圓錐曲線第一定義與焦點三角形練習(xí)題及解析答案

第1講圓錐曲線第一定義與焦點三角形一．選擇題（共8小題）1．已知橢圓的焦點為，，過點的直線與橢圓交于，兩點．若，，則的方程為A． B． C． D．2．若橢圓和雙曲線有相同的焦點，，是兩條曲線的一個交點，則的值是A． B． C． D．3．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上一點，，△的面積為，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．4．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，以為直徑的圓與此雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為，且，則此雙曲線的離心率是A． B．2 C．4 D．55．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點為的拋物線交于，兩點，若，則該雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．6．已知雙曲線的右支與焦點為的拋物線交于，兩點，若，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．7．將兩個頂點在拋物線上，另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數(shù)記為，則A． B． C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點為的拋物線交于，兩點，已知雙曲線的一條漸近線方程為，且，則實數(shù)的值為A．1 B．2 C．3 D．4二．多選題（共2小題）9．過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點，為的中點，則A．以線段為直徑的圓與軸相切 B．當(dāng)時， C．以線段為直徑的圓與直線相離 D．的最小值為310．已知拋物線，過焦點的直線交拋物線于，，，兩點，直線，分別于直線相交于，兩點．則下列說法正確的是A．焦點的坐標(biāo)為 B． C．的最小值為4 D．與的面積之比為定值三．填空題（共7小題）11．已知橢圓的兩個焦點為，，過的直線與橢圓交于、兩點，若，，則的方程為．12．已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一點，且滿足為坐標(biāo)原點）．若，則橢圓的離心率為．13．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的通徑（過焦點垂直于長軸的弦叫做通徑），則的內(nèi)切圓方程為．14．過拋物線的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于，兩點，，在軸上的正射影分別為，．若梯形的面積為，則．15．過拋物線的焦點作斜率為的直線與該拋物線交于，兩點，，在軸上的正射影分別為，，若梯形的面積為，則．16．過拋物線的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于，兩點，又過，兩點作軸的垂線，垂足分別為，，若梯形的面積為，則17．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線．的右支與焦點為的拋物線交于，兩點，已知雙曲線的離心率為，若．則．四．解答題（共1小題）18．已知橢圓過點，，橢圓與軸交于，兩點，與軸交于，兩點．（1）求四邊形的面積；（2）若四邊形的內(nèi)切圓的半徑為，點，在橢圓上，直線斜率存在，且與圓相切，切點為，求證：．第1講圓錐曲線第一定義與焦點三角形一．選擇題（共8小題）1．已知橢圓的焦點為，，過點的直線與橢圓交于，兩點．若，，則的方程為A． B． C． D．【解答】解：，，又，，又，，，，，，，在軸上．在△中，，在△中，由余弦定理可得，根據(jù)，可得，解得，．．所以橢圓的方程為：．故選：．2．若橢圓和雙曲線有相同的焦點，，是兩條曲線的一個交點，則的值是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)在第一象限，，，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，解得，，則，故選：．3．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上一點，，△的面積為，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【解答】解：由是雙曲線右支上一點，所以，在△中，由余弦定理有，所以，所以，所以，所以，所以離心率，故選：．4．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，以為直徑的圓與此雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為，且，則此雙曲線的離心率是A． B．2 C．4 D．5【解答】解：由題意可得：，，解得，，又，代入化簡可得，，所以，解得．故選：．5．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點為的拋物線交于，兩點，若，則該雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．【解答】解：把代入雙曲線，可得：，，，，，．該雙曲線的漸近線方程為：．故選：．6．已知雙曲線的右支與焦點為的拋物線交于，兩點，若，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．【解答】解：把代入雙曲線雙曲線，可得：，．，．，，則雙曲線的漸近線方程為，故選：．7．將兩個頂點在拋物線上，另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數(shù)記為，則A． B． C． D．【解答】解：的焦點，等邊三角形的一個頂點位于拋物線的焦點，另外兩個頂點在拋物線上，則等邊三角形關(guān)于軸軸對稱兩個邊的斜率，其方程為：，每條直線與拋物線均有兩個交點，焦點兩側(cè)的兩交點連接，分別構(gòu)成一個等邊三角形．故，故選：．8．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點為的拋物線交于，兩點，已知雙曲線的一條漸近線方程為，且，則實數(shù)的值為A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由題意可知，聯(lián)立方程組，消去可得：，設(shè)，，，，則，，又，，．故選：．二．多選題（共2小題）9．過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點，為的中點，則A．以線段為直徑的圓與軸相切 B．當(dāng)時， C．以線段為直徑的圓與直線相離 D．的最小值為3【解答】解：當(dāng)直線的斜率不存在時，以線段為直徑的圓與軸相切；當(dāng)直線的斜率存在且不為0，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，設(shè)，，，，可得，，設(shè)，，可得的橫坐標(biāo)為，的中點的橫坐標(biāo)為，，當(dāng)時，的中點的橫坐標(biāo)為，，得以線段為直徑的圓與軸相交，故錯；以為極點，軸的正半軸為極軸的拋物線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)，，，，可得，，可得，又，可得，，則，故正確；的焦點，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，在準(zhǔn)線上的射影為，，，由，，，可得線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，與直線軸相交，故正確；當(dāng)直線垂直于軸，可得為通徑，取得最小值4，故錯誤．故選：．10．已知拋物線，過焦點的直線交拋物線于，，，兩點，直線，分別于直線相交于，兩點．則下列說法正確的是A．焦點的坐標(biāo)為 B． C．的最小值為4 D．與的面積之比為定值【解答】解：拋物線的方程整理可得：，所以焦點，所以不正確；由橢圓的焦點在軸可得，直線的斜率一點存在，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，整理可得：，所以，所以，故正確；所以△，，當(dāng)軸時最小，這時直線的方程為，代入拋物線的方程可得，，所以，所以最小值為4；所以正確；由題意可得直線，的方程分別為：，，與的交點分別為，，，，所以；到直線的距離，弦長，所以，所以，所以與的面積之比為定值，故正確；故選：．三．填空題（共7小題）11．已知橢圓的兩個焦點為，，過的直線與橢圓交于、兩點，若，，則的方程為．【解答】解：由題意可得，設(shè)：，由可得，由橢圓的定義可得，，，又因為，所以在△中，，即，①在中，，即，整理可得，②將②代入①中可得，所以，所以橢圓的方程為：；故答案為：．12．已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一點，且滿足為坐標(biāo)原點）．若，則橢圓的離心率為．【解答】解：取的中點，連接，所以可得，又因為，所以，即，而為的中點，所以，可得，因為，而，所以可得：，，在△中，由勾股定理可得，即，可得，所以，故答案為：．13．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的通徑（過焦點垂直于長軸的弦叫做通徑），則的內(nèi)切圓方程為．【解答】解：設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，橢圓，其中，，，則，與軸垂直，則有，，解得：，，的周長，其面積，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，有，解得．圓心橫坐標(biāo)為，即圓心坐標(biāo)為，，則的內(nèi)切圓方程是，故答案為：．14．過拋物線的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于，兩點，，在軸上的正射影分別為，．若梯形的面積為，則2．【解答】解：拋物線的焦點坐標(biāo)為，則過焦點斜率為1的直線方程為，設(shè)，，，，由題意可知，由，消去得，由韋達(dá)定理得，，所以梯形的面積為：所以，又，所以故答案為2．15．過拋物線的焦點作斜率為的直線與該拋物線交于，兩點，，在軸上的正射影分別為，，若梯形的面積為，則3．【解答】解：拋物線方程為，設(shè)，點坐標(biāo)分別為，，，，，焦點坐標(biāo)為，，直線的方程為，代入拋物線方程得，，，，則梯形的面積為，．故答案為：316．過拋物線的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于，兩點，又過，兩點作軸的垂線，垂足分別為，，若梯形的面積為，則【解答】解：拋物線的焦點坐標(biāo)為，則過焦點斜率為1的直線方程為，設(shè)，，，，由題意可知，．由，消去得，由韋達(dá)定理得，，梯形的面積為：，又，．故答案為．17．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線．的右支與焦點為的拋物線交于，兩點，已知雙曲線的離心率為，若．則4．【解答】解：雙曲線的離心率為，即為，即有，即，設(shè)，，，，拋物線的焦點，準(zhǔn)線為，可得，聯(lián)立拋物線方程和雙曲線方程可得：，即，可得，即有，即．故答案為：4．四．解答題（共1小題）18．已知