）"=3=>5a2—4at+t2—3=0.

因?yàn)殛P(guān)于。的一元二次方程一定有解，

所以A=1）2-4*5*（『-3"0"415n-店4/4上.

故選：A.

3.ABD

【分析】求出圓心。到直線/距離的最大值，可求得N至！|/的最大距離，可判斷A選項(xiàng)的正誤；將圓心的坐

標(biāo)代入直線/的方程，求出左的值，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用圓心到直線的距離等于半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線

的距離公式求出后的值，可判斷C選項(xiàng)的正誤；分析可知當(dāng)直線/與圓。相切，求出。至心的距離的最大值，

18

可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，直線/過定點(diǎn)P（3,4）,

圓。的圓心為原點(diǎn)。，半徑為3,設(shè)圓心。到直線/的距離為d.

當(dāng)時(shí)，d=\OP\=y/32+42=5,

當(dāng)OP與直線/不垂直時(shí)，d<\OP\=5.

綜上所述，d<\O^[=5,所以，點(diǎn)N至卜的最大距離為5+3=8,A對(duì)；

4

對(duì)于B選項(xiàng)，若/被圓。所截得的弦長(zhǎng)最大，則直線/過圓心。，可得-3k=T,所以％=§,B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，若/為圓。的切線，則g望=3,解得笈=三，C錯(cuò)；

VFTi24

對(duì)于D選項(xiàng)，若M也在圓。上，則直線/與圓。相切或相交，

當(dāng)直線/與圓。相切時(shí)，。至M的距離取最大值3,D對(duì).

故選：ABD.

4.ABD

【分析】確定當(dāng)MP1/時(shí)，盧河|最小，即可求得1PAi的最小值，判斷A；結(jié)合A的分析，設(shè)出的方程，

求出弦心距，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出參數(shù)，即可判斷B；假設(shè)存在點(diǎn)P,使得R4.尸2=0,求出此時(shí)

IMP|=2,和M到直線/的最短距離比較，即可判斷C；求出切點(diǎn)弦的方程，結(jié)合點(diǎn)尸在直線/上運(yùn)動(dòng),

求出A3所過定點(diǎn)，判斷D.

【詳解】由題意知，圓M:（x+l『+y2=2的半徑為近,且l:x-y-3=0,

故附=yj\PMf-\MAf=yj\PMf-2,

即當(dāng)1PMi最小時(shí)，|出|最短，當(dāng)MP4時(shí)，|加|最小，

最小值為?旨L20,故1pAi的最小值為5（2應(yīng)）2一2=痛,A正確;

19

當(dāng)1pAi最短時(shí)，MP11,故MP的斜率為-1,

又故A3的斜率為1,設(shè)其方程為x-y+〃?=。，

由于此時(shí)|孥="，也刊=2近，故地=改也=學(xué)=",

112\MP\2五2

所以M到A3的距離為J(0)2-(日)=日.

則有J__與絲)=三，解得〃2=0或價(jià)=2,

V22

由于AB〃/,結(jié)合圖形可知二者之間的距離應(yīng)小于|MP|=2后，

當(dāng)〃?=2時(shí)，無一y+2=0和/間的距離為與豈=述＞2日，

V22

m=0時(shí)，AB的方程為尤-V=。和/間的距離為學(xué)=述＜2及，

V22

故|PA|最短時(shí)，弦A3所在直線方程為丫=/B正確；

假設(shè)存在點(diǎn)P,使得尸A.尸8=0，則R4_LP3,

此時(shí)ABP為等腰直角三角形，則NAPM=45,結(jié)合M4_LX4,

則AM4P為等腰直角三角形，而|肱4|=應(yīng)，故|MP|=2,

由于M到直線/的最短距離為2a＞2,故不存在點(diǎn)P,使得卓?尸2=0,C錯(cuò)誤；

設(shè)4%,%),8(%,%)/(/，%),由于直線P4,P8分別與圓M相切，

故直線PA,PB的方程分另U為Ui+D(x+1)+=2,(馬+l)(x+1)+y2y=2,

將P(x0,y0)代入，即(Xj+1)(尤0+1)+%%=2,(%+1)(尤0+1)+%%=2,

可得A3的方程為。+1)(%+1)+”0=2,

由于-3=。，即%=/一3,故(尤+1)(無o+l)+y(%-3)=2

1

fx+1+y=0x=——

即%(x+l+y)+(x-3y-l)=。，由于x()eR,故令(\2

[x-3y-l=01

產(chǎn)一5

即直線AB過定點(diǎn)為D正確，

故選：ABD

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了直線和圓相切的問題，涉及最值、定點(diǎn)以及切點(diǎn)弦方程問題，綜合性

20

較強(qiáng)，難點(diǎn)在于選項(xiàng)D的判斷，解答時(shí)要注意根據(jù)圓的切線方程，推出切點(diǎn)弦方程，進(jìn)而求解直線過定點(diǎn)

問題.

3_

5.—/—0.75

4

【分析】由鈍角VABC的面積為求得sinNACB=￥，得至=q，進(jìn)而求得圓心到直線的距離

為1,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解.

【詳解】解：由圓C:Y+y2-2x-3=0,即(x-l『+y2=4,

可得圓心坐標(biāo)為C(l,0),半徑為廠=2,

因?yàn)殁g角VABC的面積為相，可得S曲=gx2X2sinNACB=退，

解得sinNACB=,因?yàn)間<ZACB<",所以/AC8=—,

223

可得IA81=VAC2+BC2-2AC-BCcosZACB=273,

設(shè)圓心到直線的距離為d,又由圓的弦長(zhǎng)公式，可得2獷9=26,解得4=1,

根據(jù)點(diǎn)到直線G-y+2=0的距離公式d=}^=l,解得0一;

y/a+14

3

故答案為：

4

6.(尤+2)~+(y-5y=1

【分析】求出點(diǎn)尸的軌跡，利用切線的性質(zhì)探討-4P3取最大的等價(jià)條件，由此求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，再由對(duì)

稱求出圓方程.

【詳解】依題意，點(diǎn)尸的軌跡為直線/：y=