新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)對點(diǎn)題型第15講用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線的切線（學(xué)生版）

第15講用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線的切線真題展示2022新高考一卷第15題若曲線SKIPIF1<0有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．知識(shí)要點(diǎn)整理用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種類型求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)SKIPIF1<0及斜率，其求法為：設(shè)SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，則以SKIPIF1<0的切點(diǎn)的切線方程為：SKIPIF1<0．若曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0的切線平行于SKIPIF1<0軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知，切線方程為SKIPIF1<0．下面例析四種常見的類型及解法．類型一：已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程此類題較為簡單，只須求出曲線的導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0，并代入點(diǎn)斜式方程即可．例1曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程為（）Ａ．SKIPIF1<0 Ｂ．SKIPIF1<0Ｃ．SKIPIF1<0 Ｄ．SKIPIF1<0類型二：已知斜率，求曲線的切線方程此類題可利用斜率求出切點(diǎn)，再用點(diǎn)斜式方程加以解決．例2與直線SKIPIF1<0的平行的拋物線SKIPIF1<0的切線方程是（）Ａ．SKIPIF1<0 Ｂ．SKIPIF1<0Ｃ．SKIPIF1<0 Ｄ．SKIPIF1<0類型三：已知過曲線上一點(diǎn)，求切線方程過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法．例3求過曲線SKIPIF1<0上的點(diǎn)SKIPIF1<0的切線方程．評注：可以發(fā)現(xiàn)直線SKIPIF1<0并不以SKIPIF1<0為切點(diǎn)，實(shí)際上是經(jīng)過了點(diǎn)SKIPIF1<0且以SKIPIF1<0為切點(diǎn)的直線．這說明過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，解決此類問題可用待定切點(diǎn)法．類型四：已知過曲線外一點(diǎn)，求切線方程此類題可先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法來求解．例4求過點(diǎn)SKIPIF1<0且與曲線SKIPIF1<0相切的直線方程．評注：點(diǎn)SKIPIF1<0實(shí)際上是曲線外的一點(diǎn)，但在解答過程中卻無需判斷它的確切位置，充分反映出待定切點(diǎn)法的高效性．例5已知函數(shù)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作曲線SKIPIF1<0的切線，求此切線方程．評注：此類題的解題思路是，先判斷點(diǎn)A是否在曲線上，若點(diǎn)A在曲線上，化為類型一或類型三；若點(diǎn)A不在曲線上，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)并求出切點(diǎn)．2、求圓錐曲線的切線在初中數(shù)學(xué)中，曲線的切線沒有一般的定義。例如，圓的切線定義為與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線，但把這一定義用到其他曲線上就不行了。如直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0只有一個(gè)交點(diǎn)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線，但SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0也只有一個(gè)交點(diǎn)，但SKIPIF1<0卻不是SKIPIF1<0的切線，由此可見，用“一個(gè)交點(diǎn)”來定義切線并不能用于所有曲線。而學(xué)了微積分的知識(shí)后，就可以給出曲線切線的一般定義了。切線的定義：設(shè)SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0上一定點(diǎn)，SKIPIF1<0是該曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，從而有割線SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0沿著曲線無限趨近于SKIPIF1<0，則割線SKIPIF1<0的極限位置就是曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的切線（如果極限存在的話）。這一定義與初等數(shù)學(xué)中圓的切線定義是一致的（用于討論圓的切線時(shí)），用這一定義也容易證明SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線，而SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的切線，這一切線定義可用于任何曲線SKIPIF1<0。導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0的切線斜率。故運(yùn)用上述切線的一般定義和結(jié)論，可以處理與切線有關(guān)的許多問題。例6求曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時(shí)的切線方程。反思：由此可見，用微積分法解此類問題是多么的簡單容易，可是在初等數(shù)學(xué)中，曲線SKIPIF1<0的切線定義都難得給出，更別說討論與SKIPIF1<0的切線有關(guān)的問題了。例7已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極值，過點(diǎn)SKIPIF1<0作曲線SKIPIF1<0的切線，求此切線方程。要點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)是如何定義2.如何求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程與法線方程。三年真題1.已知函數(shù)SKIPIF1<0，對于SKIPIF1<0上的任意SKIPIF1<0，有如下條件：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．其中能使SKIPIF1<0恒成立的條件序號是____________．2．某日中午12時(shí)整，甲船自A處以SKIPIF1<0的速度向正東行駛，乙船自A的正北SKIPIF1<0處以SKIPIF1<0的速度向正南行駛，則當(dāng)日12時(shí)30分時(shí)兩船之距離對時(shí)間的變化率是___________SKIPIF1<0．3．曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在交點(diǎn)處切線的夾角是____________．（用弧度數(shù)作答）4．已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別是函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若SKIPIF1<0，則a的取值范圍是____________．5．若曲線SKIPIF1<0有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．6．函數(shù)SKIPIF1<0的最大值為______.7．曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線與SKIPIF1<0軸、直線SKIPIF1<0所圍成的三角形的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________.8．曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)(0，1)處的切線方程為________．9．已知函數(shù)SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象在點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0取值范圍是_______．10．寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)SKIPIF1<0_______．①SKIPIF1<0；②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0是奇函數(shù)．11．已知函數(shù)SKIPIF1<0，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號是_______．12．曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程為__________．13．函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為______.14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知SKIPIF1<0，A，B是圓C：SKIPIF1<0上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0，則△PAB面積的最大值是__________．15．設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則a=_________．16．曲線SKIPIF1<0的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為______________.三年模擬1．已知SKIPIF1<0，則曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程是___________.2．若過點(diǎn)SKIPIF1<0只可以作曲線SKIPIF1<0的一條切線，則SKIPIF1<0的取值范圍是__________.3．若直線SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的公切線，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值是______.4．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象在SKIPIF1<0處的切線方程為______.5．設(shè)曲線SKIPIF1<0的斜率為3的切線為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的方程為______．6．已知函數(shù)SKIPIF1<0，則曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程是______.7．已知定義在R上的函數(shù)SKIPIF1<0滿足：①曲線SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)處的切線斜率均不小于1；②曲線SKIPIF1<0在原點(diǎn)處的切線與圓SKIPIF1<0相切，請寫出一個(gè)符合題意的函數(shù)SKIPIF1<0______．8．已知曲線SKIPIF1<0在某點(diǎn)處的切線的斜率為SKIPIF1<0，則該切線的方程為______.9．若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________．10．已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖像與直線SKIPIF1<0相切，則SKIPIF1<0____________11．若曲線SKIPIF1<0的圖象總在曲線SKIPIF1<0的圖象上方，則SKIPIF1<0的取值范圍是__