電磁場與電磁波-第五章時(shí)變電磁場

第五章時(shí)變電磁場1本章內(nèi)容5.1麥克斯韋方程5.2時(shí)變電磁場的邊界條件5.3

波動(dòng)方程與位函數(shù)5.4

位函數(shù)求解5.5

時(shí)變電磁場的唯一性定理本章內(nèi)容5.6時(shí)變電磁場的能量及功率5.7正弦時(shí)變電磁場5.8

正弦時(shí)變電磁場的平均能量與功率5.9

從麥克斯韋方程到基爾霍夫電壓定律2引言恒定電磁場與時(shí)變電磁場場的比較1.恒定場的特點(diǎn)涉及的所有物理量僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)遵循的定理和定律是麥克斯韋以前的電磁學(xué)說，如庫侖定律高斯定律電荷守恒定律恒定電流連續(xù)性原理3安培環(huán)路定律磁通連續(xù)性原理電場和磁場相互聯(lián)系成為不可分割的整體。2.時(shí)變場的特點(diǎn)涉及的所有物理量不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而且是時(shí)間的函數(shù)；遵循麥克斯韋方程；電場和磁場可以共處于一個(gè)空間，但彼此獨(dú)立，服從各自的基本方程。

英國科學(xué)家麥克斯韋將恒定場、時(shí)變場的電磁基本特性用統(tǒng)一的電磁場基本方程組高度概括。電磁場基本方程組是研究宏觀電磁場現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。4位移電流問題的提出

法拉第電磁感應(yīng)定律提出變化的磁場產(chǎn)生電場，根據(jù)電磁之間的對偶關(guān)系，那么變化的電場是否會(huì)產(chǎn)生磁場呢？

麥克斯韋發(fā)現(xiàn)恒定磁場中的安培環(huán)路定律用于時(shí)變電磁場時(shí)有矛盾，從而提出位移電流的概念，將此定律進(jìn)行修正和完善。安培環(huán)路定律取S1面有取S2面有線積分結(jié)果不同！圖

交變電路用安培環(huán)路定律真空電容器中通過的時(shí)變電流是什么？5麥克斯韋認(rèn)為電荷與電流連續(xù)性定理符合電荷守恒定律是無可懷疑的，而安培環(huán)路定律是在恒定情況下得出的需加以修正。麥克斯韋的兩個(gè)假設(shè)靜電場中的高斯定理在時(shí)變情況下仍然是正確的；全電流連續(xù)位移電流6位移電流與傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流一樣具有磁的效應(yīng)；

在時(shí)變場中，不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。這就是麥克斯韋位移電流假說；

時(shí)變電場與時(shí)變磁場在空間相互轉(zhuǎn)化，麥克斯韋由此預(yù)言電磁波的存在。結(jié)論流進(jìn)曲面S1的傳導(dǎo)電流等于流出S2的位移電流位移電流是電流概念的擴(kuò)充，它不是帶電粒子的定向運(yùn)動(dòng)形成的，而是人為定義的，不能直接由實(shí)驗(yàn)測出。7

綜上所述,電磁場基本方程組(Maxwell方程)為全電流定律電磁感應(yīng)定律磁通連續(xù)性原理高斯定律

5.1

麥克斯韋方程8

?全電流定律——麥克斯韋第一方程,表明傳導(dǎo)電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場；時(shí)變磁場是由傳導(dǎo)電流，運(yùn)流電流以及位移電流共同產(chǎn)生的。?電磁感應(yīng)定律——麥克斯韋第二方程

,表明電荷和變化的磁場都能產(chǎn)生電場；時(shí)變電場是有旋有散的。?磁通連續(xù)性原理——表明時(shí)變磁場是有旋無散場,磁力線總是閉合曲線；?麥克斯韋第一、二方程是獨(dú)立方程，后面兩個(gè)方程可以從中推得。四個(gè)方程所反映的物理意義9時(shí)變電場是有旋有散的，時(shí)變磁場是有旋無散的。但是，時(shí)變電磁場中的電場與磁場是不可分割的，因此，時(shí)變電磁場是有旋有散場。在電荷及電流均不存在的無源區(qū)中，時(shí)變電磁場是有旋無散的。電場線與磁場線相互交鏈，自行閉合，從而在空間形成電磁波。時(shí)變電場的方向與時(shí)變磁場的方向處處相互垂直。10為了完整地描述時(shí)變電磁場的特性，麥克斯韋方程還應(yīng)包括電荷守恒方程以及說明場量與媒質(zhì)特性關(guān)系的本構(gòu)方程，即對于不隨時(shí)間變化的靜態(tài)場，則那么，上述麥克斯韋方程變?yōu)榍笆龅撵o電場方程和恒定磁場方程，電場與磁場不再相關(guān)，彼此獨(dú)立。式中代表產(chǎn)生時(shí)變電磁場外加的電流。11在簡單的形式下隱藏著深?yuàn)W的內(nèi)容，這些內(nèi)容只有仔細(xì)的研究才能顯示出來，方程是表示場的結(jié)構(gòu)的定律。它不像牛頓定律那樣，把此處發(fā)生的事件與彼處的條件聯(lián)系起來，而是把此處的現(xiàn)在的場只與最鄰近的剛過去的場發(fā)生聯(lián)系。愛因斯坦（1879-1955）在他所著的“物理學(xué)演變”一書中關(guān)于麥克斯韋方程的一段評(píng)述：“這個(gè)方程的提出是牛頓時(shí)代以來物理學(xué)上的一個(gè)重要事件，它是關(guān)于場的定量數(shù)學(xué)描述，方程所包含的意義比我們指出的要豐富得多。假使我們已知此處的現(xiàn)在所發(fā)生的事件，藉助這些方程便可預(yù)測在空間稍為遠(yuǎn)一些，在時(shí)間上稍為遲一些所發(fā)生的事件”。評(píng)價(jià)12麥克斯韋方程除了對于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展具有重大意義外，對于人類歷史的進(jìn)程也起了重要作用。正如美國著名的物理學(xué)家弗曼在他所著的“弗曼物理學(xué)講義”中寫道“從人類歷史的漫長遠(yuǎn)景來看──即使過一萬年之后回頭來看──毫無疑問，在十九世紀(jì)中發(fā)生的最有意義的事件將判定是麥克斯韋對于電磁定律的發(fā)現(xiàn)，與這一重大科學(xué)事件相比之下，同一個(gè)十年中發(fā)生的美國內(nèi)戰(zhàn)（1861-1865）將會(huì)降低為一個(gè)地區(qū)性瑣事而黯然失色”。評(píng)價(jià)13處于信息時(shí)代的今天，從嬰兒監(jiān)控器到各種遙控設(shè)備、從雷達(dá)到微波爐、從地面廣播電視到太空衛(wèi)星廣播電視、從地面移動(dòng)通信到宇宙星際通信、從室外無線局域網(wǎng)到室內(nèi)藍(lán)牙技術(shù)、以及全球衛(wèi)星定位導(dǎo)航系統(tǒng)等，無不利用電磁波作為傳播媒體。無線信息高速公路更使人們能在任何地點(diǎn)、任何時(shí)間同任何人取得聯(lián)系，發(fā)送所需的文本、聲音或圖象信息。電磁波的傳播還能制造一種身在遠(yuǎn)方的感覺，形成無線虛擬現(xiàn)實(shí)。電磁波獲得如此廣泛的應(yīng)用，更使我們深刻地體會(huì)到19世紀(jì)的麥克斯韋和赫茲對于人類文明和進(jìn)步的偉大貢獻(xiàn)。評(píng)價(jià)14

時(shí)變電磁場中媒質(zhì)分界面上的銜接條件的推導(dǎo)方式與前三章類同，應(yīng)用積分形式的基本方程：5.2時(shí)變電磁場的邊界條件法向分量電場的切向分量根據(jù)15磁場的切向分量根據(jù)電場：

即磁場：16兩種特殊情況的分界面（1）兩種理想介質(zhì)的分界面17邊界條件為：結(jié)論:理想導(dǎo)體內(nèi)部無時(shí)變電磁場，電磁波入射到其表面發(fā)生全反射，導(dǎo)體表面有時(shí)變的面電荷和面電流。（2）理想介質(zhì)和理想導(dǎo)體的分界面理想介質(zhì)中理想導(dǎo)體中18例已知內(nèi)截面為a

b的矩形金屬波導(dǎo)中的時(shí)變電磁場的各分量為

其坐標(biāo)如圖示。試求波導(dǎo)中的位移電流分布和波導(dǎo)內(nèi)壁上的電荷及電流分布。波導(dǎo)內(nèi)部為真空。

azyxb19解①位移電流為

②在y=0

的內(nèi)壁上在y=b的內(nèi)壁上20在x=0的側(cè)壁上，在x=a

的側(cè)壁上，在x=0

及x=a

的側(cè)壁上，因，所以。zyx內(nèi)壁電流215.3

波動(dòng)方程

電磁波在空間傳播過程中,電場和磁場特性的表征由求解波動(dòng)方程而得到。設(shè)媒質(zhì)是線性均勻且各向同性，對于理想介質(zhì)的無源區(qū)域，對于電場而22在直角坐標(biāo)系中此方程可分解為三個(gè)標(biāo)量方程，即E的波動(dòng)方程23H的波動(dòng)方程研究電磁波的傳播問題都可結(jié)為在給定邊界條件和初始條件下求波動(dòng)方程的解。波動(dòng)方程的解釋在空間中一個(gè)沿特定方向傳播的電磁波。對于磁場同理可得意義24

恒定場中，電場能量儲(chǔ)存在電場中，磁場能量儲(chǔ)存在磁場中，能量密度分別為問題的提出時(shí)變場中，電場磁場同時(shí)存在，電磁能量密度為多少？麥克斯韋假設(shè)時(shí)變場中任何時(shí)刻空間任一點(diǎn)的電磁能量密度為

5.6

時(shí)變電磁場的能量及功率25說明電磁能量隨時(shí)間變化，即電磁場的相互作用導(dǎo)致電磁波動(dòng)，電磁波動(dòng)伴隨電磁能量在空間的流動(dòng)（傳播）。任何時(shí)刻空間任一點(diǎn)的電磁能量是如何傳播的？電磁場中任一體積V內(nèi)儲(chǔ)存的總電磁能量為1.坡印廷定理

坡印亭定理給出了電磁能流和電磁場量之間的一般關(guān)系，反映了電磁能量符合自然界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)過程中能量守恒和轉(zhuǎn)化定律。26麥克斯韋方程兩式相減27

體積V內(nèi)，單位時(shí)間電磁能量的增加率加上焦耳熱功率等于單位時(shí)間進(jìn)入閉合面S的電磁功率。坡印亭定理坡印亭定理的物理意義坡印亭定理是電磁場的能量守恒表達(dá)式是宏觀電磁現(xiàn)象的一個(gè)普遍定理；坡印亭定理適用于時(shí)變場也適用于恒定場；注意28

表示單位時(shí)間內(nèi)流過與電磁波傳播方向相垂直單位面積上的電磁能量（垂直穿過單位面積的功率）

，亦稱為功率流密度，S的方向代表波傳播的方向，也是電磁能量流動(dòng)的方向。2.坡印亭矢量W/m2

定義坡印亭矢量電磁波的傳播29例

一長L，流有恒定電流I的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體內(nèi)外半徑分別為b,c，上端內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為V，導(dǎo)體間為真空，求同軸線中傳輸?shù)墓β省?、同軸線內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體時(shí)：內(nèi)外導(dǎo)體間：高斯定理能流只在內(nèi)外導(dǎo)體間存在，功率流密度為：流過上端面的功率為：安培環(huán)路定理導(dǎo)體中及電纜外E=H=0302、同軸線內(nèi)外導(dǎo)體為良導(dǎo)體時(shí)：內(nèi)外導(dǎo)體間：電纜外無功率流。內(nèi)導(dǎo)體中：流入內(nèi)導(dǎo)體中的功率密度：流入內(nèi)導(dǎo)體的總功率：31流入下端面的功率為：外導(dǎo)體中：流入外導(dǎo)體中的功率密度：流入外導(dǎo)體的總功率：流出上端面的功率為：32正弦時(shí)變電磁場的概念如果場源以一定的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場也以同樣的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧變化。這種以一定角頻率作時(shí)諧變化的電磁場，稱為時(shí)諧電磁場或正弦時(shí)變電磁場。

研究時(shí)諧電磁場具有重要意義在工程上，應(yīng)用最多的就是時(shí)諧電磁場。廣播、電視和通信的載波等都是時(shí)諧電磁場。

任意的時(shí)變場在一定的條件下可通過傅里葉分析方法展開為不同頻率的時(shí)諧場的疊加。

5.7

正弦時(shí)變電磁場33時(shí)諧電磁場可用復(fù)數(shù)方法來表示，使得大多數(shù)時(shí)諧電磁場問題的分析得以簡化。

設(shè)是一個(gè)以角頻率

隨時(shí)間t作正弦變化的場量，它可以是電場和磁場的任意一個(gè)分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時(shí)間的關(guān)系可以表示成

其中時(shí)間因子空間相位因子利用三角公式式中的Am為振幅、為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。實(shí)數(shù)表示法或瞬時(shí)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅時(shí)諧電磁場的復(fù)數(shù)表示34復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實(shí)的場。照此法，矢量場的各分量Ei（i表示x、y

或z）可表示成各分量合成以后，電場強(qiáng)度為

有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說明復(fù)矢量真實(shí)場是復(fù)數(shù)式的實(shí)部，即瞬時(shí)表達(dá)式。由于時(shí)間因子是默認(rèn)的，有時(shí)它不用寫出來，只用與坐標(biāo)有關(guān)的部分就可表示復(fù)矢量。35實(shí)際中，通常測得的是正弦量的有效值（即平方的周期平均值），以表示正弦量的有效值，即即最大值表示復(fù)矢量和有效值表示復(fù)矢量的之間的關(guān)系為則電場強(qiáng)度瞬時(shí)矢量與復(fù)矢量的關(guān)系為只有頻率相同的正弦量之間才能使用復(fù)矢量的方法進(jìn)行運(yùn)算。36例

將下列場矢量的瞬時(shí)值形式寫為最大值表示的復(fù)矢量形式。（2）解：（1）由于（1）所以37（2）因?yàn)楣仕?8

例

已知電場強(qiáng)度最大值表示的復(fù)矢量解其中kz和Exm為實(shí)常數(shù)。寫出電場強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量39以電場旋度方程為例，代入相應(yīng)場量的矢量，可得將、與交換次序，得上式對任意t

均成立。令