概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試卷及答案

一、本題滿分20分，每小題5分.某市有30%住戶訂日報(bào)，有50%住戶訂晚報(bào)，有65%的住戶至少訂這兩種報(bào)紙中的一種，求同時(shí)訂這兩種報(bào)紙的住戶的百分比。解：設(shè)A表示訂日報(bào)的住戶，B表示訂晚報(bào)的住戶，則由題意：P(A)=0.3P(B)=0.5P(AU為=0.65同時(shí)訂兩種報(bào)紙的住戶為P(AB)=P(A)+P(B)—P(AUB)=0.15.三臺機(jī)器相互獨(dú)立運(yùn)轉(zhuǎn)，設(shè)第一，第二，第三臺機(jī)器不發(fā)生故障的概率依次為，，，求三臺機(jī)器中至少有一臺發(fā)生故障的概率。解：令A(yù)表示第，?份機(jī)器有故障，，=1、2、3且各機(jī)器相互獨(dú)立運(yùn)轉(zhuǎn)i貝ij：P(AIIAHA)=1-P(A)P(A)P(A)=1-0.9x0.8x0.7=1-0.504=0.496TOC\o"1-5"\h\z12 3 1 2 3.設(shè)P(A)=P(B)=1/3,P(AIB)=1/6,求P(AIB)。解：P(AB)=P(B)P(A|B)=3x6=,111 7反、_P(AB)_P(A)-P(AB)_1-P(A)-[P(B)-P(AB)]_133+18_18_7P(A.B)P(B) 1-P(B) 1-P(B) 11 212—— —3 3.已知P(A)=0.5,P(B)=0.25,分別對事件A,B相互獨(dú)立、互不相容兩種情形求P(AUB),P(B-A).解：(1)人加獨(dú)立時(shí)，則P(AB)=P(A)P(B)故P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.5+0.25-0.5x0.25=0.625P(B-A)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=0.25-0.5x0.25=0.125(2)A,B互不相容時(shí),P(AB)=0故P(AU3)=P(A)+P(B)=+=P(B-A)=P(B)-P(AB)=P(B)=二、本題30分，每題6分5.一射手對同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行射擊，直到射中2次目標(biāo)為止，已知每次命中率為3,求射擊次數(shù)的分布率。(3分)解：令X表示射擊的次數(shù)，則X的取值可能是2,3,4(3分)則X的分布率為P（X二k）二。k-1k=2,3,4(3則X的分布率為P（X二k）二。k-1k=2,3,4(3分)6.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為3的指數(shù)分布,寫出它的概率密度和分布函數(shù)，并求P{X<3},P{<-1<X<6}。解：.X服從參數(shù)為3的指數(shù)分布|3e-3x x>0「?其概率密度為f(x)=\[0X<0|J*3e-3xdx=1—e-3x其分布函數(shù)為 F(x)=|0[0x<0P(X<3)=F⑶=1-e-9P(-1<X<6)=F(6)=1-e-18（2分）（2分）（1分）（1分）或者X服從參數(shù)為3的指數(shù)分布「?其概率密度為f(x)=<1—e3（2分）其分布函數(shù)為（2分）（1（2分）（1分）（1分）3P(X<3)=F⑶=1-e-1P(-1<X<6)=F(6)=1-e-2.設(shè)隨機(jī)變量X?N(-1,1),隨機(jī)變量y?N(2,4)，且它們相互獨(dú)立。又設(shè)隨機(jī)變量z=x-2y+1，求z的概率密度。TOC\o"1-5"\h\z解：EZ=((X-2Y+1)=EX-2EY+1=-1-2x2+1=-4 (1分)DZ=D(X-2Y+1)=DX+4DY=1+4x4=17 (1分)「.Z?N(-4,17) (2分)/、 1 (8±4)2「.Z的概率密度為 (z)=e2x17 -*<z<+8 (2分)“2兀<17.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（x,y）的聯(lián)合分布律為

12311111691812ab3求a,b使X與Y相互獨(dú)立。解：欲使X與Y相互獨(dú)立(1分)(4分)(1分)則P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j(1分)(4分)(1分)1_1J、(+a)由題意得：4由題意得：41_1/1八(+b)〔1831829199．當(dāng)拋擲五枚硬幣時(shí)，已知至少出現(xiàn)兩個(gè)正面，問正面數(shù)剛好是三個(gè)的概率是多少？解：令A(yù)表示“正面數(shù)是三個(gè)”，B表示“至少出現(xiàn)兩個(gè)正面” (3分)則正面數(shù)剛好是三個(gè)的概率是P(AB)=PAB)= 蛆心=1001"='=!=10=上1 P(B)1.00(1)0(1)5.01(1)1(1)41-6.(1)525—632-6261352 2 5、2 2 2(3分)三(7分)．一袋中有5個(gè)編號分別為1，2，3，4，5的乒乓球，從中任意地取出三個(gè)，以X表示取出的三個(gè)球中的最大號碼，寫出X的分布律和X的分布函數(shù)，并畫出分布函數(shù)的圖形．解：X的可能取值為3,4,5且P(X=3)=1102

5= 10023P(X=4)=0且P(X=3)=1102

5= 10023P(X=4)=0=10502 6P(X=4)= =—C2105(3分)X的分布韓淑為F(x)=41104101(3分)4<x<5分布函數(shù)的圖像為四、（8分）一批電子元件中，甲類的占80%，乙類的占12%，丙類的占8%。三類元件壽命達(dá)到指定要求的概率依次為，和。今任取一個(gè)元件，求其使用壽命能達(dá)到指定要求的概率。解：設(shè)A,B,C分別表示甲，乙，丙三類元件，D表示壽命達(dá)到指定要求 （3分）則由全概率公式D | （4分）=X+X+X五、（10分）有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下。先做第一次檢驗(yàn)，從中任取10件，經(jīng)檢驗(yàn)無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無次品時(shí)接受這批產(chǎn)品。若產(chǎn)品的次品率為10%，求（1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率；（2）這批產(chǎn)品被接受的概率。解：（1）令A(yù)表示第一次檢驗(yàn)就被接受1貝|JP（A）=0.9i0= （3分）1⑵令B表示這批產(chǎn)品被接受，A表示不接受也不拒絕2(6分)則P(B)=XP(A)P(BA)=0.9i0+[Ci0.1*0.99+C20.12*0.98]x0.95

i1i(6分)i=1=0.910+0.914+0.5x0.914=0.910+1.5x0.913=六、（10分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）服從區(qū)域D={Q,y）:0<x<1,0<y<1且x+y<1}內(nèi)的均勻分布，求（X,Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)以及X與Y各自的邊緣概率密度函數(shù).解：（X,Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為（2分）12(x,y)eDf(x，y（2分）X的邊緣概率密度函數(shù)為0<x<1其它（4分）(x)Jf(x,y)dy0<x<1其它（4分）一6 I0Y的邊緣概率密度函數(shù)為

ay2dx=2（1-y） 0<y<1 ,八、（x）=kf（x,y）dx=<0 （4分）- 10 其它七、（15分）設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，x服從區(qū)間h1］上的均勻分布，丫服從九二1的指數(shù)分布.求（1）X和Y的聯(lián)合密度；（2）設(shè)含有a的二次方程為a2（1）X和Y的聯(lián)合密度；（2）設(shè)含有a的二次方程為a2（3）又設(shè)隨機(jī)變量Z=X+Y，解：由已知易得I10<x<1（xH。其它（1）.X,Y獨(dú)立二.X和Y的聯(lián)合密度為+2Xa+Y=0，試求a有實(shí)根的概率；試求隨機(jī)變量Z的概率密度函數(shù)fQ）.Zy>0其它（1分）（2）方程有實(shí)根，則AIe-yf(x,y)=f(x)(x)=\X 10-4)>0，即Y<X20<x<1,y>0其它（3分）P（方程有實(shí)根）=P(Y<X2)=J1dxJx200e-ydy=J1(1-e-x2)dx=1-J1e-x2dx=1-<2kJ1-L=e"32dx=1-K[F(1)-F(0)]0\2kTOC\o"1-5"\h\z=1-‘氤[①(；)-①(0)]=1-標(biāo)[①(\.'2)-①(0)]=1+注-7屆①(紜；2) (5分)國 2[0<x<1…⑶利用公式f(z)=卜f(x)f(z-x)dx當(dāng)且僅當(dāng)《 八時(shí)上述值不為Z-8XY 〔z-x>0(z-x)dx—J1e-(z-x)dx—(e-1)e-z(7分)f(z)=Jzf(x)f(z-x)dx(z-x)dx—J1e-(z-x)dx—(e-1)e-z(7分)當(dāng)z>1時(shí)，f(z)—Z其它，f(z)=0Z(e-1)e-z z>10其它或者[0<z-y<1.利用公式f(z)-卜f(z-y)f(y)dy當(dāng)且僅當(dāng)《 時(shí)上述值不為Z-8x Y 〔y>0當(dāng)