安徽省黃山市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試題含解析

Page21安徽省黃山市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題60分）和第Ⅱ卷（非選擇題90分）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.留意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必在試卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號(hào)，并仔細(xì)核對(duì)答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號(hào)與本人姓名、座位號(hào)是否一樣.務(wù)必在答題卡背面規(guī)定的地方填寫姓名和座位號(hào)后兩位.2．答第Ⅰ卷時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).3．答第Ⅱ卷時(shí)，必需運(yùn)用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫，要求字體工整、筆跡清晰.作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清晰.必需在題號(hào)所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上答題無(wú)效.4．考試結(jié)束，務(wù)必將試卷和答題卡一并上交.第Ⅰ卷（選擇題滿分60分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.）1.若，其中，是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，結(jié)合虛部的概念求解即可【詳解】因?yàn)?，故，故?fù)數(shù)的虛部為2故選：D2.以下說(shuō)法正確的是（）A.零向量與隨意非零向量平行 B.若，，則C.若(為實(shí)數(shù))，則必為零 D.和都單位向量，則【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量的性質(zhì)和定義即可逐一推斷.【詳解】解：對(duì)于A,零向量與隨意向量平行，故A正確；對(duì)于B，時(shí)，滿意，，但不肯定成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于C,時(shí)，或，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，和都是單位向量，則，但不肯定成立，故錯(cuò)誤．故選：A．3.已知，是不同的直線，，是不重合的平面，則下列命題錯(cuò)誤的序號(hào)是（）①若，，則②若，，則③若，則④若，，則A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④【答案】C【解析】【分析】①可由線面平行的判定定理進(jìn)行推斷；②可由線面垂直的位置關(guān)系進(jìn)行推斷；③可由面面垂直的判定定理進(jìn)行推斷．④可由面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行推斷；【詳解】①因?yàn)椋瑫r(shí)，也有可能，故不成立．故①錯(cuò)誤；②因?yàn)?，，位置不定，則位置不定.故②錯(cuò)誤；③因?yàn)?，，由面面垂直的判定定理可得，故③正確；④因?yàn)?，時(shí)，不肯定成立，有可能是，故④錯(cuò)誤故①②④錯(cuò)誤故選：C．4.如圖，是水平放置的的直觀圖，則的周長(zhǎng)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法得到為兩直角邊長(zhǎng)分別為4和6的直角三角形，進(jìn)而可得其周長(zhǎng).【詳解】如圖，依據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法得到為直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為4和6，所以斜邊長(zhǎng)為，故的周長(zhǎng)為．故選：B．5.現(xiàn)有以下兩項(xiàng)調(diào)查：①?gòu)呐_(tái)剛出廠的電視機(jī)中抽取臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查；②某社區(qū)有戶家庭，其中高收入家庭戶，中等收入家庭戶，低收入家庭戶，為了調(diào)查家庭每年生活費(fèi)的開(kāi)支狀況，安排抽取一個(gè)容量為的樣本，則完成這兩項(xiàng)調(diào)查最相宜采納的抽樣方法分別是（）A.①②都采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣B.①②都采納分層隨機(jī)抽樣C.①采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，②采納分層隨機(jī)抽樣D.①采納分層隨機(jī)抽樣，②采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣【答案】C【解析】【分析】依據(jù)簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣和分層抽樣的特點(diǎn)，推斷選項(xiàng).【詳解】①的總體中的個(gè)體數(shù)較少，宜采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，②中1000戶家庭中收入存在較大差異，層次比較明顯，宜采納分層抽樣.故選：C6.袋子里裝有大小質(zhì)地都相同的個(gè)白球，個(gè)黑球，從中不放回地摸球兩次，用表示事務(wù)“第次摸得白球”，表示事務(wù)“第次摸得白球”，則與是（）A.互斥事務(wù) B.相互獨(dú)立事務(wù) C.對(duì)立事務(wù) D.不相互獨(dú)立事務(wù)【答案】D【解析】【分析】依據(jù)相互獨(dú)立乘法公式即可推斷.【詳解】由題意可知,而表示“第一次摸白球，其次次摸白球”，故,故與不相互獨(dú)立，同時(shí)與可以同時(shí)發(fā)生，也不對(duì)立，故選：D7.某省在新高考改革方案中規(guī)定：每位考生必選語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)科，再?gòu)奈锢怼v史科中選科，從化學(xué)、生物、地理、政治科中選科，甲考生隨機(jī)選擇，最終他選擇物理、化學(xué)、地理這個(gè)組合的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別寫出全部選科的組合，再寫出滿意甲考生的組合，依據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算即可.【詳解】在物理、歷史任選一科只有兩種選法；而在化學(xué)、生物、地理、政治中任選二科有六種選法；甲考生隨機(jī)選科的組合共有12種，即物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，歷化生，歷化地，歷化政，歷生地，歷生政，歷地政.滿意要求的組合為：物化地共一種；所以甲考生選擇物理、化學(xué)、地理的概率為.故選：C.8.已知是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，，所對(duì)的邊分別為，，，若，過(guò)作直線分別交、(不與端點(diǎn)重合)于、，若，，若與的面積之比為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)與的面積之比為可得，再以為基底表達(dá)，結(jié)合向量共線的性質(zhì)求解即可【詳解】因?yàn)榕c的面積之比為，易得.故，即，整理得.因?yàn)椋揖还簿€，故，解得

故選：D二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的共軛復(fù)數(shù)為C.的實(shí)部與虛部之和為 D.在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，整理復(fù)數(shù)，再逐一分析選項(xiàng)，即得.【詳解】由題得，復(fù)數(shù)，可得，則A正確；的共軛復(fù)數(shù)為，則B不正確；的實(shí)部與虛部之和為，則C正確；在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，位于第一象限，則D正確.故選：ACD10.下列說(shuō)法正確的有（）A.擲一枚質(zhì)地勻稱的的骰子一次，事務(wù)“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事務(wù)“出現(xiàn)點(diǎn)或點(diǎn)”，則和相互獨(dú)立B.袋中有大小質(zhì)地相同的個(gè)白球和個(gè)紅球.從中依次不放回取出個(gè)球，則“兩球同色”的概率是C.甲，乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊競(jìng)賽，甲的中靶率為，乙的中靶率為，則“至少一人中靶”的概率為D.柜子里有三雙不同的鞋，假如從中隨機(jī)地取出只，那么“取出的鞋不成雙”的概率是【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)的概率公式可驗(yàn)證是否相互獨(dú)立，即可推斷A,依據(jù)排列組合以及古典概型的公式即可推斷B,D，依據(jù)對(duì)立事務(wù)的概率即可推斷C.【詳解】對(duì)于A,擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子一次，則,,而=“出現(xiàn)3點(diǎn)”，所以,則，故事務(wù)和相互獨(dú)立，對(duì)于B,兩球同色，則取出的兩球要么兩個(gè)白球，要么兩個(gè)紅球，故“同色”的概率為,故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,甲乙兩份均未中靶的概率為，“至少一人中靶”的概率為，故C正確，對(duì)于D,“取出的鞋不成雙”的概率為，故正確,故選：ACD11.下列命題正確的是（）A.設(shè)，為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件B.點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，若，則在的投影向量是C.點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且滿意，則的最大值為D.已知平面內(nèi)的一組基底，，則向量，不能作為一組基底【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)A，依據(jù)向量平行的性質(zhì)與數(shù)量積的運(yùn)算推斷即可；對(duì)B，依據(jù)平行四邊形法則，結(jié)合單位向量的方法可得是以為直角的等腰直角三角形，進(jìn)而推斷；對(duì)C，依據(jù)、、三點(diǎn)共線，設(shè)，將替換為后與已知式子對(duì)比，用t表示，依據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可推斷；對(duì)D，依據(jù)基底向量的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形法則推斷即可【詳解】對(duì)A，若存在負(fù)數(shù)，使得，則成立；當(dāng)時(shí)，可能夾角為鈍角，不滿意，故A正確；對(duì)B，由，結(jié)合平行四邊形法則，可得與同向的單位向量和與同向的單位向量，和與同向的單位向量構(gòu)成正方形的兩邊與對(duì)角線.故，且為的角平分線.又是邊的中點(diǎn)，由三角形三線合一可得是以為直角的等腰直角三角形.故在的投影向量是.故B正確；對(duì)C，如圖所示：∵在上，即、、三點(diǎn)共線，則可設(shè)，又∵，∴，∵，則，，令，時(shí)，取得最大值為，故C正確對(duì)D，已知平面內(nèi)的一組基底，，則向量，為以，為邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線，故，肯定不共線，故能作為一組基底，故D錯(cuò)誤；故選：ABC12.在棱長(zhǎng)為的正方體中，已知點(diǎn)在面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是該正方體表面及其內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)，且平面，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.平面B.平面平面C.過(guò)，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面面積為D.動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成區(qū)域的面積是【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A,依據(jù)面面平行即可推斷線面平行，對(duì)B，由線線垂直可證線面垂直，進(jìn)而可得面面垂直,對(duì)C，由正方體的特征可得截面為正六邊形，即可求面積，對(duì)D,由面面平行可得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而可求面積.【詳解】對(duì)于A,在正方體中，由平面，平面，平面，同理可得平面，又，所以平面平面,而平面,故平面，故A對(duì),對(duì)于B,因?yàn)?所以平面,又平面,因此,同理可得,又,故平面,因?yàn)槠矫?，故平面平面，所以B對(duì)，對(duì)于C,可知過(guò)三點(diǎn)平面截正方體所得的截面為正六邊形,且正六邊形的變長(zhǎng)為,所以截面正六邊形的面積為，故C錯(cuò)，對(duì)于D,由A知，平面平面，又平面，故可知平面，因此在三角形邊上以及內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，而三角形是邊長(zhǎng)為的正三角形，故面積為，故D對(duì)，故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題滿分90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的相應(yīng)區(qū)域答題.）13.已知向量，，滿意，，，，，則_________.【答案】6【解析】【分析】由，得，兩邊平方化簡(jiǎn)可得答案詳解】由，得，兩邊平方，得，因?yàn)?，所以，?故答案為：.14.已知復(fù)數(shù)滿意，則復(fù)數(shù)___________.【答案】##【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的乘方與除法運(yùn)算求解即可【詳解】，故故答案為：15.某同學(xué)次上學(xué)途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為，，，，.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則的值為_(kāi)___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法可列出關(guān)于和的方程組，解之即可．【詳解】平均數(shù)為，即①，方差為，即②，由①②解得，或，，所以當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，，故答案為：．16.如圖，已知平行四邊形中，，，將沿對(duì)角線翻折至所在的位置，若二面角的大小為，則過(guò)，，，四點(diǎn)的外接球的表面積為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】過(guò)正與正的中心E，F(xiàn)分別作平面，平面的垂線，兩線交于點(diǎn)O得外接球球心，再求出OA長(zhǎng)即可得解.【詳解】由已知得與均為邊長(zhǎng)是的正三角形，取AC中點(diǎn)G，連，如圖：則有，于是得是二面角的平面角，，明顯有平面，即有平面平面，平面平面，令正與正的中心分別為E，F(xiàn)，過(guò)E，F(xiàn)分別作平面，平面的垂線，則二垂線都在平面內(nèi)，它們交于點(diǎn)O，從而得點(diǎn)O是過(guò)，，，四點(diǎn)的外接球球心，連OA，則OA為該外接球半徑，由已知得，而，于是得，在中，，而，在中，，所以過(guò)，，，四點(diǎn)的外接球的表面積為.故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的相應(yīng)區(qū)域答題.）17.已知復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，，為實(shí)數(shù)．（1）若，，求的值；（2）若，求，的值.【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）依據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算化簡(jiǎn)，再依據(jù)復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算可得；（2）依據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組，解得即可.【小問(wèn)1詳解】解：因，，又，，所以，，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】解：，，又，所以，所以，解得.18.已知向量,.（1）當(dāng)時(shí),求；（2）當(dāng)，，求向量與的夾角.【答案】（1）或（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】向量,，則，.由,可得即，即，解得或,當(dāng),則,則,所以，當(dāng)，，，綜上.【小問(wèn)2詳解】由,,則由,可得,解得,所以,,又,所以.19.如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，，，．（1）證明：平面；（2）若的外接圓半徑為，，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)等邊三角形可得線線垂直，進(jìn)而依據(jù)線線垂直即可證明線面垂直，（2）依據(jù)等體積法即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意的：均為等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以又所以平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈耐饨訄A半徑為，由正弦定理得，所以，進(jìn)而可得,因?yàn)椋?所以平面因?yàn)槠矫嫠缘狡矫娴木嚯x等于到平面的距離，即，20.某校有中學(xué)生人，其中男女生比例約為，為了獲得該校全體中學(xué)生的身高信息，實(shí)行了以下兩種方案：方案一：采納比例安排的分層隨機(jī)抽樣方法，抽取了樣本容量為的樣本，得到頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖．方案二：依據(jù)性別分類進(jìn)行簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，抽取了男、女生樣本容量均為的樣本，計(jì)算得到男生樣本的均值為，方差為，女生樣本的均值為，方差為．身高（單位：）頻數(shù)（1）依據(jù)圖表信息，求，的值并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖，估計(jì)該校中學(xué)生的身高均值；（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值為代表）（2）計(jì)算方案二總樣本的均值及方差；（3）你覺(jué)得是用方案一還是方案二總樣本的均值作為總體均值的估計(jì)比較合適？（說(shuō)明理由）【答案】（1）；；頻率分布直方圖見(jiàn)解析；（2）；（3）答案見(jiàn)解析【解析】【小問(wèn)1詳解】（1）因?yàn)樯砀咴趨^(qū)間，的頻率為，頻數(shù)4，所以，，所以身高在區(qū)間，的頻率為，在區(qū)間，的頻率為，由此可補(bǔ)充完整頻率分布直方圖：由頻率分布直方圖可知，樣本的身高均值為：；【小問(wèn)2詳解】把男生樣本記為，，，，其均值記為，方差記為；把女生樣本記為，，，，其均值記為，方差記為，則總樣本均值，又因?yàn)?，所以，同理可得，所以總樣本方差；【小?wèn)3詳解】用方案一比較合適，因?yàn)榉桨敢皇前幢壤槿颖荆詷颖镜拇硇员容^強(qiáng)，能夠更好地反映總體的狀況.21.如圖所示，正四棱錐中，為底面正方形的中心，已知側(cè)面與底面所成的二面角的大小為，是的中點(diǎn).（1）請(qǐng)?jiān)诶馀c上各找一點(diǎn)和，使平面平面，作出圖形并說(shuō)明理由；（2）求異面直線與所成角的正切值；（3）問(wèn)在棱上是否存在一點(diǎn)，使側(cè)面，若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（3）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依據(jù)三角形中位線可得線線平行，進(jìn)而可得線面平行，由線面平行可證明面面平行，（2）利用線線平行，即可找到異面直線所成的角，進(jìn)而在三角形中進(jìn)行求解即可，（3）依據(jù)線線垂直，可得線面垂直，即可找到的位置.【小問(wèn)1詳解】分別取AB，BC的中點(diǎn)M，N，連接MN，NE，則平面MNE//平面PAC證明：