江蘇省南京市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page12江蘇省南京市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題一、單選題1.已知集合，集合，則等于（）A. B. C. D.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿意，則等于（）A. B. C. D.3.“”是“，”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書中有這樣一道題：把100個面包分給5個人，使每人所得面包個數(shù)成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和.則最小的一份為（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）A.－18 B.－12 C.－8 D.－66.已知，且，則等于（）A. B. C. D.7.已知向量，向量，，則等于（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，則實數(shù)的值為（）A.4 B.2 C.－2 D.－4二、多選題9.已知實數(shù)，滿意，則下列關(guān)系式恒成立的有（）A. B. C. D.10.已知函數(shù)滿意對隨意的，恒成立，則實數(shù)的取值可以是（）A. B. C. D.11.任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3加1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟，必進(jìn)入循環(huán)圈.這就是數(shù)學(xué)史上聞名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.假如對于正整數(shù)，經(jīng)過步變換，第一次到達(dá)1，就稱為步“雹程”.如取，由上述運(yùn)算法則得出：，共需經(jīng)過7個步驟變成1，得.則下列命題正確的有（）A.若，則只能是4；B.當(dāng)時，；C.隨著的增大，也增大；D.若，則的取值集合.12.已知函數(shù)，下列敘述正確的有（）A.函數(shù)的周期為B.函數(shù)是偶函數(shù)C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.，三、填空題13.已知等比數(shù)列的前項和為，且，則_________.14.已知函數(shù)滿意，則_________.15.已知是腰長為1的等腰直角三角形，角為直角，點(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，則的最小值為_________.16.函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為_________；當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_________.四、解答題17.在①、②兩個條件中任取一個填入下面的橫線上，并完成解答.①在上有且僅有4個零點(diǎn)；②在上有且僅有2個極大值點(diǎn)和2個微小值點(diǎn).設(shè)函數(shù)，且滿意_________.（1）求的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖像，求在上的單調(diào)遞減區(qū)間.18.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)覺可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).（1）請寫出一個圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的函數(shù)解析式；（2）利用題目中的推廣結(jié)論，求函數(shù)圖象的對稱中心.19.在銳角三角形中，已知.（1）求角的值；（2）若，求的取值范圍.20.在中，已知，，，為的中點(diǎn)，為邊上的一個動點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè).（1）若，求的值；（2）求的最小值.21.已知正項數(shù)列的前項積為，且滿意.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求的最小值.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的值.答案和解析1.【答案】A

【解析】解：∵集合，集合，∴.故選A.2.【答案】B

【解析】解：設(shè)，，∵，∴，∴，解得，，∴.故選B.3.【答案】A

【解析】解：若對，，則，解得，因為，所以“”是“，”充分不必要條件，故選：A.4.【答案】A

【解析】解：設(shè)每個人由少到多的依次得到面包分別為，，，，，因為每個人所得的面包成等差數(shù)列，設(shè)公差為，則有，①，又最大的三份之和的是較小的兩份之和，，即，②，聯(lián)立①②，解得.故選A.5.【答案】D

【解析】解：因為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，，當(dāng)時，，所以，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以.故選：D.6.【答案】C

【解析】解：因為，可得，可得，解得或－1，又，所以，可得，所以.故選C.7.【答案】B

【解析】解：，所以，解得，所以，所以，又，所以.故選B.8.【答案】C

【解析】解：設(shè)，，所以，即，所以關(guān)于直線對稱，又當(dāng)時，，而是的一條對稱軸，所以是的一條對稱軸，故的對稱軸為，若有且只有一個零點(diǎn)，則，所以有，即，所以，故選：C.9.【答案】AC

【解析】解：∵實數(shù)，滿意，∴，對于選項A：函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故A恒成立，對于選項B：取，，則，故B不是恒成立，對于選項C：∵，∴恒成立，∴恒成立，故C恒成立，對于選項D：取，，則，故D不是恒成立，故選：AC.10.【答案】ABC

【解析】解：函數(shù)滿意對隨意的，恒成立，當(dāng)時，恒成立，即恒成立，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以；當(dāng)時，，有恒成立，故；當(dāng)時，恒成立，即恒成立，令，，則，令，解得，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，所以.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故選：ABC.11.【答案】ABD

【解析】：對于A，若，可逆向思索：，所以只能是4，A正確；對于B，因為，所以，B正確；對于C，因為當(dāng)時，，而當(dāng)時，，所以不是隨著的增大，也增大，C錯誤；對于D，若，由已知，可以有，此外同A中思索方法，還有：，這時；，這時；，這時.從上述法則可知：最終四步相同，第2步的數(shù)有兩種狀況，若為5，則

，若為32，則第1步均為64，則只能是21或128.故當(dāng)時，的取值集合為，D正確.故選：ABD.12.【答案】BC

【解析】解：易知，，所以，即A錯誤；因為函數(shù)定義域為，且，即B正確;當(dāng)時，，則，所以在該區(qū)間上單調(diào)遞減，即C正確;由A所舉例可知，D錯誤.故選BC.13.【答案】2

【解析】解：等比數(shù)列中，，則，兩式相減得，即該等比數(shù)列公比，又等比數(shù)列中，，所以.故答案為：2.14.【答案】

【解析】解：∵，∴，∴，解得.故答案為.15.【答案】【解析】解：以為原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.16.【答案】2【解析】解：函數(shù)，令，因為，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的零點(diǎn)個數(shù)為2；當(dāng)時，恒成立，則，即，解得，又函數(shù)的對稱軸為，所以，即，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故答案為2；.17.【答案】解：選①，因為，當(dāng)時，，令，所以，，因為函數(shù)在上有且僅有4個零點(diǎn)，所以在有且僅有4個零點(diǎn)，所以，所以，即，因為，所以；選②，當(dāng)時，，令，所以，，若在上有且僅有2個極大值點(diǎn)和2個微小值點(diǎn)，則，在上有且僅有2個極大值點(diǎn)和2個微小值點(diǎn)，所以，所以，即，因為，所以；（2）由（1）知，，所以，令，，所以，，因為，所以時，，時，，所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為，.18.【答案】解：（1），因為是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.（答案不唯一）（2）依據(jù)題意，設(shè)，則，又由為奇函數(shù)，則，即，解得，即函數(shù)圖象的對稱中心坐標(biāo)為.19.【答案】解：（1）在銳角三角形中，已知，整理得：，化簡得：，，由于，所以；（2）由于，所以，所以，，故，在銳角三角形中，，所以，故；即的取值范圍為：.

20.【答案】解：（1）當(dāng)時，，因為是中點(diǎn)，所以，設(shè)，，所以，所以，即，因為，，共線，所以，解得，即；（2）由題知，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，設(shè)，則，所以，因為，，共線，所以，解得，所以，，所以，因為，，，所以，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上述等號成立，所以，綜上可得的最小值為－4.21.【答案】解：（1）證明：當(dāng)時，，所以，即，所以，即，而，所以，所以，因此數(shù)列為等比數(shù)列且首項為，公比為；（2）由（1）可知，，所以，所以，而，，記的前項和為，因此，所以，，所以，的最小值為11.22.【答案】解：（1