《電磁場與電磁波》矢量分析

矢量的基本運(yùn)算

標(biāo)量只有大小，如：長度、時(shí)間等矢量有大小有方向，如：位移、電場強(qiáng)度等1矢量和標(biāo)量：直接用斜體字母表示，如l代表長度2標(biāo)量的表示：3矢量的表示：有向線段長度：

A

的模箭頭指向：A的方向1）幾何表示2）解析表示：字母上加箭頭

或黑體字A單位矢量:模為1的矢量采用e表示單位矢量A稱為矢量的模3）

矢量的方向余弦表示：α，β，γ

表示矢量A與三坐標(biāo)軸正方向之間的夾角，稱為方向角xyozA4矢量的運(yùn)算法則1)加減法：C=A+B平行四邊形/三角形法則ABCABC多個(gè)矢量相加減：多邊形法則C=A–B=A+（–B）A+B+CABCA+B+C矢量加減法滿足交換律和結(jié)合律A–B=A+(–B)A+B=B+AA+(B+C)=(A+B)+C2)數(shù)乘矢量數(shù)乘滿足交換律和結(jié)合律(p+k)A=pA+kAk(pA)=(pk)Ak(A+B)=kA+kB3)矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積，點(diǎn)乘）Bcosθ:B在A方向上的投影矢量標(biāo)量積滿足交換律和結(jié)合律判斷兩矢量垂直的方法則4)矢量的矢積（叉積、叉乘）大?。浩叫兴倪呅蚊娣e方向：平行四邊形面積的法向矢量矢量積的交換律和結(jié)合律注意！判斷兩矢量平行的方法則場的直觀表示：場線場線:形象描繪場分布的工具1標(biāo)量場的場線:等值線(面)場值相同的點(diǎn)構(gòu)成的面/線200m300m400m100m?。壕徝埽憾竎取一不同的值，得到一系列等值面/線，充滿場所在的整個(gè)空間等值面/線互不相交場中的每一點(diǎn)只與一等值面/線對應(yīng)等值面的稀密程度反映場量的空間分布某溫度場的表達(dá)式為求其等值面。解：等值面方程為2矢量場的場線:A矢量線/流線：1）矢量線定義：處處與矢量相切的曲線，線上每點(diǎn)的矢量方向與該點(diǎn)的切線方向相同B2）矢量線的形式：有頭無尾有頭有尾無頭有尾無頭有尾3）矢量線方程：

矢量場：Mz

y

x矢量線舉例：電場強(qiáng)度線E線-+4）矢量線的作用：方向：矢量線的切線方向大?。菏杳艹潭?-矢量的大小及變化趨勢A、B點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小不同越密，矢量E的值越大-+標(biāo)量場的方向?qū)?shù)和梯度φ(x,y,z,t)用標(biāo)量描述的場，如溫度場、高度場等可表示為1標(biāo)量場等值面分布定性了解場的整體分布為什么引入方向?qū)?shù)？等值線可否？為了定量研究場的局部分布情況需要考察每個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)沿各方向的變化情況在標(biāo)量場中：2標(biāo)量場的方向?qū)?shù)1）

方向?qū)?shù)的引入：小蟲如何逃生？為什么？1)各方向的變化快慢不同方向?qū)?shù)2)哪個(gè)方向的變化最快？溫度下降最快梯度12345設(shè)標(biāo)量函數(shù)

(x,y,z),

點(diǎn)M0可微,則

在點(diǎn)M0沿任意方向的方向?qū)?shù)為:當(dāng)M0趨于M的極限MM0yxz2）

方向?qū)?shù)的定義：標(biāo)量場沿某方向的變化率3）

方向?qū)?shù)的求解：方向余弦cosα、cosβ、cosγ為方向余弦方向?qū)?shù)和M0有關(guān)，也和有關(guān)標(biāo)量場中點(diǎn)的方向變化率MM0yxz2）不同方向的變化快慢是一樣的？1）方向?qū)?shù)是標(biāo)量？矢量？3）方向?qū)?shù)能反映哪方向的變化率最大？4）標(biāo)量能準(zhǔn)確刻畫標(biāo)量場的空間變化率？幾個(gè)問題：標(biāo)量不是不能不能l方向改變，方向?qū)?shù)值也變3梯度哈密頓算子梯度gradient1）

梯度的物理意義標(biāo)量場的梯度是矢量方向：該點(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向,即垂直于等值線（面）指向函數(shù)的增加方向大?。鹤畲笞兓剩丛擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù);5040302010方向?qū)?shù)梯度例：高度場的梯度

方向：與等高線垂直，指向地勢升高

大?。涸擖c(diǎn)的最大陡度梯度:增加最快的方向方向?qū)?shù)=梯度在該方向上的投影小結(jié)等值面:只能反映標(biāo)量分布的總體趨勢梯度:場中每點(diǎn)變化最快的方向和最大的變化率求場在點(diǎn)(0,0.5,1)處的梯度。解：矢量場的通量和散度矢量線：描述矢量場的線大?。菏杳芊较颍呵芯€方向形象直觀地描述矢量場矢量線的疏密可定性表征矢量場的大小實(shí)際需定量描述，故引入通量面元矢量面積元的法向單位矢量S

閉合，法矢量:由內(nèi)指向外

1）面元矢量1通量2）通量矢量A

沿有向曲面S的面積分θ為銳角,dφ>0θ為鈍角,dφ<0θ為直角,dφ=0通量源：管型源，場線有始有終通量的3種結(jié)果：凈矢量線進(jìn)入負(fù)通量源凈矢量線穿出正通量源無源+-2通量意義：場源的總體情況通量源3）通量舉例＋A點(diǎn)電荷是通量源-A點(diǎn)電荷通量：閉合面的所有通量源的整體特性，不能描述源分布特性:任意點(diǎn)的源分布強(qiáng)度--散度閉合面S所圍區(qū)域

V以任意方式縮小為點(diǎn)時(shí),通量與體積之比的極限存在，即散度(通量)源密度3散度散度散度意義：單位體積內(nèi)散發(fā)的通量（通量的體密度）反映該點(diǎn)處通量源的強(qiáng)度(通量)源密度通量求每點(diǎn)的值體積收縮到一點(diǎn)散度的物理意義：?A=0

(無源）?A=

0(負(fù)源)?A=0

(正源)標(biāo)量，通量源的分布特性計(jì)算公式對散度作體積分，就得到通量高斯公式通量=散度的體積積分矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換4高斯公式(散度定理)實(shí)現(xiàn)了“面-點(diǎn)-體”的轉(zhuǎn)化面點(diǎn)體矢量場的環(huán)量和旋度通量:有向曲面上的面積分值，表示體積內(nèi)的通量源,分布強(qiáng)度用散度來描述矢量場還有另外一種源-渦流源打開出水口出水口水池l例：下漏的水激勵(lì)出旋渦流速場A取環(huán)繞A的閉曲線lA它的場線是閉合的和它相對應(yīng)的是線積分特點(diǎn)：lA1）有向曲線：指定了正方向的曲線M2M12）有向線元：有向曲線上長度趨于0的微元（可看作直線），方向與曲線正方向同正方向1有向線元

矢量A沿空間有向閉合曲線l的線積分

l正方向d

lA2環(huán)量導(dǎo)線導(dǎo)線l電流激勵(lì)出旋渦磁場B

，是旋渦源取環(huán)繞該旋渦場B的閉曲線l，無電流：無磁場BI環(huán)量只能反映閉合曲線內(nèi)漩渦源的整體特性任意點(diǎn)的源分布強(qiáng)度特性，引入旋度的概念l

包圍了一定面積導(dǎo)線lBI環(huán)量密度環(huán)量求每點(diǎn)的值旋度求max值面積收縮到點(diǎn)1)閉合曲線包圍的面積→0

時(shí)的環(huán)量2)計(jì)算該環(huán)量的最大取值環(huán)量除以閉合曲線所圍面積3環(huán)量密度1）環(huán)量密度過點(diǎn)P作微小曲面

S,它的邊界曲線記為l,面的法線方與曲線繞向成右手螺旋。當(dāng)

S

點(diǎn)P時(shí),存在極限環(huán)量密度Pl正方向n

SA環(huán)量密度的值和方向有關(guān)？比較路徑L1、L2和L3，對應(yīng)的環(huán)量面密度的大小?L1L2L3AP平面上有一點(diǎn)P，P點(diǎn)的矢量A的方向如圖所示，過P點(diǎn)可做多條有向曲線L3與A垂直，故環(huán)量為零，環(huán)量密度為零L1，L2對應(yīng)的環(huán)量密度不為零L1對應(yīng)的環(huán)量密度最大在同一位置點(diǎn)(如P)的不同路徑，對應(yīng)的環(huán)量密度不唯一L1L2L3AP什么方向，環(huán)量密度的值最大？L1對應(yīng)的環(huán)量密度最大L1的特點(diǎn)?L1L2L3APL1的特點(diǎn)：1

它是使該點(diǎn)環(huán)量及其密度取得最大值的路徑2

其他任意路徑所對應(yīng)的環(huán)量均可由它間接求得3

它的法線正好是引發(fā)矢量渦旋的軸線

L1L2L3APL1的環(huán)量密度最大，定義為旋度大小：為P

點(diǎn)的環(huán)流面密度最大值方向：環(huán)量密度取最大值時(shí)，面積元的法向物理意義：描述了該點(diǎn)處旋渦源密度矢量4旋度旋度在直角坐標(biāo)系下

矢量的旋度:矢量大小:該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值在矢量場中，若

A=J0,稱之為旋度場(或渦旋場)，J稱為旋度源(或渦旋源)方向:該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向

若矢量場處處

A=0，稱之為無旋場5旋度的物理意義例：判斷矢量場的旋度性質(zhì)=0

0=0

A

是環(huán)量密度Stockes定理

矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換場A與邊界l上的場A之間的關(guān)系環(huán)量=旋度的面積積分6斯托克斯(Stockes)定理線點(diǎn)面實(shí)現(xiàn)了“線-點(diǎn)-面”的轉(zhuǎn)化矢量場的環(huán)量和旋度通量:有向曲面上的面積分值，表示體積內(nèi)的通量源,分布強(qiáng)度用散度來描述矢量場還有另外一種源-渦流源打開出水口出水口水池l例：下漏的水激勵(lì)出旋渦流速場A取環(huán)繞A的閉曲線lA它的場線是閉合的和它相對應(yīng)的是線積分特點(diǎn)：lA1）有向曲線：指定了正方向的曲線M2M12）有向線元：有向曲線上長度趨于0的微元（可看作直線），方向與曲線正方向相同正方向1有向線元

矢量A沿空間有向閉合曲線l的線積分

l正方向d

lA2環(huán)量導(dǎo)線導(dǎo)線l電流激勵(lì)出旋渦磁場B

，是旋渦源取環(huán)繞該旋渦場B的閉曲線l，無電流：無磁場BI環(huán)量只能反映閉合曲線內(nèi)漩渦源的整體特性任意點(diǎn)的源分布強(qiáng)度特性，引入旋度的概念l

包圍了一定面積導(dǎo)線lBI環(huán)量密度環(huán)量求每點(diǎn)的值旋度求max值面積收縮到點(diǎn)1)閉合曲線包圍的面積→0

時(shí)的環(huán)量2)計(jì)算該環(huán)量的最大取值環(huán)量除以閉合曲線所圍面積3環(huán)量密度1）環(huán)量密度過點(diǎn)P作微小曲面

S,它的邊界曲線記為l,面的法線方向與曲線繞向成右手螺旋。當(dāng)

S

點(diǎn)P時(shí),存在極限環(huán)量密度Pl正方向n

SA環(huán)量密度的值和方向有關(guān)？比較路徑L1、L2和L3，對應(yīng)的環(huán)量面密度的大小?L1L2L3AP平面上有一點(diǎn)P，P點(diǎn)的矢量A的方向如圖所示，過P點(diǎn)可作多條有向曲線L3與A垂直，故環(huán)量為零，環(huán)量密度為零L1，L2對應(yīng)的環(huán)量密度不為零L1對應(yīng)的環(huán)量密度最大在同一位置點(diǎn)(如P)的不同路徑，對應(yīng)的環(huán)量密度不唯一L1L2L3AP什么方向，環(huán)量密度的值最大？L1對應(yīng)的環(huán)量密度最大L1的特點(diǎn)?L1L2L3APL1的特點(diǎn)：1

它是使該點(diǎn)環(huán)量及其密度取得最大值的路徑2

其他任意路徑所對應(yīng)的環(huán)量均可由它間接求得3

它的法線正好是引發(fā)矢量渦旋的軸線

L1L2L3APL1的環(huán)量密度最大，定義為旋度大?。簽镻

點(diǎn)的環(huán)量面密度最大值方向：環(huán)量密度取最大值時(shí)，面積元的法向物理意義：描述了該點(diǎn)處旋渦源密度矢量4旋度旋度在直角坐標(biāo)系下

矢量的旋度:矢量大小:該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值在矢量場中，若

A=J0,稱之為旋度場(或渦旋場)，J稱為旋度源(或渦旋源)方向:該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向

若矢量場處處

A=0，稱之為無旋場5旋度的物理意義例：判斷矢量場的旋度性質(zhì)=0

0=0

A

是環(huán)量密度Stockes定理

矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換場A與邊界l上的場A之間的關(guān)系環(huán)量=旋度的面積積分6斯托克斯(Stockes)定理線點(diǎn)面實(shí)