2025屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題強化訓(xùn)練06含解析

Page22024屆大題強化訓(xùn)練(6)1.在中，內(nèi)角的對邊分別為，.（1）求；（2）若的面積為，求邊上的中線的長.【答案】（1）（2）【解析】（1）因，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以，所以.（2）由，所以，由（1），所以，因為為邊上的中線，所以，所以，所以，所以邊上的中線的長為：2.定義:在數(shù)列中,若存在正整數(shù),使得,都有,則稱數(shù)列為“型數(shù)列”.已知數(shù)列滿意.（1）證明:數(shù)列為“3型數(shù)列”;（2）若,數(shù)列的通項公式為,求數(shù)列的前15項和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題知,所以有,且,所以,所以數(shù)列為“3型數(shù)列”;（2）由(1)知,,所以,,,所以.3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點．（1）證明：平面平面PBC；（2）若直線AF與平面PAB所成的角的余弦值為，求點P到平面AEF的距離．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】（1）因為底面ABCD，平面ABCD，所以．因為ABCD為正方形，所以，又因為，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．因為平面PAB，所以．因為，E為線段PB的中點，所以，又因為，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又因為平面AEF，所以平面平面PBC．方法二：因為底面ABCD，平面PAB，所以平面底面ABCD又平面底面，，平面ABCD，所以平面PAB．因為平面PAB，所以．因為，E為線段PB的中點，所以．因為，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，又因為平面AEF，所以平面平面PBC因為底面ABCD，，以A為坐標(biāo)原點，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則，設(shè)，則，所以，，，，設(shè)為平面AEF的法向量，則所以取，則，，則，設(shè)為平面PBC的法向量，則所以取，則，，則因為，所以,所以平面平面PBC.（2）（基于（1）解法一、二）因為底面ABCD，，以A為坐標(biāo)原點，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則，易知是平面PAB法向量設(shè)，則，所以，，所以即，得，所以，設(shè)為平面AEF的法向量，則所以平面AEF的法向量，又因為所以點P到平面AEF的距離為，所以點P到平面AEF的距離為．由（1）可知，是直線AF與平面PAB所成的角，所以解得，故F是BC的中點．所以，，的面積為因為，的面積為設(shè)點P到平面AEF的距離為h，則有解得所以點P到平面AEF的距離為．（基于（1）解法三）易知是平面PAB的法向量所以，即，解得所以，又因為所以點P到平面AEF的距離為，所以點P到平面AEF的距離為．4.黨的二十大已成功閉幕，某市教化系統(tǒng)為深化貫徹黨的二十大精神，組織黨員開展了“學(xué)習(xí)二十大”的學(xué)問競賽活動.隨機抽取了1000名黨員，并依據(jù)得分（滿分100分）按組別，，，繪制了頻率分布直方圖（如圖），視頻率為概率.（1）若此次活動中獲獎的黨員占參賽總?cè)藬?shù)20%，試估計獲獎分數(shù)線；（2）采納按比例安排的分層隨機抽樣的方法，從得分不低于80的黨員中隨機抽取7名黨員，再從這7名黨員中隨機抽取3人，記得分在的人數(shù)為，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）86（2）分布列見解析，【解析】（1）依據(jù)直方圖可知，成果在的頻率為，成果的頻率為0.1，小于0.2，因此獲獎的分數(shù)線應(yīng)當(dāng)介于之間，設(shè)分數(shù)線為，使得成果在的概率為，即，可得，所以獲獎分數(shù)線劃定為86；（2）應(yīng)從和兩組內(nèi)分別抽取5人和2人，則的可能取值為0，1，2，，，，的分布列為數(shù)學(xué)期望5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓E：和定點，P為圓E上的動點，線段PF的垂直平分線與直線PE交于點Q，設(shè)動點Q的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)曲線C與x軸正半軸交于點A，過點的直線l與曲線C交于點M，N（異于點A），直線MA，NA與直線分別交于點G，H.若點F，A，G，H四點共圓，求實數(shù)t的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）因為Q在線段PF的中垂線上，所以，故，所以點Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點的雙曲線，其焦距，，且，，故，所以曲線C的方程為.（2）設(shè)直線l：，，，聯(lián)立方程組，整理得，則，且因為F，A，G，H四點共圓，所以，又，所以，故，所以，即，所以.又直線AM：，令，得，同理，故，其中，所以，解得，所以實數(shù)t的值為.6.已知函數(shù).（1）若，求證；函數(shù)的圖象與軸相切于原點；（2）若函數(shù)在區(qū)間，各恰有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）證明：因為，，；又，所以，所以在點處的切線方程為，所以函數(shù)的圖象與軸相切于坐標(biāo)原點.（2）先證明不等式恒成立，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在處取得微小值，也是最小值，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，，令，，令，，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，因為，所以當(dāng)，即時，，所以為增函數(shù)，故，所以為減函數(shù)，故函數(shù)在無極值點；當(dāng)時，當(dāng)，因為為減函數(shù)，，，故必存在，使得，當(dāng)時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù)，而，故，又因為所以必存在，，且當(dāng)，，為減函數(shù)，當(dāng)，，為增函數(shù)，故在區(qū)間上有一個微小值點，令，因為，所以在上單調(diào)遞增，又因為，，所以總存在使，且當(dāng)時，，單調(diào)遞減