新高考數(shù)學二輪復習對點題型第16講橢圓（學生版）

第16講橢圓真題展示2022新高考一卷第16題已知橢圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的上頂點為SKIPIF1<0，兩個焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0．過SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周長是13．考查目標直線、橢圓及相關幾何量的計算是中學數(shù)學的必備知識.試題巧妙地將直線與橢圓的位置關系及有關度量的計算結合在一起，設計的問題既體現(xiàn)了基礎性又具有挑戰(zhàn)性.試題對考生的化歸與轉化、邏輯推理等方面的能力提出了較高的要求，有效地考查了考生的理性思維、數(shù)學探索等方面的數(shù)學學科素養(yǎng)，考查了考生的運算求解、邏輯思維等方面的關鍵能力.試題亮點試題對解析幾何知識綜合應用的考查做了很好的設計.從試題的簡單情景中應用橢圓的定義去分析問題、解決問題，可以體現(xiàn)考生思維的靈活性.試題具有較好的創(chuàng)新性與開放性，有諸多亮點.試題的題設條件簡潔，問題深入，既體現(xiàn)了數(shù)學之美，又體現(xiàn)了邏輯推理的重要性.考生在判斷出△AF，F(xiàn)，為正三角形后進一步選擇解題路徑，這對考生準確靈活運用所學知識解決問題的能力、運用數(shù)形結合以及化歸與轉化等數(shù)學思想方法提出了較高要求．試題有效考查了考生的運算求解能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新能力，以及理性思維、數(shù)學應用、數(shù)學探索等數(shù)學科素養(yǎng).試題具有較好的開放性，給不同思維層次的考生提供了發(fā)揮的空間.考生可以采用不同的解題路徑和方法.比如，考生可以利用對稱性解決。知識要點整理知識點一橢圓的定義1．定義：平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡．2．焦點：兩個定點F1，F(xiàn)2.3．焦距：兩焦點間的距離|F1F2|.4．幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝(常數(shù))且2a|F1F2|.知識點二橢圓的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形焦點坐標F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關系b2＝a2－c2知識點三橢圓的簡單幾何性質焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a頂點A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長短軸長＝2b，長軸長＝2a焦點(±eq\r(a2－b2)，0)(0，±eq\r(a2－b2))焦距|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)對稱性對稱軸：x軸、y軸對稱中心：原點離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)知識點四直線與橢圓的位置關系直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關系的判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y得到一個關于x的一元二次方程．直線與橢圓的位置關系、對應一元二次方程解的個數(shù)及Δ的取值的關系如表所示．直線與橢圓解的個數(shù)Δ的取值兩個不同的公共點兩解Δ>0一個公共點一解Δ＝0沒有公共點無解Δ<0三年真題一、單選題1．已知橢圓的長軸長為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長等于（

）A．3 B．6 C．8 D．12二、多選題2．已知曲線SKIPIF1<0.（

）A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為SKIPIF1<0C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為SKIPIF1<0D．若m=0，n>0，則C是兩條直線三、填空題3．已知SKIPIF1<0，B是圓SKIPIF1<0（F為圓心）上一動點.線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為___________.4．已知橢圓SKIPIF1<0，C的上頂點為A，兩個焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0．過SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直線與C交于D，E兩點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周長是________________．四、解答題5．已知橢圓C：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且過點SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程：（2）點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為垂足．證明：存在定點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值．6．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的左、右頂點．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）若點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．7．已知橢圓C1：SKIPIF1<0(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=SKIPIF1<0|AB|．（1）求C1的離心率；（2）若C1的四個頂點到C2的準線距離之和為12，求C1與C2的標準方程．8．已知橢圓C1：SKIPIF1<0(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=SKIPIF1<0|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標準方程.三年模擬1．已知橢圓SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的離心率互為倒數(shù)，且它們有共同的焦點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，P是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在第一象限的交點，當SKIPIF1<0時，雙曲線SKIPIF1<0的離心率等于______.2．如圖是數(shù)學家GerminalDandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型.在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側面與截面都相切，設圖中球SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0的半徑分別為4和2，球心距離SKIPIF1<0，截面分別與球SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是截口橢圓的焦點），則此橢圓的離心率等于__________.3．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左右焦點，A為SKIPIF1<0的上頂點，直線l經(jīng)過點SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0交于B，C兩點；若l垂直平分線段SKIPIF1<0，則△ABC的周長是___________.4．如圖所示，平面直角坐標系SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的上?下頂點，點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0不在橢圓SKIPIF1<0上，則橢圓SKIPIF1<0的焦距為___________.5．已知橢圓SKIPIF1<0的左?右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點P在橢圓上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的延長線交橢圓于點Q，若橢圓的離心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0___________.6．己知橢圓SKIPIF1<0的右焦點SKIPIF1<0和上頂點B，若斜率為SKIPIF1<0的直線l交橢圓C于P，Q兩點，且滿足SKIPIF1<0，則橢圓的離心率為___________.7．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓C的兩個焦點，點M在C上，且SKIPIF1<0的最大值是它的最小值的2倍，則橢圓的離心率為__________．8．已知橢圓SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0有共同的焦點SKIPIF1<0，它們的離心率分別為SKIPIF1<0是它們的一個公共點.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為__________.9．已知SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左，右焦點，直線SKIPIF1<0與橢圓C的一個交點為M，若SKIPIF1<0，則橢圓的離心率為______.10．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上且在以SKIPIF1<0為直徑的圓上．線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的長軸長為_____．11．已知橢圓SKIPIF1<0的右焦點為F，經(jīng)過點F的直線l的傾斜角為SKIPIF1<0，且直線l交該橢圓于A，B兩點，若SKIPIF1<0，則該橢圓的離心率為______________.13．已知橢圓SKIPIF1<0左?右焦點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0且傾斜角為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0點，點SKIPIF1<0在橢圓上，且SKIPIF1<0.則橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0__________.15．已知橢圓SKIPIF1<0的上、下頂點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是橢圓C上異于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的點，直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，寫出一個滿足SKIPIF1<0的橢圓C的方程是________________．16．如圖，己知是橢圓SKIPIF1<0的焦點，M，N為橢圓上兩點，滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的余弦值為___________.17．若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓C：SKIPIF1<0的兩個焦點，過SKIPIF1<0的直線l與橢圓C交于A、B兩點，O為坐標原點，則下列說法中正確的是______．（填序號）①橢圓C的離心率為SKIPIF1<0；

②存在點A使得SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；

④SKIPIF1<0面積的最大值為12．18．舒騰尺是荷蘭數(shù)學家舒騰設計的一種作圖工具，如圖，O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞O轉動，長桿MN通過N處的鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動．當點D在滑槽AB內做往復移動時，帶動點N繞O轉動，點M也隨之而運動．記點N的運動軌跡為SKIPIF1<0，點M的運動軌跡為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0上的點P向SKIPIF1<0作切線，則切線長的最大值為______．19．已知橢圓SKIPIF1<0的左?右焦點分別為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的上頂點，直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0的另一個交點為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.20．用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當截面與圓錐的軸夾角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線．我們通常把圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線．已知某圓錐的軸截面是正三角形，平面SKIPIF1<0與該圓錐的底而所成的銳二面角為SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0截該圓錐所得橢圓的離心率為_________．21．已知F是橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的右焦點，A為橢圓SKIPIF1<0的下頂點，雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）與橢圓SKIPIF1<0共焦點，若直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線平行，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的離心率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為______．22．已知A（3，1），B（－3，0），P是橢圓SKI