（新教材適用）高中數(shù)學第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用53導數(shù)在研究函數(shù)中的應用532函數(shù)的極值與最大(小)值第1課時函數(shù)的極值課后習題新人教A版選擇性

5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值第1課時函數(shù)的極值課后訓練鞏固提升A組1.設函數(shù)f(x)=2x+lnx,則(A.x=12為f(xB.x=12為f(xC.x=2為f(x)的極大值點D.x=2為f(x)的極小值點解析:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=2x令f'(x)=0,解得x=2.當0<x<2時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調遞減;當x>2時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調遞增.故x=2為f(x)的極小值點.答案:D2.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx在x=1處有極值2,則a,b的值分別為()A.1,3 B.1,3 C.1,3 D.1,3解析:f'(x)=3ax2+b.由題意知f'(1)=0,f(1)=2,即3a+b=0,a經檢驗,符合題意.答案:A3.已知函數(shù)f(x)=2x3+ax2+36x24在x=2處有極值,則該函數(shù)的一個單調遞增區(qū)間是()A.(2,3) B.(3,+∞) C.(2,+∞) D.(∞,3)解析:f'(x)=6x2+2ax+36.由題意知f'(2)=0,解得a=15,經檢驗,符合題意.令f'(x)=6x230x+36>0,解得x>3或x<2.結合選項知,函數(shù)f(x)的一個單調遞增區(qū)間是(3,+∞).答案:B4.若函數(shù)f(x)=x33bx+3b在區(qū)間(0,1)上有極小值,則()A.0<b<1 B.b<0 C.b>0 D.b<1解析:f'(x)=3x23b,若f(x)在區(qū)間(0,1)上有極小值,則f'(0)<0,答案:A5.設函數(shù)f(x)=13xlnx(x>0),則f(x)(A.在區(qū)間1eB.在區(qū)間1eC.在區(qū)間1eD.在區(qū)間1e解析:f'(x)=13當0<x<3時,f'(x)<0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)內單調遞減.由于f1e=13e+1>0,f(1)=13,f(e)=e31<0,故函數(shù)f(x答案:D6.函數(shù)f(x)=2x315x2+36x24的極小值為.

解析:f'(x)=6x230x+36=6(x25x+6)=6(x2)(x3).令f'(x)=0,解得x=2或x=3.當x<2時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調遞增;當2<x<3時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調遞減;當x>3時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調遞增.所以當x=3時,函數(shù)f(x)有極小值,極小值為f(3)=2×3315×32+36×324=3.答案:37.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx,其導函數(shù)y=f'(x)的圖象經過點(1,0),(2,0),如圖所示.則下列說法不正確的是.(填序號)

①當x=32時,函數(shù)f(x②f(x)有兩個極值點;③當x=2時,函數(shù)取得極小值;④當x=1時,函數(shù)取得極大值.解析:由題中圖象可知,x=1,2是函數(shù)的兩個極值點,故②正確;由于在區(qū)間(∞,1)和(2,+∞)上,f'(x)>0,則f(x)單調遞增;在區(qū)間(1,2)上,f'(x)<0,則f(x)單調遞減,故x=1是極大值點,x=2是極小值點,故③④正確.答案:①8.若函數(shù)f(x)=ax2+bx在x=1a處有極值,則b的值為.解析:f'(x)=2ax+b,∵函數(shù)f(x)在x=1a∴f'1a=2a·1a+b=0,解得b=經檢驗,符合題意.答案:29.已知函數(shù)f(x)=ex2x+2a,a∈R,求f(x)的單調區(qū)間與極值.解:f(x)=ex2x+2a,則f(x)的定義域為R,f'(x)=ex2.令f'(x)=0,解得x=ln2.當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(∞,ln2)ln2(ln2,+∞)f'(x)0+f(x)單調遞減2(1ln2+a)單調遞增故函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是(∞,ln2),單調遞增區(qū)間是(ln2,+∞),且函數(shù)f(x)在x=ln2處取得極小值,極小值為f(ln2)=2(1ln2+a),無極大值.10.已知函數(shù)f(x)=ex(ax+b)x24x,曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)討論f(x)的單調性,并求f(x)的極大值.解:(1)f'(x)=ex(ax+a+b)2x4.由已知得f(0)=4,f'(0)=4,即b=4,a+b4=4.解得a=4,b=4.(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)x24x,f'(x)=4ex(x+2)2x4=4(x+2)ex令f'(x)=0,解得x=ln2或x=2.當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(∞,2)2(2,ln2)ln2(ln2,+∞)f'(x)+00+f(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增當x=2時,函數(shù)f(x)取得極大值,極大值為f(2)=4(1e2).11.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1時取得極值,且f(1)=1.(1)試求常數(shù)a,b,c的值;(2)試判斷在x=±1時函數(shù)取得極小值還是極大值,并說明理由.解:(1)f'(x)=3ax2+2bx+c.由已知得f'(1)=f'(1)=0,即3a+2b+c=0,①3a2b+c=0.②因為f(1)=1,所以a+b+c=1.③聯(lián)立①②③,解得a=12,b=0,c=3經檢驗,符合題意.(2)由(1)知f(x)=12x332x,則f'(x)=32x232=3令f'(x)=0,得x=1或x=1.當x<1或x>1時,f'(x)>0;當1<x<1時,f'(x)<0,因此,函數(shù)f(x)在區(qū)間(∞,1)和(1,+∞)上單調遞增,在區(qū)間(1,1)內單調遞減.故當x=1時,函數(shù)f(x)取得極大值f(1)=1;當x=1時,函數(shù)f(x)取得極小值f(1)=1.12.已知函數(shù)f(x)=x33ax1(a≠0),若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個不同的交點,求m的取值范圍.解:因為f'(x)=3x23a,且f(x)在x=1處取得極值,所以f'(1)=3×(1)23a=0,解得a=1.所以f(x)=x33x1,f'(x)=3x23.令f'(x)=0,解得x=1或x=1.當x<1時,f'(x)>0;當1<x<1時,f'(x)<0;當x>1時,f'(x)>0.由f(x)的單調性可知,函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)=1,在x=1處取得極小值f(1)=3.作出f(x)的大致圖象如圖所示.已知直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個不同的交點,結合f(x)的圖象可知,m的取值范圍是(3,1).B組1.設函數(shù)f(x)在R上可導,其導函數(shù)為f'(x),且函數(shù)f(x)在x=2處取得極小值,則函數(shù)y=xf'(x)的圖象可能是()解析:由題意可得f'(2)=0,而且在x=2左側附近,f'(x)<0,此時xf'(x)>0.故排除B,D.在x=2右側附近,f'(x)>0,xf'(x)<0,故排除A.故選C.答案:C2.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則a的取值范圍是()A.(1,2) B.(3,6)C.(∞,3)∪(6,+∞) D.(∞,1)∪(2,+∞)解析:f'(x)=3x2+2ax+a+6.∵函數(shù)f(x)有極大值與極小值,∴f'(x)=0有兩個不等實根.∴Δ=4a212(a+6)>0,解得a<3或a>6.答案:C3.若函數(shù)y=ex+ax,a∈R有大于零的極值點,則()A.a<1 B.a>1 C.a<1e D.a>解析:∵y=ex+ax,∴y'=ex+a.由題意知y'=ex+a=0有大于0的實根.∴a=ex,其中x>0.∴a<1.答案:A4.已知函數(shù)f(x)=ex(sinxcosx),x∈(0,2021π),則函數(shù)f(x)的極大值之和為()A.e2π(C.eπ(1解析:f'(x)=2exsinx.令f'(x)=0,即sinx=0,得x=kπ(k∈Z).當2kπ<x<2kπ+π(k∈Z)時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調遞增;當2kπ+π<x<2kπ+2π(k∈Z)時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調遞減.∴當x=(2k+1)π(k∈Z)時,f(x)取得極大值.∵x∈(0,2021π),∴0<(2k+1)π<2021π(k∈Z).∴0≤k<1010,k∈Z.∴f(x)的極大值之和為S=f(π)+f(3π)+f(5π)+…+f(2019π)=eπ+e3π+e5π+…+e2019π=eπ[1答案:B5.(多選題)如果函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,那么以下關于函數(shù)y=f(x)的判斷正確的是()A.在區(qū)間(2,4)內單調遞減 B.在區(qū)間(2,3)內單調遞增C.x=3是極小值點 D.x=4是極大值點解析:當x∈(2,4)時,f'(x)>0,因此函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(2,4)內單調遞增,故A不正確,B正確;由題圖知,當x=3時,函數(shù)f'(x)取得極小值,但是函數(shù)y=f(x)沒有取得極小值,故C錯誤;當x=4時,f'(x)=0;當2<x<4時,f'(x)>0,f(x)單調遞增;當x>4時,f'(x)<0,f(x)單調遞減.因此,x=4是函數(shù)y=f(x)的極大值點.故D正確.綜上,選BD.答案:BD6.若函數(shù)f(x)=x2+ax+1在x=解析:f'(x)=2x由題意知f'(1)=0,即1+2a=0,解得a=3.經驗證,當a=3時,f(x)在x=1處取得極值.答案:37.若函數(shù)f(x)=x3+x2ax4在區(qū)間(1,1)內恰有一個極值點,則實數(shù)a的取值范圍為.

解析:f'(x)=3x2+2xa.函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)內恰有一個極值點,即f'(x)=0在區(qū)間(1,1)內恰有一個根.又f'(x)=3x2+2xa的圖象的對稱軸為直線x=13所以f解得1≤a<5.故實數(shù)a的取值范圍為[1,5).答案:[1,5)8.直線y=a與函數(shù)f(x)=x33x的圖象有三個公共點,則實數(shù)a的取值范圍是.

解析:令f'(x)=3x23=0,得x=±1.根據函數(shù)f(x)的單調性,可得函數(shù)f(x)的極大值為f(1)=2,極小值為f(1)=2.作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示,觀察知,當2<a<2時,直線y=a與函數(shù)f(x)的圖象有三個公共點.答案:(2,2)9.若函數(shù)f(x)=13x3+x23xa有兩個零點,則實數(shù)a=.解析:f'(x)=x2+2x3=(x1)(x+3).令f'(x)=0,解得x=1或x=3.由f(x)的單調性可知,當x=3時,函數(shù)f(x)取得極大值f(3)=9a;當x=1時,函數(shù)f(x)取得極小值f(1)=53a因為函數(shù)f(x)有兩個零點,即f(x)的圖象與x軸有兩個交點,且當x→∞時,f(x)→∞,當x→+∞時,f(x)→+∞.所以9a=0或53a=0,解得a=9或a=5答案:9或510.已知函數(shù)f(x)=x1+aex(a∈R(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;(2)求函數(shù)f(x)的極值.解:(1)由f(x)=x1+aex,得f'(x)=1∵曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,∴f'(1)=0,即1ae=0,解得a=e(2)由(1)知,f'(x)=1ae①當a≤0時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)為R上的單調遞增函數(shù),故函數(shù)f(x)無極值.②當a>0時,令f'(x)=0,即ex=a,得x=lna.當x∈(∞,lna)時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調遞減;當x∈(lna,+∞)時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調遞增.故f(x)在x=lna處取得極小值,且極小值為f(lna)=lna,無極大值.綜上,當a≤0時,函數(shù)f(x)無極值;當a>0時,f(x)在x=lna處取得極小值lna,無極大值.11.已知函數(shù)f(x)=ax36ax2+3bx+b,其圖象在點(2,f(2))處的切線方程為3x+y11=0.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與y=13f'(x)+5x+m的圖象有三個不同的交點,求實數(shù)m的取值范圍解:(1)f'(x)=3ax212ax+3b.由題意得f'(2)=3,且f(2)=5,即12a-24a+3b所以f(x)=x36x2+9x+3.(2)由(1)知f(x)=x36x2+9x+3,f'(x)=3x212x+9,從而y