電磁場與電磁波-矢量場基礎(chǔ)小結(jié)

三種坐標系的單位矢量；矢量函數(shù)在不同坐標系中的變換；不同坐標系中線元、面元、體積元的表示標量場的方向?qū)?shù)與梯度。第2講小結(jié)1.2三種常用的坐標系在電磁學(xué)理論中，電磁定律不隨坐標系變化，但是在求解實際問題時，還需要將這些定理得出的關(guān)系用一個跟已知問題的幾何特征相適合的坐標系來表達。因此，引入多種坐標系，以方便地進行分析。在任一時刻，描述場的物理狀態(tài)分布的函數(shù)是唯一的?！笮?、方向是唯一的。坐標系：直角坐標系：柱坐標系：球坐標系：1.2三種常用的坐標系1.2三種常用的坐標系例1.3求從點

到點

的距離矢量。直角坐標系解解例1.4設(shè)和求：在上的分量在上的分量1.2三種常用的坐標系直角坐標系位置矢量微元：注意、、的方向不隨x，y，z的變化而變化面元矢量：體積元：1.2三種常用的坐標系則圓柱坐標系在電磁學(xué)中，經(jīng)常要計算線積分、面積分和體積分。每一種情況都需要表示一個坐標微分變化對應(yīng)的微分長度變化。然而，有些坐標不是長度；而且需要一個變換因子將微分變化

轉(zhuǎn)換成長度變化1.2三種常用的坐標系圓柱坐標系注意：圓柱坐標系中的坐標單位矢量

和

都不是常矢量位置矢量微元：？隨不同而變化位置矢量：1.2三種常用的坐標系面元矢量：體積元：圓柱坐標系度量系數(shù)（拉梅系數(shù)）：長度元坐標微分1.2三種常用的坐標系圓柱坐標系矢量變換：1.2三種常用的坐標系圓柱坐標系矢量變換：1.2三種常用的坐標系3.球坐標系右旋法則:1.2三種常用的坐標系矢量

在柱坐標系中可用三個分量表示為若有則球坐標系1.2三種常用的坐標系位置矢量微元：位置矢量：球坐標系球坐標系中的坐標單位矢量

、、

都不是常矢量1.2三種常用的坐標系球坐標系面元矢量：體積元：拉梅系數(shù)：長度元坐標微分1.2三種常用的坐標系矢量變換：球坐標系1.2三種常用的正交坐標系4.坐標單位矢量之間的關(guān)系

1.3標量場的梯度標量場和矢量場

在所考察的空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該空間區(qū)域上定義了一個場。如果物理量是標量，稱該場為標量場。例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：靜態(tài)標量場可表示為：靜態(tài)矢量場：時變時變場的數(shù)學(xué)建模（除有限個點或某些表面外）連續(xù)1.3標量場的梯度1、標量場的等值面 等值面:標量場取得同一數(shù)值的點在空間形成的曲面。等值面的特點：意義:形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交。等值面方程：標量場的等值面1.3標量場的梯度方向?qū)?shù)標量場在場任一點附近沿不同方向的空間變化率方向?qū)?shù)數(shù)學(xué)模型1.3標量場的梯度2、方向?qū)?shù) 方向?qū)?shù)定義： 標量場在某點沿

方向的變化率稱為

沿該方向的方向?qū)?shù)。特點：方向?qū)?shù)既與點有關(guān)也與方向有關(guān)1.3標量場的梯度方向?qū)?shù)意義：方向?qū)?shù)表示場在點沿方向的空間變化率

場沿方向增加場沿方向減少場沿方向無變化問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？1.3標量場的梯度梯度3、標量場的梯度 說明：定義：標量場u在點M處梯度為一個矢量，以符號gradu來表示，它在點M處沿方向的分量等于標量場u在點M處沿方向的方向?qū)?shù)其中，為與之間的夾角，且當時，意義：梯度描述標量場在某點的變化最大的方向及其最大變化率1.3標量場的梯度梯度4、標量場梯度的計算

哈密頓(W.R.Hamilton)引入倒三角算符號(讀作“del(德爾)”或“nabla(那勃拉)”)表示矢量形式的微分算子:梯度在方向的分量： 同理，有1.3標量場的梯度梯度標量場梯度的計算公式 圓柱坐標系球坐標系1.3標量場的梯度梯度5梯度的性質(zhì)：

◆標量場的梯度是矢量場，它在空間

某點的方向表示該點場變化最大（增

大）的方向，其數(shù)值表示變化最大

方向上場的空間變化率?！魳肆繄鲈谀硞€方向上的方向?qū)?shù)，

是梯度在該方向上的投影?！魳肆繄龅奶荻却怪庇谕ㄟ^該點的等

值面（或切平面）1.3標量場的梯度梯度梯度運算的基本公式： 1.3標量場的梯度梯度例1.5

設(shè)一標量函數(shù)

(x,y,z)=x2＋y2－z

描述了空間標量場。試求：

(1)該函數(shù)

在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。

(2)求該函數(shù)

沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。解(1)由梯度計算公式，可求得P點的梯度為1.3標量場的梯度梯度表征其方向的單位矢量(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿

方向的方向?qū)?shù)為對于給定的P點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為1.3標量場的梯度梯度而該點的梯度值為顯然，梯度描述了P點處標量函數(shù)的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。1.3標量場的梯度梯度例1.6場點P(x,y,z)與源點P′(x′,y′,z′)間的距離為R,試證：(1)(2)解：(1)1.3標量場的梯度梯度(2)而故有證畢1.3標量場的梯度梯度解：由梯度運算法則可得例1.7已知位于原點處的點電荷q在其周圍空間任一點

處產(chǎn)生的電位為,其中，且已知電場強度,求。1.4矢量場的通量和散度1、矢量場的矢量線3、矢量場的散度2、矢量場的通量4、散度定理1.4矢量場的通量和散度4、散度定理?V很小時1.4矢量場的通量與散度例1.8點電荷

在離其

處產(chǎn)生的電通量密度為

求任意點處電通量密度的散度，并求穿出r為半徑的球面的