2025屆新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)系列模擬試卷新高考I卷專題7含解析

Page24數(shù)學(xué)試卷第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2024秋·北京朝陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）已知全集，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由補(bǔ)集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)槿?，集合，由補(bǔ)集的運(yùn)算可得或，對(duì)應(yīng)區(qū)間為.故選：B.2．（2024秋·黑龍江牡丹江·高三牡丹江一中?？计谀┤魪?fù)數(shù)滿意，則的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可求得，依據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義可得結(jié)果.【詳解】，.故選：C.3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我國(guó)古代人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)覺(jué)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用做第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽．如圖，大正方形是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，，為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)向量數(shù)乘和加減法法則，結(jié)合幾何圖形即可求解.【詳解】，即，∴．故選：A．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)料）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)題中定義，結(jié)合圓錐的側(cè)面積和體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)直角圓角的底面半徑為，母線為，高為，因?yàn)橹苯菆A錐的軸截面為等腰直角三角形，所以有，因?yàn)橹苯菆A錐的側(cè)面積為，所以有，即，因此，所以該直角圓錐的體積為，故選：D5．（2024秋·福建·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)習(xí)小組八名學(xué)生在一次物理測(cè)驗(yàn)中的得分（單位：分）如下：，這八人成果的第60百分位數(shù)是.若在該小組隨機(jī)選取兩名學(xué)生，則得分都比低的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先依據(jù)題意得到，再利用古典概型公式求解即可.【詳解】，故這8人成果的第60百分位數(shù)是從小到大排列的第5個(gè)數(shù)，即，在該小組隨機(jī)選取兩名學(xué)生共有種狀況，其中得分都比低的有種，所以所求概率故選：C6．（2024秋·天津南開·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，再向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．過(guò)點(diǎn) D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D【分析】利用函數(shù)圖象變換可求得函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可推斷AB選項(xiàng)；計(jì)算出的值，可推斷C選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可推斷D選項(xiàng).【詳解】將函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，可得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象向左平移個(gè)單位，可得到函數(shù)的圖象，對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，D對(duì).故選：D.7．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用，可推斷，再利用，即可得到答案.【詳解】，則，故函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則則，即由，∴，故同理可證又，∴，則故選：C.8．（2024·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)料）在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，在等腰中，求得，設(shè)的外心是，外接圓半徑是，由正弦定理得，設(shè)外接球球心是，可得是直角梯形，設(shè)可得，把（）也用表示，然后可表示出外接球半徑，利用三角恒等變換，換元法，變形后由基本不等式求得最小值，從而得球表面積的最小值．【詳解】設(shè)，在等腰中，，設(shè)的外心是，外接圓半徑是，則，∴，設(shè)外接球球心是，則平面，平面，則，同理，，又平面，所以，是直角梯形，設(shè)，外接球半徑為，即，則，所以，在直角中，，，，，∴，，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積，解題關(guān)鍵是用一個(gè)變量表示出球的表面積，前提是選定一個(gè)參數(shù)，由已知設(shè)，其他量都用表示，并利用三角函數(shù)恒等變換，換元法，基本不等式等求得最小值．考查了學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力，邏輯思維實(shí)力，屬于難題．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．（2024秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正方體中，M，N，P分別是面，面，面的中心，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．平面C．平面 D．與所成的角是【答案】ABD【分析】A．利用三角形中位線進(jìn)行證明；B．通過(guò)線面平行的定理證明；C．通過(guò)線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行推斷；D．通過(guò)平行的傳遞性找出即為與所成的角，即可求出答案．【詳解】連接，則是的中位線，∴，故A正確；連接，，則，平面，平面，∴平面，即平面，故B正確；連接，則平面即為平面，明顯不垂直平面，故C錯(cuò)誤；∵，∴或其補(bǔ)角為與所成的角，，故D正確．故選：ABD．10．（2024秋·廣東汕頭·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為B．函數(shù)的微小值是C．當(dāng)時(shí)，對(duì)于隨意的，都有D．函數(shù)的圖像有條切線方程為【答案】AB【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，對(duì)A令即可解決問(wèn)題；B選項(xiàng)把增減區(qū)間求出來(lái)后即可得極值；C選項(xiàng)做差法證明即可；D由切線斜率為3動(dòng)身反向分析即可得答案.【詳解】因?yàn)樗裕?，所以的單調(diào)減區(qū)間為，故A正確．令，則或所以在，單調(diào)遞增在單調(diào)遞減所以函數(shù)的微小值為，故選項(xiàng)B正確；由，若即沖突，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．，解的或，當(dāng)時(shí)切點(diǎn)不在上當(dāng)時(shí)切點(diǎn)不在上，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AB．11．（2024秋·湖南永州·高三永州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．準(zhǔn)線的方程為B．若過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，則C．若，則的最小值為3D．延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，若，則【答案】BCD【分析】依據(jù)拋物線準(zhǔn)線方程、拋物線的定義，結(jié)合兩點(diǎn)間線段最短、相像三角形的性質(zhì)逐一推斷即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以，所以準(zhǔn)線的方程為錯(cuò)誤；由題意可知，B正確；由拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)與到準(zhǔn)線的距離相等可知，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以最小值為正確；如圖所示，不妨設(shè)在第一象限，過(guò)作軸于點(diǎn)，過(guò)作軸于點(diǎn)，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，則，易知，則有，即，解得，則，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用相像三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.12．（2024秋·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知奇函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則下列選項(xiàng)正確的是（

）．A．為非奇非偶函數(shù)B．C．D．【答案】BCD【分析】由函數(shù)的奇偶性定義推斷出為奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；賦值法得到，結(jié)合奇偶性得到，聯(lián)立后求出，B正確；將變形為，令，則，結(jié)合是奇函數(shù)，得到是一個(gè)周期為4的周期函數(shù)，得到，求出，C正確；對(duì)求導(dǎo)，得到，賦值法得到，，結(jié)合的周期性與奇偶性得到的周期性和奇偶性，得到.【詳解】由已知有為R上的奇函數(shù)，所以，故的定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由已知有：恒成立，令時(shí)，①，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故，令時(shí)，②，由①②解得：，，故B選項(xiàng)正確；由已知有：恒成立，即恒成立，令，則恒成立，由A選項(xiàng)知是奇函數(shù)，故，故，即，所以，所以是一個(gè)周期為4的周期函數(shù)，則，所以，故C選項(xiàng)正確；由已知有：在R上可導(dǎo)，對(duì)求導(dǎo)有：，即，令時(shí)，，則，因?yàn)?，所以．又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故是偶函數(shù)，所以，因?yàn)槭且粋€(gè)周期為4的周期函數(shù)，所以也是一個(gè)周期為4的周期函數(shù)，以下是證明過(guò)程：假設(shè)為周期為的函數(shù)，則，所以為周期為的函數(shù)，故，故D選項(xiàng)正確．故選：BCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：設(shè)函數(shù)，，，．（1）若，則函數(shù)的周期為2a；（2）若，則函數(shù)的周期為2a；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a；（5）若，則函數(shù)的周期為；（6）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線與對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（7）若函數(shù)的圖象既關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（8）若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（9）若函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的周期為2a；（10）若函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的周期為4a．第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2024秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）的綻開式中項(xiàng)的系數(shù)為______________________.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】由二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式求解即可【詳解】的綻開式通項(xiàng)為，所以，．故所求的系數(shù)為．故答案為：14．（2024秋·吉林通化·高三梅河口市第五中學(xué)校考期末）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則_________.【答案】【分析】?jī)蓤A方程相減，即可求出直線AB的方程為，求出圓心到直線AB的距離d，進(jìn)而依據(jù)幾何法得弦.【詳解】解：因?yàn)閳A與圓相交于兩點(diǎn)，所以直線AB的方程為：，即，圓心到弦AB的距離，所以，故答案為：.15．（2024秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)在曲線上，該曲線過(guò)的切線交坐標(biāo)軸于兩點(diǎn)，若，則△面積的取值范圍是____________________.（為坐標(biāo)原點(diǎn)）【答案】【分析】依據(jù)切線方程的公式，得到切線為：，依據(jù)題意計(jì)算，，列出△面積為，再令，，利用導(dǎo)數(shù)探討△面積的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，得，，切線方程為：，設(shè)切線交軸于，交軸于，故可得，，則△面積為：，又，，令，，則，所以，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，故，時(shí)，，所以，，則△面積的取值范圍是.故答案為：16．（2024秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谀┮栽c(diǎn)為對(duì)稱中心的橢圓C1，C2焦點(diǎn)分別在x軸，y軸，離心率分別為e1，e2，直線l交C1，C2所得的弦中點(diǎn)分別為，若，則直線l的斜率為__________．【答案】±1．【分析】利用點(diǎn)差法可得，，進(jìn)而可得，然后結(jié)合條件即求.【詳解】設(shè)橢圓，橢圓，設(shè)直線l與C1的交點(diǎn)為，直線l的斜率為，則，∴，即，∴，同理可得，又，∴，，又，∴，即，∴，.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（2024·浙江·模擬預(yù)料）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）依據(jù)與的關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列即可得出答案；（2）利用裂項(xiàng)相消法求出，即可得證.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，所以，由，得，兩式相減得，又，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是以為公差的等差數(shù)列，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列，所以；（2）解：，則，所以，所以.18．（2024秋·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且．(1)求A的值；(2)若的面積為，求a的最小值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）依據(jù)三角恒等變換可得，然后依據(jù)正弦定理及余弦定理結(jié)合條件即得；（2）依據(jù)三角形面積公式可得，然后依據(jù)余弦定理及基本不等式即得.【詳解】（1）由，可得所以整理得：，由正弦定理得：，∴，∵A為內(nèi)角，∴；（2）由，得，所以，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，符號(hào)成立，∴，又，∴，即a的最小值為．19．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）如圖，在直三棱柱中，側(cè)面是正方形，且平面平面.(1)求證：；(2)若直線與平面所成的角為，E為線段的中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）通過(guò)證明平面來(lái)證得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得平面與平面所成銳二面角的大小.【詳解】（1）設(shè)，則中點(diǎn)為M，且∵平面平面且交線為，平面，∴平面，∵平面，∴，又直三棱柱，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.（2）由（1）知平面，所以直線與平面所成的角為，不妨設(shè)以B為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸正向建立坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為，故可設(shè)，設(shè)平面的法向量為，，故可設(shè)，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，∴.20．（2024秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）2024年，一場(chǎng)突如其來(lái)的新型冠狀病毒疫情席卷全球，時(shí)至今日，仍影響著人們的生產(chǎn)生活，為快速箭查出陽(yáng)性患者，需按如下方案進(jìn)行核酸檢測(cè)：隨機(jī)將10人分成一組，將10人樣本混合后檢測(cè).若混合樣本呈陰性，說(shuō)明10人全部陰性；若混合樣本呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少一人呈陽(yáng)性，則必需對(duì)這10人進(jìn)行單人單檢.假設(shè)攜帶病毒（陽(yáng)性）的人在人群中的占比為，且每個(gè)人是否攜帶病毒相互獨(dú)立.(1)現(xiàn)有10份單人單檢的樣本，其中有2份為陽(yáng)性.求恰好經(jīng)過(guò)3次檢測(cè)就排查出全部陽(yáng)性樣本的概率.(2)請(qǐng)結(jié)合離散型隨機(jī)變量及其分布列的有關(guān)學(xué)問(wèn)，計(jì)算當(dāng)值在什么范圍時(shí)，上述核酸檢測(cè)方案優(yōu)于單人單檢方案.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)；(2)【分析】（1）分析試驗(yàn)過(guò)程，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式即可求解；（2）計(jì)算出10人混采次數(shù)的數(shù)學(xué)期望，建立不等式，即可解得.【詳解】（1）記事務(wù)A：恰好經(jīng)過(guò)3次檢測(cè)就排查出全部陽(yáng)性樣本.所以須要第三次檢測(cè)是陽(yáng)性，前兩次中有一次是陽(yáng)性..即恰好經(jīng)過(guò)3次檢測(cè)就排查出全部陽(yáng)性樣本的概率為.（2）有10人參與核酸檢測(cè).若采納單人單檢方案，10人須要采集10次；若采納上述核酸檢測(cè)方案，檢測(cè)次數(shù)為，則的可能取值為1，11.其中，.所以要使上述核酸檢測(cè)方案優(yōu)于單人單檢方案，只需，整理化簡(jiǎn)得：，解得：.因?yàn)椋?，所以，所?綜上所述：當(dāng)時(shí)，上述核酸檢測(cè)方案優(yōu)于單人單檢方案21．（2024秋·遼寧大連·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線的離心率為，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與雙曲線Q交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，是雙曲線Q右支上一點(diǎn)，，設(shè)(1)求雙曲線Q的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：C，D，B三點(diǎn)共線；(3)若面積為，求直線l的方程．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）依據(jù)離心率即可求解，（2）利用坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合點(diǎn)差法以及向量共線的坐標(biāo)表示即可求解，（3）依據(jù)三角形面積公式，利用聯(lián)立方程，韋達(dá)定理，代入化簡(jiǎn)即可得到關(guān)于的方程，【詳解】（1）由雙曲線的離心率為，所以，解得，所以雙曲線Q的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由得,又，所以,，由得①，由于，在雙曲線上，所以，相減得②由①②得③，由于，所以，將③代入得，所以，因此C，D，B三點(diǎn)共線（3）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程為：，故，所以，直線的方程為，聯(lián)立，所以由于軸，，所以，所以，由于，代入得，令，則，化簡(jiǎn)得，由于，所以，因此，解得或由于，所以，故直線方程為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解析幾何中的弦長(zhǎng)以及面積問(wèn)題以及最值是常見(jiàn)的