新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)對點題型第3講平面向量的線性運算（學(xué)生版）

第三講平面向量的線性運算真題展示2022新高考一卷第三題在SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0試題亮點（1）試題考查考生對平面向量基礎(chǔ)知識的理解與掌握，試題解法多樣，既可以利用平面向量的線性運算按部就班地推演得到答案，也可以利用三角形的幾何性質(zhì)直觀地看出問題的答案.（2）試題雖較為簡單，但設(shè)計精巧，為不同思維水平的考生提供了發(fā)揮的空間.（3）試題給定了兩個基向量CA，CD，由此可以唯一確定其他向量的代數(shù)表示.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生研究此類問題.這種代數(shù)表示的系數(shù)實際上是仿射坐標系中的坐標，如試題中CB=-2CA+3CD表示了CB相對于坐標原點為C.在基向量為CA和CD的坐標系中，CB的坐標分別是-2和3.教師在指導(dǎo)學(xué)生研究此題時，還可以引導(dǎo)學(xué)生考慮其他基向量下CB的坐標表示或者其他向量的坐標表示，以此提高學(xué)生對平面向量基本定理深刻且全面的理解．試題在考查三角形和平面向量必備知識的同時，意在引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)對平面向量基本定理的深刻理解與把握，引導(dǎo)學(xué)生要對向量幾何有深刻的理解和把握.知識要點整理一.平面向量基本定理1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的向量a，實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底．反思感悟平面向量基本定理的作用以及注意點(1)根據(jù)平面向量基本定理可知，同一平面內(nèi)的任何一個基底都可以表示該平面內(nèi)的任意向量．用基底表示向量，實質(zhì)上是利用三角形法則或平行四邊形法則，進行向量的線性運算．(2)基底的選取要靈活，必要時可以建立方程或方程組，通過方程或方程組求出要表示的向量．二、兩向量的夾角與垂直1．夾角：已知兩個a，b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角(如圖所示)．當(dāng)θ＝0時，a與b；當(dāng)θ＝π時，a與b反向．2．垂直：如果a與b的夾角是eq\f(π,2)，則稱a與b垂直，記作a⊥b.三、向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a，b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a|·|b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.思考若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0?答案在實數(shù)中，若a≠0，且a·b＝0，則b＝0；但是在數(shù)量積中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因為其中a有可能垂直于b.四、投影向量1．如圖，設(shè)a，b是兩個非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，我們考慮如下的變換：過eq\o(AB,\s\up6(→))的起點A和終點B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我們稱上述變換為向量a向向量b的，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．2．如圖，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量．設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則eq\o(OM1,\s\up6(→))與e，a，θ之間的關(guān)系為eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.五、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)向量a與b都是非零向量，它們的夾角為θ，e是與b方向相同的單位向量．則(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當(dāng)a∥b時，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a與b同向，,－|a||b|，a與b反向.))特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b||a||b|.三年真題1．已知向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．3 C．4 D．52．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．P為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的動點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．5 D．64．已知向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．25．在SKIPIF1<0中，點D在邊AB上，SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知非零向量SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件7．（多選）已知O為坐標原點，過拋物線SKIPIF1<0焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則（

）A．直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（多選）已知SKIPIF1<0為坐標原點，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的取值范圍是_______．10．已知向量SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______________．11．設(shè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角的余弦值為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________．12．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0_______．13．已知平面向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.記向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影分別為x，y，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為z，則SKIPIF1<0的最小值為___________.14．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．15．若向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________.16．已知向量SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________．17．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________．四、雙空題19．在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，SKIPIF1<0且交AB于點E．SKIPIF1<0且交AC于點F,則SKIPIF1<0的值為____________；SKIPIF1<0的最小值為____________．三年模擬一、單選題1．已知圓SKIPIF1<0的弦AB的中點為SKIPIF1<0，直線AB交y軸于點M，則SKIPIF1<0的值為（

）A．4 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．設(shè)SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則滿足條件的k的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．若向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．25．已知O是SKIPIF1<0內(nèi)一點，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積之比為SKIPIF1<0，則實數(shù)m的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知單位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題7．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.8．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.9．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．10．如圖，在SKIPIF1<0中，點D、E是線段BC上兩個動點，且SKIPIF1<0，，則SKIPIF1<0的最小值為______.11．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是___________.12．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是_____________．13．已知向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角為銳角，且SKIPIF1<0，任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為______．14．已知平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，S