2025版新教材高中數(shù)學(xué)第七章統(tǒng)計案例3獨立性檢驗問題3.1獨立性檢驗3.2獨立性檢驗的基本思想3.3獨立性檢驗的應(yīng)用課時作業(yè)北師大版選擇性必修第一冊

3．1獨立性檢驗3．2獨立性檢驗的基本思想3．3獨立性檢驗的應(yīng)用必備學(xué)問基礎(chǔ)練學(xué)問點一2×2列聯(lián)表1.如下是一個2×2列聯(lián)表，則表中m，n的值分別為()yxy1y2總計x1a3545x27bn總計m73sA．10，38B．17，45C．10，45D．17，382．某村莊對該村內(nèi)50名老年人、年輕人每年是否體檢的狀況進行了調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：每年是否體檢人群每年體檢每年未體檢合計老年人a7c年輕人6bd合計ef50已知抽取的老年人、年輕人各25名，則完成上面的列聯(lián)表數(shù)據(jù)錯誤的是()A．a(chǎn)＝18B．b＝19C．c＋d＝50D．e－f＝2學(xué)問點二獨立性檢驗思想3.對于變量X與Y的統(tǒng)計量χ2，下列說法正確的是()A．χ2越大，“X與Y有關(guān)聯(lián)”的可信程度越小B．χ2越小，“X與Y有關(guān)聯(lián)”的可信程度越小C．χ2越接近于0，“X與Y沒有關(guān)聯(lián)”的可信程度越小D．χ2越大，“X與Y沒有關(guān)聯(lián)”的可信程度越大4．在探討打鼾與患心臟病之間的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得到了“打鼾與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論，并且有99%以上的把握認(rèn)為這個結(jié)論是成立的，下列說法中正確的是()A.100個心臟病患者中至少有99人打鼾B．1個人患心臟病，那么這個人有99%的概率打鼾C．在100個心臟病患者中肯定有打鼾的人D．在100個心臟病患者中可能一個打鼾的人都沒有學(xué)問點三獨立性檢驗的應(yīng)用5.某機構(gòu)為探討學(xué)生玩電腦嬉戲和對待作業(yè)量看法的關(guān)系，隨機抽取了100名學(xué)生進行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示：認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多合計喜愛玩電腦嬉戲251540不喜愛玩電腦嬉戲253560合計5050100(參考公式：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）))參照以上公式，得到的正確結(jié)論是()A．有95%的把握認(rèn)為喜愛玩電腦嬉戲與對待作業(yè)量的看法有關(guān)B．有95%的把握認(rèn)為喜愛玩電腦嬉戲與對待作業(yè)量的看法無關(guān)C．有99%的把握認(rèn)為喜愛玩電腦嬉戲與對待作業(yè)量的看法有關(guān)D．有99%的把握認(rèn)為喜愛玩電腦嬉戲與對待作業(yè)量的看法無關(guān)6．有兩個分類變量x與y，其一組觀測值如下表所示：y1y2x1a20－ax215－a30＋a其中a，15－a均為大于5的整數(shù)，則當(dāng)a＝________時，有90%的把握認(rèn)為x與y之間有關(guān)系．7．為了探討患色盲是否與性別有關(guān)，隨機調(diào)查了男性480人，其中有38人患色盲，女性520人，其中有6人患色盲．(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表；(2)推斷患色盲是否與性別有關(guān)．關(guān)鍵實力綜合練一、選擇題1．如表是一個2×2列聯(lián)表，則表中a，b的值分別為()y1y2合計x1a2173x2222547合計b46120A.94，72B．52，50C．52，74D．74，522．假設(shè)有兩個分類變量X和Y，其2×2列聯(lián)表如下：YXy1y2合計x1a10a＋10x2c30c＋30合計b46120注：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝n(eq\f(a,a＋c)－eq\f(b,b＋d))·(eq\f(a,a＋b)－eq\f(c,c＋d)).對于同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說明X和Y關(guān)聯(lián)性最大的一組是()A．a(chǎn)＝45，c＝15B．a(chǎn)＝40，c＝20C．a(chǎn)＝35，c＝25D．a(chǎn)＝30，c＝303．為探討某兩個變量是否有關(guān)系，依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)計算得到χ2≈15.968，所以斷定這兩個變量有關(guān)系的把握為()A．90%B．95%C．99%D．100%4．兩個變量X和Y，值域分別為{X1，X2}和{Y1，Y2}，其樣本頻數(shù)分別是a＝10，b＝21，c＋d＝35，若X與Y有關(guān)聯(lián)的可信程度為90%，則c＝()A．5B．6C．7D．85．某探討所為了檢驗新開發(fā)的疫苗對某疾病的預(yù)防作用，對1000名注射了疫苗的人與另外1000名未注射疫苗的人的一年健康記錄進行比較，并提出假設(shè)：這種疫苗不能起到預(yù)防該疾病的作用，并計算出P(χ2≥6.635)≈0.01，則下列說法正確的是()A．這種疫苗能起到預(yù)防該疾病的作用的有效率為1%B．若某人未運用該疫苗，則他在半年內(nèi)有99%的可能性得該疾病C．有1%的把握認(rèn)為這種疫苗能起到預(yù)防疾病的作用D．有99%的把握認(rèn)為這種疫苗能起到預(yù)防該疾病的作用6．[易錯題]在對人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了120人，其中女性65人，男性55人．女性中有40人主要的休閑方式是看電視，另外25人主要的休閑方式是運動；男性中有20人主要的休閑方式是看電視，另外35人主要的休閑方式是運動．則認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系的把握大約為()A．0.1B．0.01C．0.9D．0.99二、填空題7．為了調(diào)查患慢性支氣管炎是否與吸煙有關(guān)，調(diào)查了339名50歲以下的人，調(diào)查結(jié)果如下表：患慢性支氣管炎未患慢性支氣管炎合計吸煙43162205不吸煙13121134合計56283339依據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，求得χ2≈________．(精確到0.001)8．某科研機構(gòu)為了探討中年人禿發(fā)與心臟病是否有關(guān)，隨機調(diào)查了一些中年人的狀況，詳細數(shù)據(jù)如下表：心臟病無心臟病總計禿發(fā)20300320不禿發(fā)5450455總計25750775依據(jù)表中數(shù)據(jù)得到χ2＝eq\f(775×（20×450－5×300）2,25×750×320×455)≈15.968.因為χ2>6.635，則斷定禿發(fā)與心臟病有關(guān)系，那么這種推斷出錯的可能性為________．9．有人發(fā)覺，多看手機簡單使人變近視，下表是一個調(diào)查機構(gòu)對此現(xiàn)象的調(diào)查結(jié)果：近視不近視合計少看手機203858多看手機6842110合計8880168則有________的把握認(rèn)為多看手機與人變近視有關(guān)系．三、解答題10．[探究題]某學(xué)校課題組為了探討學(xué)生的數(shù)學(xué)成果與物理成果之間的關(guān)系，隨機抽取高二年級20名學(xué)生某次考試的成果(百分制)如下表所示：序號12345678910數(shù)學(xué)成果95758094926567849871物理成果90637287917158829381序號11121314151617181920數(shù)學(xué)成果67936478779057837283物理成果77824885699161847886若數(shù)學(xué)成果90分(含90分)以上為優(yōu)秀，物理成果85分(含85分)以上為優(yōu)秀．(1)依據(jù)上表完成下面的2×2列聯(lián)表：數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀數(shù)學(xué)成果不優(yōu)秀合計物理成果優(yōu)秀物理成果不優(yōu)秀12合計20(2)依據(jù)題(1)中表格的數(shù)據(jù)計算，有多少的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成果與物理成果之間有關(guān)系？參考數(shù)據(jù)公式：獨立性檢驗統(tǒng)計量χ2值的計算公式：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.學(xué)科素養(yǎng)升級練1．[多選題]千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實踐中依據(jù)云的形態(tài)、走向、速度、厚度、顏色等的改變，總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的閱歷，并將這些閱歷編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，視察了A地區(qū)的100天日落和夜晚天氣的狀況，得到如下2×2列聯(lián)表：夜晚天氣日落云里走下雨未下雨出現(xiàn)255未出現(xiàn)2545并計算得到χ2≈19.05，下列小波對A地區(qū)天氣推斷正確的是()A．夜晚下雨的概率約為eq\f(1,2)B．在未出現(xiàn)“日落云里走”的條件下，夜晚下雨的概率約為eq\f(5,14)C．有99%的把握認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與當(dāng)晚是否下雨有關(guān)D．出現(xiàn)“日落云里走”，有99%的把握認(rèn)為夜晚會下雨2．對于兩個變量X，Y，其2×2列聯(lián)表如下所示．YXy1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d若兩個變量X，Y獨立，給出下列結(jié)論：①ad≈bc；②eq\f(a,a＋b)≈eq\f(c,c＋d)；③eq\f(c＋d,a＋b＋c＋d)≈eq\f(b＋d,a＋b＋c＋d)；④eq\f(c＋a,a＋b＋c＋d)≈eq\f(b＋d,a＋b＋c＋d)；⑤eq\f(（a＋b＋c＋d）（ad－bc）,（a＋b）（b＋d）（a＋c）（c＋d）)≈0.其中正確結(jié)論的序號是________．3．[學(xué)科素養(yǎng)——數(shù)據(jù)處理]某高校健康社團為調(diào)查本校高校生每周運動的時長，隨機選取了80名學(xué)生，調(diào)查他們每周運動的總時長(單位：時)，依據(jù)[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30]共6組進行統(tǒng)計，得到男生、女生每周運動的時長的統(tǒng)計如下表，規(guī)定每周運動15小時以上(含15小時)的稱為“運動合格者”，其中每周運動25小時以上(含25小時)的稱為“運動達人”．表1：男生每周運動的時長時長[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)[20，25)[25，30]人數(shù)2816842表2：女生每周運動的時長時長[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)[20，25)[25，30]人數(shù)04121284(1)從每周運動時長不小于20小時的男生中隨機選取2人，求選到“運動達人”的概率；(2)依據(jù)題目條件，完成下面的2×2列聯(lián)表，并推斷能否有99%的把握認(rèn)為本校高校生是否為“運動合格者”與性別有關(guān)．每周運動的時長小于15小時每周運動的時長不小于15小時總計男生女生總計參考公式：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.3．1獨立性檢驗3．2獨立性檢驗的基本思想3．3獨立性檢驗的應(yīng)用必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．解析：由題意，依據(jù)2×2列聯(lián)表可知：a＋35＝45，解得a＝10，則m＝a＋7＝10＋7＝17，又由35＋b＝73，解得b＝38，則n＝7＋38＝45，故選B.答案：B2．解析：因為a＋7＝c＝25，6＋b＝d＝25，a＋6＝e，7＋b＝f，e＋f＝50，所以a＝18，b＝19，c＋d＝50，e＝24，f＝26，e－f＝－2，故選D.答案：D3．解析：對于分類變量X與Y的統(tǒng)計量χ2，χ2越大，“X與Y有關(guān)聯(lián)”的可信程度越大；χ2越小，“X與Y有關(guān)聯(lián)”的可信程度越小，所以選項B正確．故選B.答案：B4．解析：有99%以上的把握認(rèn)為“打鼾與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論成立，與多少個人打鼾沒有關(guān)系，只有D選項正確，故選D.答案：D5．解析：由題意得χ2＝eq\f(100×（25×35－15×25）2,40×60×50×50)≈4.17>3.841，故有95%的把握認(rèn)為喜愛玩電腦嬉戲與對待作業(yè)量的看法有關(guān)．故選A.答案：A6．解析：由題意，可知要有90%的把握認(rèn)為x與y之間有關(guān)系，則χ2>2.706，則χ2＝eq\f(65×[a（30＋a）－（20－a）（15－a）]2,20×45×15×50)＝eq\f(65×（65a－300）2,20×45×15×50)＝eq\f(13×（13a－60）2,60×90)>2.706.因為a>5且15－a>5，a∈Z，所以a＝6，7，8，9.代入不等式驗證可知8，9均滿意要求，故當(dāng)a為8或9時，有90%的把握認(rèn)為x與y之間有關(guān)系．答案：8或97．解析：(1)建立的2×2列聯(lián)表如下表所示：患色盲未患色盲總計男38442480女6514520總計449561000(2)χ2＝eq\f(1000×（38×514－442×6）2,480×520×44×956)≈27.139，因為27.139>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為患色盲與性別有關(guān)．關(guān)鍵實力綜合練1．解析：a＝73－21＝52，b＝a＋22＝52＋22＝74.故選C.答案：C2．解析：對于A選項，χ2＝100×(eq\f(45,60)－eq\f(10,40))(eq\f(45,55)－eq\f(15,45))＝eq\f(800,33)≈24.24；對于B選項，χ2＝100×(eq\f(40,60)－eq\f(10,40))(eq\f(40,50)－eq\f(20,50))＝eq\f(100,6)≈16.7；對于C選項，χ2＝100×(eq\f(35,60)－eq\f(10,40))(eq\f(35,45)－eq\f(25,55))＝eq\f(3200,297)≈10.77；對于D選項，χ2＝100×(eq\f(30,60)－eq\f(10,40))(eq\f(30,40)－eq\f(30,60))＝eq\f(25,4)＝6.25.由于A中的χ2最大，故可以推斷出，X和Y關(guān)聯(lián)性最大．故選A.答案：A3．解析：因為χ2≈15.968>6.635，所以斷定這兩個變量有關(guān)聯(lián)的把握為99%.故選C.答案：C4．解析：列2×2列聯(lián)表可知：XYX1X2合計Y1102131Y2cd35合計10＋c21＋d66當(dāng)c＝5時，d＝30，此時χ2＝eq\f(66×（10×30－21×5）2,15×51×31×35)≈3.024>2.706，所以c＝5時，X與Y有關(guān)聯(lián)的可信程度為90%，而其余的值皆不滿意，故選A.答案：A5．解析：由P(χ2≥6.635)≈0.01，可知D正確．答案：D6．解析：依據(jù)所給的數(shù)據(jù)得到2×2列聯(lián)表，如下：男女合計看電視204060運動352560合計5565120計算χ2＝eq\f(120×（20×25－35×40）2,55×65×60×60)≈7.552>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系．故選D.答案：D7．解析：χ2＝eq\f(339×（43×121－162×13）2,205×134×56×283)≈7.469.答案：7.4698．解析：由已知χ2>6.635，可知有99%的把握斷定禿發(fā)與心臟病有關(guān)系，且這種推斷出錯的可能性為0.01.答案：0.019．解析：由題意題中數(shù)據(jù)可得，χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(168×（20×42－38×68）2,58×110×88×80)≈11.377>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為多看手機與人變近視有關(guān)系．答案：99%10．解析：(1)列聯(lián)表為數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀數(shù)學(xué)成果不優(yōu)秀合計物理成果優(yōu)秀527物理成果不優(yōu)秀11213合計61420(2)依據(jù)上述列聯(lián)表可以求得χ2＝eq\f(20×（5×12－1×2）2,6×14×7×13)≈8.802>6.635，所以我們有99%的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成果與物理成果之間有關(guān)系．學(xué)科素養(yǎng)升級練1．解析：對于選項A，因為夜晚下雨的天數(shù)一共有25＋25＝50(天)，所以夜晚下雨的概率約為eq\f(50,100)＝eq\f(1,2)，故A正確．對于選項B，未出現(xiàn)“日落云里走”夜晚下雨的有25天，未出現(xiàn)“日落云里走”的一共有25＋45＝70(天)，所以在未出現(xiàn)“日落云里走”的條件下，夜晚下雨的概率約為eq\f(25,70)＝eq\f(5,