山東省德州市煙臺(tái)市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

山東省德州市煙臺(tái)市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．）1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知x，，則“x和y均為有理數(shù)”是“xy為有理數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）A．， B．，C．， D．，4．已知a，b，c，，則下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則5．已知函數(shù)若，則是（）A．奇函數(shù)，在和單調(diào)遞增B．奇函數(shù)，在和單調(diào)遞減C．偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減D．偶函數(shù)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增6．已知函數(shù)若，則（）A．-4 B．-1 C．-4或-1 D．-4或7．定義在R上的函數(shù)滿意：①，②，③，則不等式的解集是（）A． B．C． D．8．已知，，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C．或 D．或二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9．若集合，且，則集合A可能是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，，設(shè)函數(shù)則（）A．是偶函數(shù) B．方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．有最大值，沒有最小值11．已知，，且，則（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對隨意的實(shí)數(shù)x，y，有，且當(dāng)時(shí)，，則（）A．B．對隨意的，恒成立C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．若，則不等式的解集為第Ⅱ卷（共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13．已知集合，，則B中元素的個(gè)數(shù)為______．14．若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．15．已知，且，則的最小值為______．16．高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，．①若函數(shù)，則的值域?yàn)開_____；②若函數(shù)，則方程全部的解為______．（本題第一空2分，其次空3分．）四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（本小題滿分10分）已知函數(shù)的定義域?yàn)榧螦，集合．（1）求集合A；（2）請?jiān)谙旅孢@兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線處，并給出問題的解答．①充分條件，②必要條件．是否存在實(shí)數(shù)m，使得是的______？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18．（本小題滿分12分）已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求的解析式；（2）求不等式的解集．19．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，二次函數(shù)滿意，且不等式的解集為．（1）求，的解析式；（2）設(shè)，依據(jù)定義證明：在上為增函數(shù)．20．（本小題滿分12分）已知某企業(yè)原有職工500人，每人每年可為企業(yè)創(chuàng)利6.5萬元．為應(yīng)對新冠疫情給企業(yè)帶來的不利影響，該企業(yè)確定實(shí)施減員增效策略，分流出一部分職工待崗，待崗人數(shù)不超過原有職工的4%，并且每年給每位待崗職工發(fā)放生活補(bǔ)貼0.5萬元．據(jù)評估，當(dāng)待崗職工人數(shù)x不超過原有職工2%時(shí)，留崗職工每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利萬元；當(dāng)待崗職工人數(shù)x超過原有職工2%時(shí)，留崗職工每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利0.96萬元．設(shè)該企業(yè)實(shí)施減員增效策略后，年利潤為y（單位：萬元）．．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）為使企業(yè)的年利潤y最大，應(yīng)支配多少職工待崗？21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對隨意的實(shí)數(shù)x，y，滿意．（1）證明：；（2）聞名數(shù)學(xué)家柯西在十九世紀(jì)上半葉探討過上述函數(shù)的性質(zhì)，且證明白當(dāng)該函數(shù)的圖象在R上連綿不斷時(shí)，．若函數(shù)的圖象在R上連綿不斷，對隨意x，，，．設(shè)．①證明：；②已知，求在上的最小值．22．（本小題滿分12分）給定，若存在實(shí)數(shù)使得成立，則定義為的點(diǎn)．已知函數(shù)．（1）當(dāng)，時(shí)，求的點(diǎn)；（2）設(shè)，，若函數(shù)在上存在兩個(gè)相異的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（3）對于隨意的，總存在，使得函數(shù)存在兩個(gè)相異的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平診斷高一數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．）1．B 2．A 3．D 4．D5．C 6．A 7．A 8．B二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9．AC 10．ABD 11．ACD 12．BCD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13．3 14． 15． 16．①②四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．解：（1）由題可知，即，解得，故集合．（2）若選擇條件①：即是充分條件，則集合A是集合B的子集，所以，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．若選擇條件②：即是必要條件，則集合B是集合A的子集，所以，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．[未注明，扣1分]18．解：（1）設(shè)，則，，又是偶函數(shù)，所以．綜上，（2）由題可知在上單調(diào)遞增．又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，故．解得，所以不等式的解集為．19．解：（1）令，則，所以，即．設(shè)，因?yàn)榈慕饧癁椋?，即．又，解得，，，即．?）由題可知，．任取，，且．因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋?，所以，從而．所以，即．所以在上為增函?shù)．20．解：（1）由題可知：，，所以且．當(dāng)待崗人數(shù)不超過2%，即時(shí)，，當(dāng)待崗人數(shù)超過2%，即時(shí)，故（2）當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以?dāng)企業(yè)年利潤最大時(shí)，應(yīng)支配5人待崗．21．（1）證明：令，得．（2）①因?yàn)椋?，所以．②因?yàn)榈膱D象在R上連綿不斷，所以的圖象在R上連綿不斷，又，結(jié)合題目條件可知，．又，所以．從而．的對稱軸為．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，；綜上，當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，取最小值-1．22．解：（1）當(dāng)，時(shí)，，由題意知．即，解得或．所以，當(dāng)，時(shí)，的點(diǎn)為1和3；（2）由已知得在上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，即在上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，令，因?yàn)椋越獾?，所以t的范圍是．（3）因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)相異的點(diǎn)，所以方程，即恒有兩個(gè)不等實(shí)根，所以