安徽省2025屆高考數(shù)學復習專題4統(tǒng)計與概率解答題25題專項提分計劃含解析

Page12024屆安徽省高考復習專題4統(tǒng)計與概率解答題25題專項提分安排1．（2024·安徽宣城·安徽省宣城中學?？寄M預料）某省為調(diào)查北部城鎮(zhèn)2024年國民生產(chǎn)總值，抽取了20個城鎮(zhèn)進行分析，得到樣本數(shù)據(jù)，），其中和分別表示第個城鎮(zhèn)的人口（單位：萬人）和該城鎮(zhèn)2024年國民生產(chǎn)總值（單位：億元），計算得．(1)請用相關系數(shù)推斷該組數(shù)據(jù)中與之間線性相關關系的強弱（若，相關性較強；若，相關性一般；若，相關性較弱）；(2)求關于的線性回來方程；(3)若該省北部某城鎮(zhèn)2024年的人口約為5萬人，依據(jù)（2）中的線性回來方程估計該城鎮(zhèn)2024年的國民生產(chǎn)總值．參考公式：相關系數(shù)，對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)，其回來直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，【答案】(1)與之間具有較強的線性相關關系(2)(3)估計該城鎮(zhèn)2024年的國民生產(chǎn)總值40（億元）【分析】（1）依據(jù)題中數(shù)據(jù)和公式可以求得，結(jié)合題意理解分析；（2）依據(jù)題中數(shù)據(jù)和公式運算求解；（3）依據(jù)（2）中所求公式代入求解．（1）題意知相關系數(shù)，因為與的相關系數(shù)滿足，所以與之間具有較強的線性相關關系．（2），，所以（3）由（2）可估計該城鎮(zhèn)2024年的國民生產(chǎn)總值（億元）．2．（2024春·安徽·高三統(tǒng)考開學考試）由中心電視臺綜合頻道（CCTV-1）和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開講啦》是中國首檔青年電視公開課．每期節(jié)目由一位知名人士講解并描述自己的故事，共享他們對于生活和生命的感悟，賜予中國青年現(xiàn)實的探討和心靈的滋養(yǎng)，探討青年們的人生問題，同時也在探討青春中國的社會問題，受到了青年觀眾的寵愛．為了了解觀眾對節(jié)目的寵愛程度，電視臺隨機調(diào)查了A，B兩個地區(qū)的100名觀眾，得到如下所示的2×2列聯(lián)表．特別寵愛寵愛合計A3015Bxy合計已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機抽取1名，該觀眾來自B地區(qū)且寵愛程度為“特別寵愛”的概率為0．35．(1)現(xiàn)從100名觀眾中依據(jù)寵愛程度用分層抽樣的方法抽取20名進行問卷調(diào)查，則應抽取寵愛程度為“特別寵愛”的A，B地區(qū)的人數(shù)各是多少？(2)完成上述表格，并依據(jù)表格推斷是否有95%的把握認為觀眾的寵愛程度與所在地區(qū)有關系．(3)若以抽樣調(diào)查的頻率為概率，從A地區(qū)隨機抽取3人，設抽到寵愛程度為“特別寵愛”的觀眾的人數(shù)為X，求X的分布列和期望．附：，，0．050．0100．0013．8416．63510．828【答案】(1)從A地抽取6人，從B地抽取7人.(2)沒有95%的把握認為觀眾的寵愛程度與所在地區(qū)有關系.(3)分布列見解析，期望為2.【分析】（1）求出x的值，由分層抽樣在各層的抽樣比相同可得結(jié)果.（2）補全列聯(lián)表，再依據(jù)獨立性檢驗求解即可.（3）由題意知，進而依據(jù)二項分布求解即可.【詳解】（1）由題意得，解得，所以應從A地抽取（人），從B地抽取（人）．（2）完成表格如下：特別寵愛寵愛合計A301545B352055合計6535100零假設為：觀眾的寵愛程度與所在地區(qū)無關.，所以沒有95%的把握認為觀眾的寵愛程度與所在地區(qū)有關系．（3）從A地區(qū)隨機抽取1人，抽到的觀眾的寵愛程度為“特別寵愛”的概率為，從A地區(qū)隨機抽取3人，則，X的全部可能取值為0，1，2，3，則，，，．所以X的分布列為X0123P方法1：．方法2：.3．（2024秋·安徽安慶·高三安徽省懷寧縣新安中學校考期末）“學習強國”學習平臺軟件主要設有“閱讀文章”“視聽學習”兩個學習模塊和“每日答題”“每周答題”“專項答題”“挑戰(zhàn)答題”四個答題模塊，還有“四人賽”“雙人對戰(zhàn)”兩個競賽模塊.“四人賽”積分規(guī)則為首局第一名積3分，其次、三名積2分，第四名積1分；其次局第一名積2分，其余名次積1分；每日僅前兩局得分.“雙人對戰(zhàn)”積分規(guī)則為第一局獲勝積2分，失敗積1分，每日僅第一局得分.某人在一天的學習過程中，完成“四人賽”和“雙人對戰(zhàn)”.已知該人參與“四人賽”獲得每種名次的概率均為，參與“雙人對戰(zhàn)”獲勝的概率為，且每次答題相互獨立.(1)求該人在一天的“四人賽”中積4分的概率；(2)設該人在一天的“四人賽”和“雙人對戰(zhàn)”中累計積分為，求的分布列和.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）依據(jù)已知條件，將原事務分為第一局拿3分，其次局拿1分和第一局拿2分，其次局拿2分，分別求出兩個事務的概率，并對兩個概率相加，即可求解．（2）由題意可得取值可能為3，4，5，6，7，分別求出對應的概率，即可得分布列，再結(jié)合期望公式，即可求解．【詳解】（1）解：依題意可知，若該人積分為4分，則在“四人賽”中首局積3分，其次局積1分，或者首局積2分，其次局積2分，所以.（2）解：由題意知，的可能取值為3，4，5，6，7，，，，，.故的分布列為：34567P所以..4．（2024·安徽黃山·統(tǒng)考一模）第22屆卡塔爾世界杯（FIFAWorldCupQatar2024）足球賽,于當?shù)貢r間2024年1月20日（北京時間1月21日）至12月18日在卡塔爾境內(nèi)5座城市中的8座球場實行,共計4場賽事.除東道主卡塔爾外,另有來自五個大洲足球聯(lián)合會的31支球隊擁有該屆世界杯決賽參賽資格,各大洲足聯(lián)各自舉辦預選賽事以確定最終出線的球隊.世界杯群星薈萃,撥動著各國人民的心弦,向人們傳遞著正能量和快樂.(1)某中學2024年實行了“學習世界杯,塑造健康體魄”的主題活動,經(jīng)過一段時間后,學生的身體素養(yǎng)明顯增加,現(xiàn)將該學校近5個月體重超重的人數(shù)進行了統(tǒng)計,得到如下表格:月份x12345體重超重人數(shù)y640540420300200若該學校體重超重人數(shù)y與月份x（月份x依次為1,2,3,4,5…）具有線性相關關系,請預料從第幾月份起先該學校體重超重的人數(shù)降至50人以下？(2)在某次賽前足球訓練上,起先時球恰由限制,此后規(guī)定球僅在A、B和C三名隊員中傳遞,已知當球由A限制時,傳給B的概率為,傳給C的概率為;當球由B限制時,傳給A的概率為,傳給C的概率為;當球由C限制時,傳給A的概率為,傳給B的概率為.①記為經(jīng)過n次傳球后球恰由A隊員限制的概率,求;②若傳球次數(shù),C隊員限制球的次數(shù)為X,求.參考公式:【答案】(1)7(2)①,;②【分析】(1)依據(jù)最小二乘法求出y關于x的線性回來方程,使y小于50,求出x的范圍,即可得出結(jié)果;(2)①分析和時A隊員限制的狀況,利用獨立事務的概率公式計算結(jié)果即可;②由,分析全部控球的狀況可知的可能取值為:0,1,2,分別求出各個的概率,利用期望公式求出結(jié)果即可.【詳解】（1）解:由題知學校體重超重人數(shù)y與月份x（月份x依次為1,2,3,4,5…）具有線性相關關系,故設,依據(jù)表格可得:,所以,因為,故線性回來方程為:,當時,即,解得,故預料從第7月份起先該學校體重超重的人數(shù)降至50人以下;（2）①由題知為經(jīng)過1次傳球后由隊員限制,因為起先時球恰由限制,所以1次傳球后只能傳給,,故,為經(jīng)過2次傳球后由隊員限制,不妨以,,表示控球的隊員,則可能的狀況為:或,當傳球狀況為時,,當傳球狀況為時,,故;②由題分析可知的可能取值為:0,1,2,當時,控球的狀況為:,所以,當時,控球的狀況為:或或或或,四種狀況,所以當時,控球的狀況為:或,,故.5．（2024秋·安徽滁州·高三安徽省定遠縣第三中學?？茧A段練習）某收費APP（手機應用程序）自上架以來，憑借簡潔的界面設計?便利的操作方式和強大的好用功能深得用戶的寵愛.該APP所在的公司統(tǒng)計了用戶一個月月租減免的費用（單位：元）及該月對應的用戶數(shù)量（單位：萬人），得到如下數(shù)據(jù)表格：用戶一個月月租減免的費用（元）34567用戶數(shù)量（萬人）11.11.51.92.2已知與線性相關.(1)求關于的線性回來方程；(2)據(jù)此預料，當月租減免費用為10元時，該月用戶數(shù)量為多少？參考公式：對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)，其回來直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，【答案】(1)(2)萬人【分析】（1）依據(jù)已知數(shù)據(jù)，先求得，然后利用公式計算回來方程中的系數(shù)，得到回來方程；（2）利用回來方程估計.【詳解】（1）解：由有，故關于的線性回來方程為；（2）解：由（1）知回來方程為，當時，，所以預料該月的用戶數(shù)量為萬人.6．（2024秋·安徽·高三校聯(lián)考期末）某課題組開展“皖東地區(qū)中學體育現(xiàn)狀教學調(diào)查與發(fā)展對策探討”，以皖東地區(qū)2市2區(qū)4縣285所中學為探討對象，其中縣城中學22所，縣城初中9所，農(nóng)村中學29所，農(nóng)村初中225所．旨在增加“全民健身”理念、增加中學生身體素養(yǎng)與優(yōu)化中學體育教學管理．課題組從“體育管理、體育師資、體育科研、《體育與健康》課程教學、課外體育、體育場地設施”這六個方面進行賦分，并制作了調(diào)查問卷（滿分共100分），分發(fā)問卷并整理相關數(shù)據(jù)，從問卷中隨機抽取200份，按成果分為五組：，得到如下頻率分布直方圖，且第五組中縣城中學占．(1)估計抽取的200份問卷的數(shù)據(jù)平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；(2)若在第五組中，依據(jù)縣城中學和非縣城中學兩類隨機抽取7份問卷，再從中選取3份問卷作進一步調(diào)研，設這3份問卷中包含縣城中學問卷數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(3)依據(jù)教化部發(fā)布《<體育與鍵康>教學改革指導綱要》精神，指導全國中小學體育老師科學、規(guī)范、高質(zhì)量地上好體育課，更好地幫助學生在體育熬煉中“享受樂趣、增加體質(zhì)、健全人格、錘煉意志”，促進青少年學生身心健康全面發(fā)展具有主動指導作用．依據(jù)相關數(shù)據(jù)，體育教學綜合質(zhì)量指標聽從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)和方差作為，的近似值且取整數(shù)），若某市有65所中學學校，試估計該市中學學校體有教學綜合質(zhì)量指標在內(nèi)的學校數(shù)量．（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：若隨機變量，則，，可能用到的數(shù)據(jù)：．【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)53所【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖估計平均數(shù)；（2）由題意可得抽到的縣城中學問卷有份，非縣城中學問卷共4份，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望；（3）依據(jù)題中數(shù)據(jù)求，再結(jié)合正態(tài)分布運算求解.【詳解】（1）由題意得，估計抽取的200份問卷的數(shù)據(jù)平均值．（2）由于第五組總抽取7份問卷，縣城中學占，所以抽到的縣城中學問卷有份，非縣城中學問卷共4份，再從中抽3份問卷中包含縣城中學問卷數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，3，，故其分布列為：X0123P所以得到隨機變量X的數(shù)學期望．（3）因為，所以，．則，所以估計該市中學學校體育教學綜合質(zhì)量指標在內(nèi)的學校數(shù)量約為53所.7．（2024春·安徽·高三合肥市第六中學校聯(lián)考開學考試）2024年北京冬奧會圓滿落幕，隨后多所學校掀起了“雪上運動”的熱潮．為了解學生對“雪上運動”的寵愛程度，某學校從全校學生中隨機抽取200名學生進行問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：寵愛雪上運動不寵愛雪上運動合計男生8040女生3050合計(1)完成列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為是否寵愛雪上運動與性別有關聯(lián)？(2)①從隨機抽取的這200名學生中采納分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機抽取3人．記事務“至少有2名是男生”，事務“至少有2名寵愛雪上運動的男生”，事務“至多有1名寵愛雪上運動的女生”．試計算和的值，并比較它們的大?。冖僦信c的大小關系能否推廣到更一般的情形？請寫出結(jié)論，并說明理由．參考公式及數(shù)據(jù)，．0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)填表見解析；認為是否寵愛雪上運動與性別有關聯(lián)(2)①，，；②可以，答案見解析【分析】（1）由所給列聯(lián)表，求得，再依據(jù)小概率值的獨立性檢驗即可得解；（2）①要求，首先確定事務ABC表示：“2男生1女生都寵愛雪上運動”和“3男生中至少兩人寵愛雪上運動”事務，利用組合數(shù)進行求解概率即可，再通過條件概率求得的值，進而可得；②依據(jù)條件概率的計算公式即可證明一般情形也成立.【詳解】（1）寵愛雪上運動不寵愛雪上運動合計男生8040120女生305080合計11090200假設：是否寵愛雪上運動與性別無關聯(lián)．依據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立．即認為是否寵愛雪上運動與性別有關聯(lián)．（2）①由已知事務ABC表示：“2男生1女生都寵愛雪上運動”和“3男生中至少兩人寵愛雪上運動”事務因為，，所以．②由（?。┑门c相等的關系可以推廣到更一般的情形，即對于一般的三個事務A，B，C，有．證明過程如下：，得證．8．（2024春·安徽·高三校聯(lián)考開學考試）鹽水選種是古代勞動人民的才智結(jié)晶，其原理是借助鹽水估測種子的密度，進而推斷其優(yōu)良.現(xiàn)對一批某品種種子的密度（單位：）進行測定，認為密度不小于的種子為優(yōu)種，小于的為良種.自然狀況下，優(yōu)種和良種的萌發(fā)率分別為和.(1)若將這批種子的密度測定結(jié)果整理成頻率分布直方圖，如圖所示，據(jù)圖估計這批種子密度的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）(2)在（1）的條件下，用頻率估計概率，從這批種子（總數(shù)遠大于2）中選取2粒在自然狀況下種植，設萌發(fā)的種子數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望（各種子的萌發(fā)相互獨立）；(3)若該品種種子的密度，任取該品種種子20000粒，估計其中優(yōu)種的數(shù)目.附：假設隨機變量，則.【答案】(1)1.24(2)分布列見解析，期望1.44；(3)粒.【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖干脆計算平均值即可；（2）求出一粒種子發(fā)芽的概率，問題轉(zhuǎn)化為二項分布求解分布列與期望；（3）依據(jù)正態(tài)分布的對稱性，利用參考數(shù)據(jù)干脆求指定區(qū)間的概率即可得解.【詳解】（1）種子密度的平均值為：（）（2）由頻率分布直方圖知優(yōu)種占比為，任選一粒種子萌發(fā)的概率，因為為這批種子總數(shù)遠大于2，所以，，，，所以布列為：0期望.（3）因為該品種種子的密度，所以，，即，所以20000粒種子中約有優(yōu)種（粒）即估計其中優(yōu)種的數(shù)目為粒.9．（2024·安徽淮南·統(tǒng)考一模）年月日時分，搭載空間站夢天試驗艙成功放射，并進入預定軌道，夢天艙的重要結(jié)構(gòu)件導軌支架采納了打印的薄壁蒙皮點陣結(jié)構(gòu).打印是快速成型技術的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術.隨著技術不斷成熟，打印在精密儀器制作應用越來越多.某企業(yè)向一家科技公司租用一臺打印設備，用于打印一批對內(nèi)徑有較高精度要求的零件.已知這臺打印設備打印出品的零件內(nèi)徑（單位：）聽從正態(tài)分布.(1)若該臺打印了件這種零件，記表示這件零件中內(nèi)徑指標值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，求；(2)該科技公司到企業(yè)安裝調(diào)試這臺打印設備后，試打了個零件.度量其內(nèi)徑分別為（單位：）：、、、、，試問此打印設備是否須要進一步調(diào)試，為什么？參考數(shù)據(jù)：，，，【答案】(1)(2)須要進一步調(diào)試，理由見解析【分析】（1）計算出一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于區(qū)間的概率，分析可知，利用二項分布的期望公式可求得的值；（2）計算得出，，且，依據(jù)原則可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：由題意知，，，則，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于區(qū)間的概率即為因為，，所以，所以，所以.（2）解：聽從正態(tài)分布，由于，則，，所以內(nèi)徑在之外的概率為，為小概率事務而，且，依據(jù)原則，機器異樣，須要進一步調(diào)試.10．（2024·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）為了了解養(yǎng)殖場的甲、乙兩個品種成年水牛的養(yǎng)殖狀況，現(xiàn)分別隨機調(diào)查5頭水牛的體高（單位：cm）如下表，請進行數(shù)據(jù)分析.甲品種137128130133122乙品種111110109106114(1)已知甲品種中體高大于等于130cm的成年水牛以及乙品種中體高大于等于111cm的成年水牛視為“培育優(yōu)良”，現(xiàn)從甲品種的5頭水牛與乙品種的5頭水牛中各隨機抽取2頭.設隨機變量為抽得水牛中“培育優(yōu)良”的總數(shù)，求隨機變量的分布列與期望.(2)當須要比較兩組數(shù)據(jù)離散程度大小的時候，假如兩組數(shù)據(jù)的測量尺度相差大，或者數(shù)據(jù)的量綱不同，干脆運用標準差來進行比較是不合適的，此時就應當消退測量尺度和量綱的影響.而變異系數(shù)（C．V）可以做到這一點，它是原始數(shù)據(jù)標準差與原始數(shù)據(jù)平均數(shù)的比，即變異系數(shù)的計算公式為：變異系數(shù).變異系數(shù)沒有量綱，這樣就可以進行客觀比較了.從表格中的數(shù)據(jù)明顯可以看出甲品種的體高水平高于乙品種，試比較甲、乙兩個品種的成年水牛的變異系數(shù)的大小.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)分布列見解析，(2)甲品種的成年水牛的變異系數(shù)大【分析】（1）依據(jù)古典概型概率公式，結(jié)合組合數(shù)公式，依據(jù)的取值，分別求概率，即可求分布列和數(shù)學期望；（2）依據(jù)數(shù)據(jù)，分別求兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，標準差，即可求兩個品種的變異系數(shù)，比較大小.【詳解】（1）隨機變量的可能取值為，，，，，.隨機變量的分布列為：01234隨機變量的期望.（2），，.，，.依據(jù)公式，甲品種的變異系數(shù)為，乙的變異系數(shù)為，所以甲品種的成年水牛的變異系數(shù)大.11．（2024秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學?？计谀槁鋵崌胰窠∩戆才牛岣呔用裆眢w素養(yǎng)和健康水平，某電視臺每周制作一期“每天健身”節(jié)目，時長60分鐘，每天固定時間播放．為調(diào)查該節(jié)目收視狀況，從收看觀眾中隨機抽取150名．將其觀看日平均時間（單位：分）為樣本進行統(tǒng)計．作出頻率分布直方圖如圖．(1)請估計該節(jié)目收看觀眾的平均時間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)在選取的150位觀眾中男女人數(shù)相同規(guī)定觀看均時間不低于30分鐘為滿足，低于30分鐘為不滿足．據(jù)統(tǒng)計有48位男觀眾滿足，請列出2×2列聯(lián)表，并推斷是否有90%的把握認為“滿足度與性別有關”？附：，其中n＝a＋b＋c＋d．0.100.050.0102.7063.8416.635【答案】(1)分鐘；(2)填表見解析；沒有90%的把握認為“滿足度與性別有關”.【分析】（1）

由頻率分布直方圖可知樣本數(shù)據(jù)的相關頻率，即可求得該節(jié)目收看觀眾的平均時間；（2）由已知可得2×2列聯(lián)表，結(jié)合獨立性檢驗計算即可推斷.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知：樣本數(shù)據(jù)在[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的頻率分別為：0.1，0.12，0.16，0.28，0.20，0.14，故調(diào)查表平均值為：，所以該節(jié)目收看觀眾的平均時間為分鐘.（2）由（1）可知觀看平均時間不低于30分鐘的頻率為：，所以觀看平均時間不低于30分鐘的樣本數(shù)為：.由已知可得列聯(lián)表如下：不滿足滿足總計男274875女304575總計5793150．，所以沒有90%的把握認為“滿足度與性別有關”．12．（2024·安徽·校聯(lián)考模擬預料）舉辦親子活動，不僅能促進家庭與幼兒園之間的合作，還能增進親子之間的感情，對促進幼兒園教化也具有重要作用．某幼兒園為了提高家長對該幼兒園舉辦親子活動的滿足度，隨機調(diào)查了80名家長，每名家長對該幼兒園舉辦的親子活動給出滿足和不滿足的評價，得到的數(shù)據(jù)如下表：滿足不滿足合計男家長40女家長26合計4280(1)補充完整上面的列聯(lián)表，并分別估計男、女家長對該幼兒園舉辦的親子活動滿足的概率；(2)能否有99.5%的把握認為男、女家長對該幼兒園舉辦的親子活動的評價有差異？參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879【答案】(1)列聯(lián)表見解析；；(2)有99.5%的把握認為男、女家長對該幼兒園舉辦的親子活動的評價有差異.【分析】（1）依據(jù)題意完善22列聯(lián)表即可，依據(jù)古典概率分別求解概率即可.（2）由公式先求出，比照參考數(shù)據(jù)作出推斷即可.【詳解】（1）22列聯(lián)表如下：滿足不滿足合計男家長281240女家長142640合計423880男家長對該幼兒園舉辦的親子活動滿足的概率：女家長對該幼兒園舉辦的親子活動滿足的概率：（2）由所以有99.5%的把握認為男、女家長對該幼兒園舉辦的親子活動的評價有差異.13．（2024春·安徽·高三校聯(lián)考開學考試）某大型國有企業(yè)安排在某雙一流高校進行聘請面試，面試共分兩輪，且第一輪通過后才能進入其次輪面試，兩輪均通過方可錄用．甲、乙、丙、丁4名同學參與面試，已知這4人面試第一輪通過的概率分別為，，，，面試其次輪通過的概率分別為，，，，且4人的面試結(jié)果相互獨立．(1)求甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被錄用的概率；(2)記甲、乙、丙、丁4人中最終被錄用的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）依據(jù)題意分別計算出甲、乙、丙、丁4名同學參與面試通過的概率，利用對立事務的概率公式可知“至少有1人被錄用的概率”與“沒有人被錄用的概率”之和為1，即可計算出結(jié)果；（2）寫出X的全部可能取值，再依據(jù)積事務與和事務的概率公式分別求的其概率即可列出分布列，進而求得期望值.【詳解】（1）由題意得，甲被錄用的概率為，乙被錄用的概率為，丙被錄用的概率為，丁被錄用的概率為；事務“至少有1人被錄用”與事務“沒有人被錄用”互為對立事務，沒有人被錄用的概率為設甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被錄用為事務M，則，即甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被錄用的概率為（2）由題意得，X的全部可能取值為0，1，2，3，4，∴，，，，，∴X的分布列為X01234P∴期望值．14．（2024·安徽·模擬預料）一醫(yī)療團隊為探討某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為比照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060比照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事務“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事務“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見解析(2)（i）證明見解析；(ii)；【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異；(2)(i)依據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)依據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求.【詳解】（1）由已知，又，，所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.（2）(i)因為，所以所以，(ii)由已知，，又，，所以15．（2024春·安徽·高三合肥市第八中學校聯(lián)考開學考試）2024年席卷全球的新冠肺炎給世界人民帶來了巨大的災難，面對新冠肺炎，早發(fā)覺、早診斷、早隔離、早治療是有效防控疾病擴散的重要舉措之一.某社區(qū)對位居民是否患有新冠肺炎疾病進行篩查，先到社區(qū)醫(yī)務室進行口拭子核酸檢測，檢測結(jié)果成陽性者，再到醫(yī)院做進一步檢查，已知隨機一人其口拭子核酸檢測結(jié)果成陽性的概率為%，且每個人的口拭子核酸是否呈陽性相互獨立.（1）假設該疾病患病的概率是%，且患病者口拭子核酸呈陽性的概率為%，設這位居民中有一位的口拭子核酸檢測呈陽性，求該居民可以確診為新冠肺炎患者的概率；（2）依據(jù)閱歷，口拭子核酸檢測采納分組檢測法可有效削減工作量，詳細操作如下：將位居民分成若干組，先取每組居民的口拭子核酸混在一起進行檢測，若結(jié)果顯示陰性，則可斷定本組居民沒有患病，不必再檢測；若結(jié)果顯示陽性，則說明本組中至少有一位居民患病，需再逐個進行檢測，現(xiàn)有兩個分組方案：方案一：將位居民分成組，每組人；方案二：將位居民分成組，每組人；試分析哪一個方案的工作量更少？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）設事務為“核酸檢測呈陽性”，事務為“患疾病”，利用條件概率公式求解即可；（2）設方案一和方案二中每組的檢測次數(shù)為，，分別求出兩種方案檢測次數(shù)的分布列，進而得出期望，通過比較期望的大小即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設事務為“核酸檢測呈陽性”，事務為“患疾病”由題意可得，由條件概率公式得：即故該居民可以確診為新冠肺炎患者的概率為（2）設方案一中每組的檢測次數(shù)為，則的取值為所以的分布列為所以即方案一檢測的總次數(shù)的期望為設方案二中每組的檢測次數(shù)為，則的取值為；所以的分布列為所以即方案二檢測的總次數(shù)的期望為由，則方案二的工作量更少【點睛】本題主要考查了條件概率公式的應用以及均值的實際應用，屬于中檔題.16．（2024秋·安徽蕪湖·高三統(tǒng)考期末）某醫(yī)院用，兩種療法治療某種疾病，采納有放回簡潔隨機抽樣的方法對治療狀況進行檢查，得到了如下數(shù)據(jù)：未治愈治愈合計療法155267療法66369合計21115136(1)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析種療法的效果是否比種療法效果好；(2)為提高臨床醫(yī)療平安性，提高疾病的治愈率及好轉(zhuǎn)率，同時降低醫(yī)療費用，降低患者醫(yī)療負擔．該醫(yī)院對于，兩種療法進行聯(lián)合改進，探討了甲、乙兩種聯(lián)合治療方案，現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，平均分成，兩組，組用甲方案，組用乙方案．一個療程后，組中每人康復的概率都為，組3人康復的概率分別為，，．若一個療程后，每康復1人積2分，假設認定：積分期望值越高療法越好，請問甲、乙哪種聯(lián)合治療方案更好？參考公式及數(shù)據(jù)：0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828，，【答案】(1)認為兩種療法效果沒有差異；(2)甲種聯(lián)合治療方案更好.【分析】（1）零假設為：療法與療效獨立，即兩種療法效果沒有差異，求出，對比臨界值表即可；（2）設組中服用甲種中藥康復的人數(shù)為，積分為，則,設組中服用乙種中藥康復的人數(shù)為，積分為，分別求出與的均值，再依據(jù)均值的性質(zhì)求與的均值，比較即可.【詳解】（1）零假設為：療法與療效獨立，即兩種療法效果沒有差異，依據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)過計算得到，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，即認為兩種療法效果沒有差異.（2）設組中服用甲種中藥康復的人數(shù)為，則，所以，設組的積分為，則，所以，設組中服用乙種中藥康復的人數(shù)為，則的可能取值為：0，1，2，3，，，，，故的分布列為：0123所以，設組的積分為，則，所以.因為，所以甲種聯(lián)合治療方案更好.17．（2024秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）近年來中國咖啡文化盛行，咖啡作為一種船來品，在國內(nèi)成了一種時尚，越來越多的企業(yè)起先扎堆咖啡賽道，今年以來先有中國郵政首家郵政咖啡在廈門落地，再有李寧跨界推出“寧咖啡”.(1)A傳媒公司擬從家老咖啡企業(yè)和家今年新注冊的咖啡企業(yè)中隨機選家進行訪談，記選到的今年新注冊的咖啡企業(yè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望(2)為了解一、二線城市青年群體與三、四線城市青年群體消費咖啡狀況，A傳媒公司通過本公司媒體進行調(diào)查，在參與調(diào)查的一、二線城市青年群體與三、四線城市青年群體中各取人，得到如下列聯(lián)表的部分數(shù)據(jù).一、二線城市青年三、四線城市青年合計是咖啡消費者不是咖啡消費者合計將列聯(lián)表補充完整，并推斷是否有的把握認為一、二線城市青年與三、四線城市青年消費咖啡的意愿有差別附：，.【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學期望為(2)列聯(lián)表見解析，有的把握認為一、二線城市青年與三、四線城市青年消費咖啡的意愿有差別【分析】（1）由題意可得的取值依次為，得出對應概率，可得的分布列與數(shù)學期望；（2）先得出列聯(lián)表，再得出，比照臨界值表可得結(jié)論.【詳解】（1）解：由題意可得的取值依次為，，，，，所以的分布列為.（2）解：列聯(lián)表為一、二線城市青年三、四線城市青年合計是咖啡消費者不是咖啡消費者合計，所以有的把握認為一、二線城市青年與三、四線城市青年消費咖啡的意愿有差別.18．（2024秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）某校為了慶祝二十大的成功召開，確定舉辦“學黨史·銘初心”黨史學問競賽.高三年級為此舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參與決賽，決賽通過后將代表年級參與學校競賽.已知甲?乙?丙3位同學通過初賽的概率均為，通過初賽后再通過決賽的概率依次為，假設他們之間通過與否互不影響.(1)求這3人中至少有1人通過初賽的概率；(2)從甲?乙?丙3位同學中隨機抽取一名，求他通過決賽的概率；(3)設這3人中通過決賽的人數(shù)為，求的分布列及期望.【答案】(1)(2)(3)分布列見解析，【分析】（1）依據(jù)對立事務概率的求法求得正確答案.（2）依據(jù)全概率公式求得正確答案.（3）結(jié)合相互獨立事務概率計算公式，求得分布列并求得數(shù)學期望.【詳解】（1）3人都沒通過初賽的概率為，所以這三人中至少有1人通過初賽的概率.（2）設隨機抽中甲?乙?丙的事務分別記為，甲?乙?丙通過決賽的事務分別記為，隨機抽取一名學生，他通過決賽的事務記為，則，，由全概率公式，得（3）依題意可能取值為.所以的分布列為：0123.19．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考一模）文旅部門統(tǒng)計了某網(wǎng)紅景點在2024年3月至7月的旅游收入（單位：萬），得到以下數(shù)據(jù)：月份34567旅游收入1012111220(1)依據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，用相關系數(shù)加以推斷，是否可用線性回來模型擬合與的關系？若可以，求出關于之間的線性回來方程；若不行以，請說明理由；(2)為調(diào)查游客對該景點的評價狀況，隨機抽查了200名游客，得到如下列聯(lián)表，請?zhí)顚懴旅娴牧新?lián)表，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為“游客是否寵愛該網(wǎng)紅景點與性別有關聯(lián)”.寵愛不寵愛總計男100女60總計110參考公式：相關系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：.線性回來方程：，其中，.臨界值表：【答案】(1)可用線性回來模型擬合與的關系，；(2)列聯(lián)表見解析，游客是否寵愛該網(wǎng)紅景點與性別有關聯(lián).【分析】（1）依據(jù)相關系數(shù)公式求出相關系數(shù)，再應用最小二乘法求回來直線即可；（2）由已知寫出列聯(lián)表，依據(jù)卡方公式求卡方值，結(jié)合獨立檢驗的基本思想得到結(jié)論.【詳解】（1）由已知得：，，因為，說明與的線性相關關系很強.，可用線性回來模型擬合與的關系，，則關于的線性回來方程為：.（2）列聯(lián)表如下所示：寵愛不寵愛總計男7030100女4060100總計11090200零假設：游客是否寵愛該網(wǎng)紅景點與性別無關聯(lián)，依據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即游客是否寵愛該網(wǎng)紅景點與性別有關聯(lián).20．（2024·安徽·蕪湖一中校聯(lián)考模擬預料）華容道是古老的中國民間益智嬉戲，以其改變多端、百玩不厭的特點與魔方、獨立鉆石一起被國外智力專家并稱為“智力嬉戲界的三個不行思議”．據(jù)《資治通鑒》注釋中說“從今道可至華容也”．通過移動各個棋子，幫助曹操從初始位置移到棋盤最下方中部，從出口逃走．不允許跨越棋子，還要設法用最少的步數(shù)把曹操移到出口．2024年12月23日，在廈門蓮坂外圖書城四樓佳希魔方，廈門市新翔小學六年級學生胡宇帆現(xiàn)場挑戰(zhàn)“最快時間解數(shù)字華容道”世界紀錄，并以4.877秒打破了“最快時間解數(shù)字華容道”世界紀錄，成為了該項目新的世界紀錄保持者．(1)小明一周訓練成果如表所示，現(xiàn)用作為閱歷回來方程類型，求出該回來方程．第x（天）1234567用時y（秒）105844939352315(2)小明和小華競賽破解華容道，首局競賽小明獲得成功的概率是0.6，在后面的競賽中，若小明前一局成功，則他贏下后一局的概率是0.7，若小明前一局失利，則他贏下后一局競賽的概率為0.5，競賽實行“五局三勝”，求小明最終贏下競賽的概率是多少．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回來直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1)(2)0.6855【分析】（1）先求出，套公式求出和，得到回來方程；（2）記小明獲勝時競賽的局數(shù)為X，則X的可能取值為3、4、5．分別求出其對應的概率，利用概率的加法公式即可求解.【詳解】（1）由題意，依據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得，可得所以，因此y關于x的回來方程為：．（2）記小明獲勝時競賽的局數(shù)為X，則X的可能取值為3、4、5．，．．21．（2024秋·安徽·高三校聯(lián)考開學考試）產(chǎn)品的質(zhì)量是一個企業(yè)在市場中獲得消費者信任的重要因素，某企業(yè)對出廠的每批次產(chǎn)品都進行性能測試.某檢驗員在某批次的產(chǎn)品中抽取5個產(chǎn)品進行性能測試，現(xiàn)有甲?乙兩種不同的測試方案，每個產(chǎn)品隨機選擇其中的一種進行測試，已知選擇甲方案測試合格的概率為，選擇乙方案測試合格的概率為，且每次測試的結(jié)果互不影響.(1)若3個產(chǎn)品選擇甲方案，2個產(chǎn)品選擇乙方案.（i）求5個產(chǎn)品全部測試合格的概率；（ii）求4個產(chǎn)品測試合格的概率.(2)若測試合格的產(chǎn)品個數(shù)的期望不小于3，求選擇甲方案進行測試的產(chǎn)品個數(shù).【答案】(1)（i）；（ii）(2)選擇甲方案測試的產(chǎn)品個數(shù)為時，測試合格的產(chǎn)品個數(shù)的期望不小于3.【分析】（1）（i）利用乘法公式即可求解（ii）4個樣品測試合格分兩種狀況,第一種狀況,3個樣品甲方案測試合格和1個樣品乙方案測試合格,其次種狀況,2個樣品甲方案測試合格和2個樣品乙方案測試合格,利用互斥的加法公式即可求解（2）設通過甲方案測試合格的樣品個數(shù)為,通過乙方案測試合格的樣品個數(shù)為,則，分類探討即可求解（1）（i）因為3個產(chǎn)品選擇甲方案，2個產(chǎn)品選擇乙方案，所以5個產(chǎn)品全部測試合格的概率為；（ii）4個產(chǎn)品測試合格分兩種狀況，第一種狀況，3個產(chǎn)品甲方案測試合格和1個產(chǎn)品乙方案測試合格，此時概率為；其次種狀況，2個產(chǎn)品甲方案測試合格和2個產(chǎn)品乙方案測試合格，此時概率為；所以4個產(chǎn)品測試合格的概率為；（2）設選擇甲方案測試的產(chǎn)品個數(shù)為，則選擇乙方案測試的產(chǎn)品個數(shù)為，并設通過甲方案測試合格的產(chǎn)品個數(shù)為，通過乙方案測試合格的產(chǎn)品個數(shù)為，當時，此時全部產(chǎn)品均選擇方案乙測試，則，所以，符合題意；當時，此時全部產(chǎn)品均選擇方案甲測試，則，所以，不符合題意；當時，，所以，若使，，解得，則，綜上，選擇甲方案測試的產(chǎn)品個數(shù)為時，測試合格的產(chǎn)品個數(shù)的期望不小于3.22．（2024秋·安徽·高三校聯(lián)考開學考試）為了促進落實“科技助農(nóng)”服務，某地農(nóng)業(yè)農(nóng)村局組織基層工作人員參與農(nóng)業(yè)科技學問競賽，先進行選拔賽.選拔賽中選手須要從題庫中隨機抽一題答一題，每位選手最多有5次答題機會，選手累計答對或答錯3題即終止競賽，答對3題者進入正賽，答錯3題者則被淘汰.設選手甲答對每個題的概率均為，且答每個題互不影響.(1)求選手甲進入正賽的概率;(2)設選手甲在選拔賽中答題的個數(shù)為隨機變量，求的分布列及數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）分甲答題總數(shù)為3，4，5時，分別求出對應的概率，再相加即可;（2）當甲答題總數(shù)為3時，含三道全對或全錯；當答題總數(shù)為4時，含前3道中有兩道正確一道錯誤和兩道錯誤一道正確；當答題總數(shù)為5時，含前4道中有2道正確，2道錯誤.求出對應的概率，列出分布列即可求期望.（1）解：設“選手甲進人正賽”為事務，選手甲答對每個題的概率均為，答錯每個題的概率均為.當甲連續(xù)答對3道題時，進入正賽的概率為;當甲前3個題2對1錯，第4題對時，進入正賽的概率為;當甲前4個題2對2錯，第5題對時，進入正賽的概率為.故.（2）解：由題可知的全部可能取值為3，4，5.則，，，的分布列為345則.23．（2024秋·安徽·高三校聯(lián)考開學考試）國慶節(jié)期間，某大型服裝團購會舉辦了一次“你消費我促銷”活動，顧客消費滿300元（含300元）可抽獎一次，抽獎方案有兩種（顧客只能選擇其中的一種）.方案一:從裝有5個形態(tài)、大小完全相同的小球（其中紅球1個，黑球4個）的抽獎盒中，有放回地摸出3個球，每摸出1次紅球，立減100元.方案二:從裝有10個形態(tài)，大小完全相同的小球（其中紅球2個，白球1個，黑球7個）的抽獎盒中，不放回地摸出3個球，中多規(guī)則為:若摸出2個紅球，1個白球，享受免單實惠;若摸出2個紅球和1個黑球則打5折;若摸出1個紅球，1個白球和1個黑球，則打7.5折;其余狀況不打折.(1)某顧客恰好消費300元，選擇抽獎方案一，求他實付金額的分布列和期望;(2)若顧客消費500元，試從實付金額的期望值分析顧客選擇何種抽獎方案更合理?【答案】(1)分