重慶市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題含答案及解析

重慶一中高2027屆高一上期月考數(shù)學(xué)試題卷注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準考證號碼填寫在答題卡上.2.作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上.寫在本試卷及草稿紙上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一?單項選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.命題.“”的否定是（）A. B. C. D.3.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.4.使得“”為真命題的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.5.若正實數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.或 C. D.或6.函數(shù)滿足對且，都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.7.已知均為正實數(shù)，且，則下列選項錯誤的是（）A.最大值為B.最小值為C.的最大值為D.的最小值為8.含有有限個元素的數(shù)集，定義其“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從小到大的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù)，例如的“交替和”是；而的交替和是，則集合的所有非空子集的“交替和”的總和為（）A. B. C. D.二?多項選擇題.本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知；則下列不等式一定成立的有（）A.若且，則B.若，則C.若，則D.10.下列說法正確的是（）A.若是的必要不充分條件，是的充要條件，則是的充分不必要條件B.若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是C.若不等式解集為，則不等式的解集為D.“”為假命題的充要條件為11.已知函數(shù)的定義域為，且滿足當(dāng)時，，當(dāng)時，恒有，且為非零常數(shù)，則下列說法正確的有（）AB.當(dāng)時，反比例函數(shù)與在上的圖象有且僅有6個交點C.當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減D.當(dāng)時，在上的值域為三?填空題.本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知集合，則集合有__________個子集.13.已知集合，若且，則實數(shù)的取值范圍是__________.14.若正實數(shù)，滿足，則的最小值為__________.四?解答題?本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.16.已知函數(shù)的定義域為，集合.（1）求；（2）集合，若，求實數(shù)的取值范圍.17.已知二次函數(shù)的圖象過原點，且對任意，恒有.（1）求的值；（2）求函數(shù)的解析式；（3）記函數(shù)，若對任意，均存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.18.教材中的基本不等式可以推廣到階：個正數(shù)的算數(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).也即：若，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等.利用此結(jié)論解決下列問題：（1）若，求的最小值；（2）若，求的最大值，并求取得最大值時的的值；（3）對任意，判斷與的大小關(guān)系并加以嚴格證明.19.已知定義在上的函數(shù)同時滿足下列四個條件：①；②對任意，恒有；③對任意，恒有；④對任意，恒有.（1）求的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義法證明；（3）若對任意，恒有，求實數(shù)的取值范圍.

重慶一中高2027屆高一上期月考數(shù)學(xué)試題卷注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準考證號碼填寫在答題卡上.2.作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上.寫在本試卷及草稿紙上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一?單項選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運算法則運算即可.【詳解】因為，，所以.故選：.2.命題.“”的否定是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用特稱命題的否定形式回答即可.【詳解】根據(jù)特稱命題的否定形式可知命題.“”的否定是“”.故選：B3.已知函數(shù)定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)及具體函數(shù)的定義域求解即可.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以函數(shù)的定義域為，則對于函數(shù)，需滿足，解得，即函數(shù)的定義域為.故選：D.4.使得“”為真命題的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對于全稱量詞命題，我們需要先求出使得該命題為真時的取值范圍，然后再根據(jù)充分不必要條件的定義來判斷選項.【詳解】令，.對于二次函數(shù)，其對稱軸為.因，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.那么在上的最大值為.因為為真命題，即在上恒成立，所以.是的充分而不必要條件，即值，.當(dāng)時，一定滿足，所以是的充分不必要條件.而時，不能保證一定滿足，時，也不能保證一定滿足.故選：C.5.若正實數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.或 C. D.或【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式和常值代換法求得的最小值，依題得到不等式，解之即得.【詳解】因，由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時，取得最小值6.因不等式恒成立，故，即，解得.故選：C.6.函數(shù)滿足對且，都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，得到在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，列出不等式組，即可求解.【詳解】由函數(shù)因為函數(shù)任意且，都有，所以函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，則滿足，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.7.已知均為正實數(shù)，且，則下列選項錯誤的是（）A.的最大值為B.的最小值為C.的最大值為D.的最小值為【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式可判斷AC的正誤，利用“1”的代換可判斷B的正誤，利用換元法結(jié)合常數(shù)代換可判斷D的正誤.【詳解】選項A：時取等，得的最大值為，故A對；選項B：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故的最小值為，故B錯選項C：時取等，故的最大值為，故C對；選項D：換元，令，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故的最小值為，故D正確；故選：B.8.含有有限個元素的數(shù)集，定義其“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從小到大的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù)，例如的“交替和”是；而的交替和是，則集合的所有非空子集的“交替和”的總和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將集合的子集兩兩配對：使且，從而有集合與集合的交替和之和為4，再利用符合條件的集合對有個，即可求解.【詳解】由題知，將集合的子集兩兩配對：使且，則符合條件的集合對有個，又由題設(shè)定義有集合與集合的交替和之和為4，所以交替和的總和為.故選：A.二?多項選擇題.本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知；則下列不等式一定成立的有（）A.若且，則B.若，則C.若，則D.【答案】BD【解析】【分析】利用特殊值驗證AC是錯誤的，利用作差法判斷B的真假，利用配方法證明D是正確的.【詳解】對A：令，，則且，但不成立，故A錯誤；對B：當(dāng)時，，所以成立，故B正確；對C：令，，，，則，但不成立，故C錯誤；對D：因為，所以成立，故D正確.故選：BD10.下列說法正確的是（）A.若是的必要不充分條件，是的充要條件，則是的充分不必要條件B.若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是C.若不等式的解集為，則不等式的解集為D.“”為假命題的充要條件為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念判斷A，分類討論求出k的范圍判斷B，根據(jù)數(shù)軸穿根法及不等式的解集求出及解不等式判斷C，由命題的否定轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，看作關(guān)于的不等式恒成立即可判斷D.【詳解】對A，若是的必要不充分條件，是的充要條件，則，但是不能推出，所以，但是不能推出，所以是的充分不必要條件，故A正確；對B，當(dāng)時，原不等式為，恒成立滿足題意，當(dāng)時，由題意需滿足，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是，故B錯誤；對C，由不等式的解集為，結(jié)合數(shù)軸穿根法知，，且，所以不等式可化為，解得，故C正確；對D，由題意知為真命題，則在時恒成立，令，只需，則，解得，故D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)的定義域為，且滿足當(dāng)時，，當(dāng)時，恒有，且為非零常數(shù)，則下列說法正確的有（）A.B.當(dāng)時，反比例函數(shù)與在上的圖象有且僅有6個交點C.當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減D.當(dāng)時，在上的值域為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)所給函數(shù)解析式直接求解判斷A，根據(jù)的性質(zhì)及圖象判斷B，歸納出在上的解析式判斷C，根據(jù)規(guī)律，歸納值域特點判斷D.【詳解】選項A：，，則，所以選項A正確；選項B：由知，時，，由于，但，作fx結(jié)合圖象可知上有個交點，在上無交點，故選項B正確；選項C：時，，故在上單增，故C錯誤；選項D：因為，所以當(dāng)時，值域為；當(dāng)時，值域為；當(dāng)時，值域為；當(dāng)時，值域為；當(dāng)時，值域為，故D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)所給函數(shù)解析式，可知函數(shù)類似周期特點，圖象形狀類似，振幅有規(guī)律變化，據(jù)此可歸納函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵所在.三?填空題.本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，則集合有__________個子集.【答案】【解析】【分析】求出集合，列舉出集合的子集即可.【詳解】因，故集合的子集有共4個.故答案為：4.13.已知集合，若且，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系，討論和兩種情況，求集合，再比較端點值，即可求解.【詳解】因為，所以，因為，且：當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，則，綜上，.故答案為：14.若正實數(shù)，滿足，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，代入可得，根據(jù)基本不等式可得最值.【詳解】由題可知，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單增，所以上式可表示為，則，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)即，時等號成立，故答案為：.四?解答題?本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)定義分類列方程求解；（2）根據(jù)分段函數(shù)定義分類列不等式求解．【小問1詳解】由可得：1°x【小問2詳解】由可得：1°2綜上可得.16.已知函數(shù)的定義域為，集合.（1）求；（2）集合，若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，先求出集合，再利用集合的運算，即可求解；（2）由（1）可得，再根據(jù)條件，分和兩種情況討論，即可求解.【小問1詳解】由,即，得到或，所以或，又由，得到或，即或，所以或，所以或.【小問2詳解】因為或，所以，①當(dāng)，即時，此時，所以滿足題意，②當(dāng)，即時，由題有，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是.17.已知二次函數(shù)的圖象過原點，且對任意，恒有.（1）求的值；（2）求函數(shù)的解析式；（3）記函數(shù)，若對任意，均存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）令即可求出.（2）根據(jù)條件，先設(shè)出二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)恒成立，可求待定系數(shù).（3）問題轉(zhuǎn)化成在區(qū)間的最小值不小于在上的最小值求參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】在不等式，令.【小問2詳解】因為為二次函數(shù)且圖象過原點，所以可設(shè)，由，于是，由題：恒成立?a>0檢驗知此時滿足，故.【小問3詳解】函數(shù)，開口向上，對稱軸，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此，時，，即，而在上單調(diào)遞減，所以時，因為對任意，均存在，使得，等價于18.教材中的基本不等式可以推廣到階：個正數(shù)的算數(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).也即：若，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等.利用此結(jié)論解決下列問題：（1）若，求的最小值；（2）若，求的最大值，并求取得最大值時的的值；（3）對任意，判斷與大小關(guān)系并加以嚴格證明.【答案】（1）（2）最大值為，（3），證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)三階基本不等式的內(nèi)容直接可得解；（2）由，結(jié)合四階基本不等式可得最值；（3）猜測，成立，驗證不等式成立；結(jié)合推廣公式證明結(jié)論成立.【小問1詳解】因為，所以由三階基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，因此的最小值為；【小問2詳解】當(dāng)時，由四階基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，因此的最大值為；【小問3詳解】大小關(guān)系為，，證明如下：由條件可知：時，，當(dāng)時，左邊，右邊，左邊右邊，不等式成立；當(dāng)，時，由階基本不等式，可知：不等式左邊而，因此上式的不等號取不到等號，于是，綜上，原不等式得證.19.已知定義在上的函數(shù)同時滿足下列四個條件：①；②對任意，恒有；③對任意，恒有；④對任意，恒有.（1）求的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義法證明；（3）若對任意，恒有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）在上單調(diào)遞減，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）令可得，再由，即可得出答案；（2）由單調(diào)性的定義證明即可；（3）由單調(diào)性和奇偶性列出不等式，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】在中令；（或令).