湘教版八年級數(shù)學(xué)下全教案

數(shù)學(xué)教案

——八年級下冊

姓名：

班次：

岳陽縣新開中學(xué)

2013年2月--7月

第1章因式分解

一、背景介紹

因式分解的教學(xué)是在整式四那么運算的根底上進行的，因式分解方法的理論依據(jù)就是多項式乘法的

逆變形。它不僅在多項式的除法、簡便運算中有直接的應(yīng)用，也為以后學(xué)習(xí)分式的約分與通分、解方程

（組）及三角函數(shù)式的恒等變形提供了必要的根底。因此，學(xué)好因式分解對于代數(shù)知識的后續(xù)學(xué)習(xí)，具

有相當(dāng)重要的意義。

二、教學(xué)目標(biāo)

認知目標(biāo)

1、了解因式分解的意義；

2、理解因式分解與多項式乘法的相互關(guān)系；

3、初步r解，運用因式分解的提取公因式法和運用公式法。

能力目標(biāo)

1、通過對因式分解與多項式乘法的關(guān)系的理解，克服學(xué)生的思維定勢，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、比照、

化歸、概括以及他們的逆向思維能力；

2、在相互交流的過程中，養(yǎng)成學(xué)生表述、抽象、類比、總結(jié)的思維習(xí)慣，初步培養(yǎng)學(xué)生在探索和歸納

新知識的過程中進行合情推理的能力.

情感目標(biāo)

1、讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中的成功與快樂，增強他們的求知欲和學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心；

2、感受多項式乘法與因式分解之間的對立統(tǒng)一觀點，從而向?qū)W生滲透辯證唯物主義的認識論的思

想，引導(dǎo)學(xué)生樹立科學(xué)的人生觀和價值觀；

三、教學(xué)重點與難點

重點是因式分解的概念及提取公因式法、公式法的運用，難點是理解因式分解與多項式乘法的相互

關(guān)系，并運用它們之間的相互關(guān)系尋求因式分解的方法。

?課時安排

7課時

第一課時

?課題

§1.1多項式的因式分解

?教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識點

使學(xué)生了解因式分解的意義，知道它與多項式乘法在整式變形過程中的相反關(guān)系.

(-)能力訓(xùn)練要求

通過觀察，發(fā)現(xiàn)因式分解與多項式乘法的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和語言概括能力.

(三)情感與價值觀要求

通過觀察，推導(dǎo)因式分解與多項式乘法的關(guān)系，讓學(xué)生了解事物間的因果聯(lián)系.

?教學(xué)重點

L理解因式分解的意義.

2.識別因式分解與多項式乘法的關(guān)系.

3.初步了解因式分解在解決其它數(shù)學(xué)問題中的橋梁作用。

?教學(xué)難點

通過觀察，歸納因式分解與多項式乘法的關(guān)系.

?教學(xué)方法

觀察討論法

?教學(xué)過程

一.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

［師］大家會計算力)(〃一〃)嗎？

［生］會.3>)(a—b)=a2-b2.

［師］對，這是大家學(xué)過的平方差公式，我們是在多項乘法中學(xué)習(xí)的.從式子㈤(a-b)=a2-

h:中看，由等號左邊可以推出等號右邊，那么從等號右邊能否推出等號左邊呢？即a2~h2=("切(a

-b)是否成立呢？

［生］能從等號右邊推出等號左邊，因為多項式。2—〃與S+幻(〃一力)既然相等，那么兩個式子

交換一下位置還成立.

［師］很好，a2~b2=(a+b)(a-b)是成立的，那么如何去推導(dǎo)呢？這就是我們即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容:

因式分解的問題.

二.講授新課

I.討論993-99能被100整除嗎?你是怎樣想的?與同伴交流.

［生］9?—99能被100整除.

因為993—99

二99X992—99

=99X1992—1)

=99X9800

=99X98X100

其中有一個因數(shù)為10(),所以993—99能被100整除.

［師］9爐一99還能被哪些工整數(shù)整除？

［生］還能被99,98,980,990,9702等整除.

［師］從上面的推導(dǎo)過程看，等號左邊是一個數(shù)，而等號右邊是變成了幾個數(shù)的積的

形式.

2.議一議

你能嘗試把/一?；伞▊€整式的乘積的形式嗎？與同伴交流.

［師］大家可以觀察〃一。與9支一99這兩個代數(shù)式.

［生］a3~a=a(a2—1)=a(a—1)(。+1)

3.做一做

(1)計算以下各式：

①(in+4);

②(y-3)2=;

③3x(x-1)=;

［生］解：①?！?4)(m-4)=m2—16;

②(y-3)2=),2-6v+9；

③3x(x—I)=3f—3x;

?m［a+b+c)=ma+mb+mc;

(2)根據(jù)上面的算式填空：

①3f—3x=()();

②加2—16=()();

(§)ma-^mb+mc=()();

@>'2—6>'+9=()2

［生］把等號左右兩邊的式子調(diào)換一下即可.即：

［師］能分析一下兩個題中的形式變換嗎？

［生］在(1)中，等號左邊都是乘積的形式，等號右邊都是多項式；在(2)中正好相反，等號左

邊是多項式的形式，等號右邊是多項式乘積的形式.

一般地，對于兩個多項式f與g，如果有多項式h使得f=gh,那么我們把g叫做f的一個因式，此

時，h也是f的一個因式。

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)文獻中，把單項式看成是只有一項的多項式。

一般地，把一個含字母的多項式表示成假設(shè)干個均含字母的多項式的乘積的形式，稱為把這個多項

式因式分解(factorization).

［師］在(1)中我們知道從左邊推右邊是多項式乘法；在(2)中由多項式推出多項式乘積的形式

是因式分解.

4.想一想

由4卜+1)(〃-1)得到/一〃的變形是什么運算？由,一4得到〃(4+1)(4—1)的變形與這種

運算有什么不同？你還能舉一些類似的例子加以說明嗎？

［師］非常棒.下面我們一起來總結(jié)一下.

如：m(a+b+c)=ma+inb+mc(1)

ma+mb+/nc=mta+h+c)(2.1

聯(lián)系：等式(1)和(2)是同一個多項式的兩種不同表現(xiàn)形式.

區(qū)別：等式(1)是把幾個多項式的枳化成一個多項式的形式，是乘法運算.

等式(2)是把一個多項式化成幾個多項式的積的形式，是因式分解.

即ma+mb+mc整式乘法m(u+b+c).

所以，因式分解與多項式乘法是相反方向的變形.

5.例題

投影片

以下各式從左到右的變形，哪些是因式分解?

(I)4a(fl+2/?)=4a2+Sab;

(2)6ai-3加=3。戊(2-JV);

(3)a2—4=(a+2)(a—2);

(4)x2-3X+2=K(X-3)+2.

~三、因式分解在解決其它數(shù)學(xué)問題中的橋梁作用

1、把12分解質(zhì)因數(shù)

2、質(zhì)數(shù)或素數(shù)一一根本建筑塊

3、因式分解在解決其它數(shù)學(xué)問題中的橋梁作用

它不僅在多項式的除法、簡便運算中有直接的應(yīng)用，也為以后學(xué)習(xí)分式的約分與通分、

解方程（組）及三角函數(shù)式的恒等變形提供了必要的根底。因此，學(xué)好因式分解對于代數(shù)

知識的后續(xù)學(xué)習(xí)，具有相當(dāng)重要的意義。

如：

解方程：x2-l=O

四.課時小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了因式分解的意義，即把一個多項式化成幾個多項式的積的形式；還學(xué)習(xí)了多項式乘法

與分解因式的關(guān)系是相反方向的變形.

五.課后作業(yè)

習(xí)題1.1P4——P5

教學(xué)后記：

第二課時

?課題

§1.2.1提公因式法（一）

?教學(xué)目標(biāo)

（一）教學(xué)知識點

讓學(xué)生了解多項式公因式的意義，初步會用提公因式法因式分解.

（-）能力訓(xùn)練要求

通過找公因式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力.

（三）情感與價值觀要求

在用提公因式法因式分解時，先讓學(xué)生自己找公因式，然后大家討論結(jié)果的正確性，讓學(xué)生養(yǎng)成獨

立思考的習(xí)慣，同時培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識，還能使學(xué)生初步感到因式分解在簡化計算中將會起到很

大的作用.

?教學(xué)重點

能觀察出多項式的公因式，并根據(jù)分配律把公因式提出來.

?教學(xué)難點

讓學(xué)生識別多項式的公因式.

?教學(xué)方法

獨立思考一一合作交流法.

?教具準(zhǔn)備

投影片兩張

?教學(xué)過程

I.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

投影片

一塊場地由三個矩形組成，這些矩形的長分別為巳3，37寬都是1土,求這塊場地的面積.

4242

131311

解法一：s=-x-+-X-+-X

242224848

3131713371

解法二：S二一義-+-X—+—X-(-+-+-)=-X4=2

242224194242

［師］從上面的解答過程看，解法一是按運算順序：先算乘，再算和進行的，解法二是先逆用分配

律算和，再計算一次乘，由此可知解法二要簡單一些.這個事實說明，有時我們需要將多項式化為積的形

式，而提取公因式就是化積的一種方法.

n.新課講解

1.公因式與提公因式法、因式分解的概念.

［師］假設(shè)將剛剛的問題一般化，即三個矩形的長分別為〃、〃、一寬都是用，那么這塊場地的面

積為L+J汕或m((i+b+cJ,可以用等號來連接.

nui+mb+nic=m(a+b+c)

從上面的等式中，大家注意觀察等式左邊的每一項有什么特點？各項之間有什么聯(lián)系？等式右邊的

項有什么特點？

［生］等式左邊的每一項都含有因式/〃，等式右邊是〃?與多項式(〃+8+c)的乘積，從左邊到右邊

是分解因式.

［師］由F"?是左邊多項式ma+mb+mc的各項ma、mb、inc的一個公共因式，因此機叫做這個多

項式的各項的公因式.

即：幾個多項式的公共的區(qū)式它們的公因式。

山上式可知，把多項式〃,寫成，〃與的乘積的形式，相當(dāng)于把公因式m從各項

中提出?來，作為多項式ma+mb+mc的一個因式，把m從多項式ma+mb+mc各項中提出后形成的多項式

(〃+加c),作為多項式,也+加計〃北的另一個因式，這種因式分解的方法叫做提公因式法.

即：如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，這種把多項式因式分解的

方法叫做提公因式法.

2寫出以下多項式各項的公因式.

(1)ma+mb(m)

(2)4心一86(4公

(3)5/+20>-(5/)

(4)cPb—2ab2+ab{ab)

3.例題講解

［例1］將以下各式分解因式：

(1)3x+6;

(2)7.P—21X；

(3)8〃%2—12abyc+abc

(4)-24/—12f+28x.(如何判定符號)

(5)Sx2y4-12xy2z

分析：首先要找出各項的公因式，然后冉提取出來.

［師］請大家互相交流.

4.議一議

［師］通過剛剛的練習(xí)，下面大家互相交流，總結(jié)出找公因式的一般步驟.

［生］首先找各項系數(shù)的最大公約數(shù)，如8和12的最大公約數(shù)是4.

其次找各項中含有的相同的字母，如(3)中相同的字母有相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的.

5.想一想

［師］大家總結(jié)得非常棒.從例1中能否看出提公因式法分解因式與單項式乘以多項式有什么關(guān)系？

［生］提公因式法分解因式就是把一個多項式化成單項式與多項式相乘的形式.

HI.課堂練習(xí)

(-)隨堂練習(xí)

把以下各式分解因式

(1)8x-72=8(x-9)

(2)crb—5ab=ab(a—5)

(3)4m3—6m2=2/n2(2/n—3)

(4)crb—5ab+9b=b(a2~5a+9)

(5)—cr+ah—ac=—(a2~ab+ac)--ata~b+c］

(6)—2X3+4A2—2,x--(Zv3—4f+2x)=-2x(x2—Zv+1)

(二)補充練習(xí)

投影片

把3A2—6xy+x分解因式

［生］解：3f—6xy+x=x(3x—6y)

［師］大家同意他的做法嗎？

［生］不同意.

改正：3『一69+尸x(3x-6y+l)

［師］后面的解法是正確的，出現(xiàn)錯誤的原因是受到1作為項的系數(shù)通?？梢允÷缘挠绊?，而在此

題中是作為單獨一項，所以不能省略，如果省略就少了一項，當(dāng)然不正確，所以多項式中某一項作為公

因式被提取后，這項的位置上應(yīng)是1,不能省略或漏掉.

在分解因式時應(yīng)如何減少上述錯誤呢？

將x寫成x-1,這樣可知提出一個因式x后，另一個因式是1.

IV.課時小結(jié)

1.提公因式法分解因式的一般形式，如：

ma+mb+mc=m(a+b+c).

這里的字母。、力、c、可以是一個系數(shù)不為I的、多字母的、暴指數(shù)大于1的單項式.

2.提公因式法分解因式，關(guān)鍵在于觀察、發(fā)現(xiàn)多項式的公因式.

3.找公因式的一般步驟

(1)假設(shè)各項系數(shù)是整系數(shù)，取系數(shù)的最大公約數(shù)：

(2)取相同的字母，字母的指數(shù)取較低的；

(3)取相同的多項式，多項式的指數(shù)取較低的.

(4)所有這些因式的乘積即為公因式.

(5)如何判定符號

4.初學(xué)提公因式法分解因式，最好先在各項中將公因式分解出來，如果這項就是公因式，也要將它

寫成乘1的形式，這樣可以防范錯誤，即漏項的錯誤發(fā)生.

5.公因式相差符號的，如與(y-x)要先統(tǒng)一公因式，同時要防止出現(xiàn)符號問題.

V.課后作業(yè)

1、P81,2,3

2、活動與探究

利用分解因式計算：

(1)32004_32003;

(2)(-2),0,+(-2).

?板書設(shè)計

§1.2.1提公因式法(一)

一、1.公因式與提公因式法分解因式的概念

2.例題講解(例1)

3.議一議〔找公因式的一般步驟)

4.想一想

二、課堂練習(xí)

1.隨堂練習(xí)

2.補充練習(xí)

三、課時小結(jié)

四、課后作業(yè)

~~教學(xué)后記:

第三課時

?課題

§1.2.2提公因式法(二)

?教學(xué)FI標(biāo)

(一)教學(xué)知識點

進一步讓學(xué)生掌握用提公因式法進行因式分解的方法.

(二)能力訓(xùn)練要求

進一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和類比推理能力.

(三)情感與價值觀要求

通過觀察能合理地進行因式分解的推導(dǎo)，并能清晰地闡述自己的觀點.

?教學(xué)重點

能觀察出公因式是多項式的情況，并能合理地進行因式分解.

?教學(xué)難點

準(zhǔn)確找出公因式，并能正確進行因式分解.

?教學(xué)方法

類比學(xué)習(xí)法

?教學(xué)過程

I.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

［師］上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了用提公因式法因式分解，知道了一個多項式可以分解為一個單項式與一個

多項式的積的形式，那么是不是所有的多項式分解以后都是同樣的結(jié)果呢？本節(jié)課我們就來揭開這

個謎.

H.新課講解

請在以下各式等號右邊的括號前填入“+”或“一”號，使等式成立：

(1)2—a=_______一(a-2);

(2)y-x=__________(x-y);

(3)b+a=_________(a+b);

(4)(b-a)2=—_______ta-b)

(5)—m-7/=__________—(m+n)

(6)—s2+/2=__________(s2-/2).

、例題講解

［例1］以下多項中各項的公因式是什么？

a(x—3)+2b(x—3)

a(x—3)+2b(3—x)

6(m-3-12(〃一m)2.

分析：雖然a(A-y)與〃(y-x)看上去沒有公因式，但仔細觀察可以看出)，)與(>-x)是

互為相反數(shù)，如果把其中一個提取一個“一”號，那么可以出現(xiàn)公因式，如y一尸一(x-y).(m-

〃)3與(〃-m)2也是如此.

［例2］把a(%—3)+2b(x—3)分解因式.

分析：這個多項式整體而言可分為兩大項，即a5—3)與2bG-3),每項中都含有5—3),因

此可以把5—3)作為公因式提出來.

解:a(x-3)+2b(x-3)=5—3)(a+2b)

［師］從分解因式的結(jié)果來看，是不是一個單項式與一個多項式的乘積呢？

［生］不是，是兩個多項式的乘積.

［例3］把以下各式分解因式：

(1)a(x-y)+b(y-x);

(2)6(m—/7)3—12m)2

(3)(a+c)(a-b)2-(a-c)(b-a)2

(4)-12xy2(x+y)+lSx2y(x+y)

in.課堂練習(xí)

把以下各式分解因式：

解：⑴X(a+b)+)，(〃+〃

=(a+b)(x+y);

(2)3a(x—y)—(x—y)

=(x-y)(3a-1);

(3)6(p+q)2—]2(q+p)

=6(p+q)2—12(p+q)

=6(p+q)(p+g—2);

(4)a(m—2)+b(2—ml

=a(m—2)~b(m—2)

=(m-2)(a-h);

(5)2(y—x)2+3(A-y)

=2[—(x-y)]2+3(x-y)

=2(x-y)?+3(x-y)

=(x—y)(2x—2y+3);

(6)mn(〃？-〃)~m[n~in}2

=mn(m—n)~m(m—n)2

=m]〃L〃)[_n-(m—n)]

=m(/"-〃)(2〃一m).

N.課時小結(jié)

本節(jié)課進一步學(xué)習(xí)了用提公因式法分解因式，公因式可以是單項式，也可以是多項式，要認真觀察

多項式的結(jié)構(gòu)特點，從而能準(zhǔn)確熟練地進行多項式的分解因式.

V.課后作業(yè)

習(xí)題1.2

怙動與探究

把(a+b-c)(a—b+c)+tb—a+c),(b—a-c)分解因式.

解：原式=(a+b—c)(a~b+c)—(b-a+c)(a~h+c)

=——(b-a+c)]

=(a-b+c)(a+b—c—b+a—c)

=(.a—b+c)(2a~2c)

=2(a-b+c)(a~c)

?板書設(shè)計

§122提公因式法(二)

一、1.例題講解

2.做一做

二、課堂練習(xí)

三、課時小結(jié)

四、課后作業(yè)

""教學(xué)后記:

第四課時復(fù)習(xí)：提公因式法

一.重點與難點：

I.重點：運用提公因式法分解因式

提公因式法分解因式是最簡單的同時也是最根本的因式分解的方法，在對一個多項式進行因式分解

時,首先要考慮的就是提公因式法，它有時也和其它的方法混合在一起運用。

2.理解因式分解的意義；公因式確實定。

要明確以下幾點：(1)分解的對象是多項式；(2)分解的目的是化成多項式的積的形式；(3)分解

的過程與多項式的乘法相反；(4)分解的結(jié)果要徹底。

二.學(xué)法點拔

運用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是找到一個多項式各項都含有的因式，我們稱之為公因式。然后根

據(jù)乘法分配律的逆運算，把公因式提到括號外面，從而將多項式化為積的形式。

三.概念辯析題解

1.以下各式從左到右的變形，是因式分解的是---------------------------()

(A)a(a-b)=a2-ab(B)a2-2a+1=a(a-2)+1

(C)x2-x=x(x-1)(D)xy2=xy(y)

答案：(C)(A)是整式的乘法；(B)右邊不是整式的積的形式；[D)的左邊不是多項式。

整式乘法的特征：積化和差式。因式分解的特征：和差式化積。

2.-6xyz+3xy2-9x2y的公因式是---------------------------------------()

(A)-3x(B)3xz(C)3yz(D)-3xy

答案：(D)公因式確定的方法為：(1)系數(shù)取最大公約數(shù)；12)同底數(shù)鬲取最底次幕：(3)

第一項為負數(shù)時連同負號一起提出。

四.學(xué)生初學(xué)時易錯點和易忽略點

(一)易錯點

1.因式分解的結(jié)果一定是整式的積的形式

例：x2+xy+l=x(x+y+e)不是因式分解。因為它雖然是積的形式，但它不是整式的積的形式。

2.提取公因式以后，如果某項為“1”，易漏寫。

例：2x2-x2y+x=x(2x-xy+l),不能錯寫成x(2x-xy)

3.符號問題：

例：-6xyz+3xy2-9x2y=-3xy(2z-y+3x),提出符號時，不要忘了里面的各項都要變號。

(二)易忽略點

1.分解要徹底，即分酢因式時要分解到小能冉分解為止。

例：XLI=(x2+l)(x2-l)就沒有分解完；因為X2-1不還可以再分解為(X+1](X-1)

2.提取公因式時要把公因式提盡。

例：4x2y+6xy2=2x(2xy+3y2)就不對，因為多項式中亦有公因式y(tǒng)沒有提出。正確的結(jié)果應(yīng)為

4x2y+6xy2=2xy(2x+3y)。

￡.典型題精解

例1：把以下各多項式分解因式：

(1)-3X2-6X+12(2)3x(x-2)-(2-x)

(1)解：-3X2-6X+12=-3(X2+2X-4)(2)解：3x(x-2)-(2-x)=3x(x-2)+(x-2)

=(x-2)(3x+l)

點拔：例(1)中首項是負的，應(yīng)先提出”號，使括號內(nèi)第一項的符號變?yōu)檎龜?shù)，這樣便于對多項

式進行觀察和分析?，以便繼續(xù)進行分解因式，同時保證后面的分解不會出現(xiàn)錯誤。例(2)是?個比擬

復(fù)雜的多項式，這里要樹立整體思想，把(x-2)作為一個因式，而后面的-(2-x)那么要用符號變換

法那么變?yōu)?[-(x-2)],也就是+(x-2)。

例J2.：X2+3X-2=0,求2X3+6X-4X的值。

解X2+3X-2=0A2X3+6X-4X=2X(x2+3x-2)=2x.O=0

點拔：這是因式分解在求代數(shù)式值時應(yīng)用的一個例子，這里提取公因式后；產(chǎn)生了x?+3x-2這樣的一

個因式，而這個式子的值為0,因而2X3+6X-4X的值也為0,這里實際上滲透了整體代入的思想。

例3：關(guān)于x的多項式3x2-mx+n因式分解的結(jié)果為(3x+2)(x-1)求m、n的值。

所考知識點：因式分解與整式乘法的逆變形,恒等式的性質(zhì)。

解：由題意得:3x2-mx+n=(3x+2)(x-1)即3x?-mx+n=3x2-x-2/.m=l；n=-2

點拔：這里運用的是對號入座方法，也就是類比法，得到對應(yīng)項的系數(shù)相等。這種方法在已一個方程

求兩個末知數(shù)時常用，大家要學(xué)會這種思維方法。

例4.串聯(lián)電路的電壓U=IRI+IR2+IR3,當(dāng)RI=12.9,R2=18.5,R3=18.6,1=2求出電路中U的值。

解：當(dāng)Ri=12.9,R2=18.5,R3=18.6,1=2時，U=IRi+IR2+IRs=I(R1+R2+R3)=2(

12.9+18.5+18.6)=2X50=100

點拔：這里假設(shè)分別示出2X12.9,2X18.5,2X18.6再相加較為復(fù)雜，提取公因式后進

行計算那么非常簡捷。

作業(yè)：根底練習(xí)題：

一.選擇題

1.以下各式中是因式分解的是---------------------------------------()

(A)8a(a—b)=8a2—8ab(B)a2b+ab2+c=ab(a+b)+c

(C)2a2—8=2(a+2)(a—2)(D)a2—2ab+b2—1=(a-b)2—1

2.下面各式的因式分解中，正確的選項是..................................()

(A)I2xyz_9x2y2=3xyz(4-3xy)(B)3a2y—3ay+6y=3y(a2—a+2)

(C)9xyz—6x2y2=3xyz(3—2xy)(D)3a2x—6bx+3x=3x(a2—2b)

3.以下各式的公因式為a的是------------------------------------------()

(A)ax+ay+5(B)3ma—6ma2(C)4a2+10ab(D)a2—2a+ma

二.把以下各式分解因式

48

I.—20a—15ax2.-gxy3+yyx3y23.6x(x—y)2+3(y-x)3

4.P(x—y)—q(y—x)5.2a(b+c)—3(b+c)6.(am+bm)+(a+b)

三.用簡便方法計算：

1.21X3.14+62X3.14+17X3.14(2)9XJQ2002-IO2003

穩(wěn)固提高題：

1.計算：2001X20022002—2(X)2X20012001

2.關(guān)于x的多項式3x2+x+m因式分解以后有一個因式為(3x—2)。

(1)求m的值。(2)將多項式因式分解。

3.X2+5X-991=0；試求：x3+6x2—986X+1011的值。

第五課時

?課題

§運用公式法(一)

?教學(xué)目標(biāo)

(-)教學(xué)知識點

1.使學(xué)生會用平方差公式因式分解.

2.使學(xué)生學(xué)習(xí)多步驟，多方法的因式分解.

(二)能力訓(xùn)練要求

在導(dǎo)出平方差公式及對其特點進行辨析的過程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納和逆向思維的能力.

(三)情感與價值觀要求

通過綜合運用提公因式法、平方差公式進行因式分解，進一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察和聯(lián)想能力.

?教學(xué)重點

讓學(xué)生掌握多步驟、多方法因式分解方法.

?教學(xué)難點

讓學(xué)生學(xué)會觀察多項式的特點，恰當(dāng)?shù)匕才挪襟E，恰當(dāng)?shù)剡x用不同方法分解因式.

?教學(xué)方法

觀察一發(fā)現(xiàn)一運用法

?教學(xué)過程

一、提出問題，創(chuàng)設(shè)情境

問題：看訛算得快？(投影出示問題)

(1)假設(shè)a=101,b=99,那么a2-b2=

(2)能否用平方差公式把--25因式分解？

二、觀察分析，探究新知

回憶；因式分解與整式乘法的關(guān)系；

因式分解

a2-b2=========(a+b)(a-b)

整式乘法

(a+b)(a-b)=========a2-b2

說明：從左到右是因式分解，其特點是：由和差形式(多項式)轉(zhuǎn)化成整式的積的形式；從右到左是整

式乘法，其特點是：由整式積的形式轉(zhuǎn)化成和差形式(多項式)。

結(jié)論：因式分解與整式乘法正好相反。

像上述例子那樣，把乘法公式從右到左使用，可以把某些類型的多項式因式分解，這種方法叫作公

式法°

三、例題教學(xué)，運用新知：

例1:把以下各式分解因式

(1)4%2-/

(2)25/-2y2

4-

(3)(x+y)2-(x-y+\)2

(4)x4-y4

師：該題的思路是什么？

生：由因式分解的平方差公式得出

師：明確公式中的a、b在這兒分別代表什么

解：(略)

變式訓(xùn)練，擴展新知(投影出示)

例2：把以下各式分解因式

(1)9(切+力)2—(加一力)2

(2)2/-8彳

(3)x3y2-x5

分析：(I)的思路是把(m+n)、(m-n)分別看成一個整體，運用整體的思想。

(2)引導(dǎo)學(xué)生體會多項式中假設(shè)有公因式，就要先提取公因式

探究：

在系數(shù)為實數(shù)的多項式組成的集合中，龍？-2能表示成兩個多項式的乘積的形式嗎？

注意：本書中沒有特別說明，都是在系數(shù)為有理數(shù)的多項式組成的集合中進行因式分解，

四、課堂小結(jié)：自己談本節(jié)課的收獲和體會

五、課外作業(yè)

書P141,2,5

教學(xué)后記：

第六課時

?課題

§1.3.2運用公式法(二)

?教學(xué)目標(biāo)

(-)教學(xué)知識點

1.使學(xué)生會用完全平方公式分解因式.

2.使學(xué)生學(xué)習(xí)多步驟，多方法的分解因式.

(二)能力訓(xùn)練要求

在導(dǎo)出完全平方公式及對其特點進行辨析的過程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納和逆向思維的能力.

(三)情感與價值觀要求

通過綜合運用提公因式法、完全平方公式因式分解，進一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察和聯(lián)想能力.

?教學(xué)重點

讓學(xué)生掌握多步驟、多方法因式分解的方法.

?教學(xué)難點

讓學(xué)生學(xué)會觀察多項式的特點，恰當(dāng)?shù)匕才挪襟E，恰當(dāng)?shù)剡x用不同方法分解因式.

?教學(xué)方法

觀察一發(fā)現(xiàn)一運用法

?教學(xué)過程

I.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

［師］我們知道，因式分解是整式乘法的反過程，倒用乘法公式，我們找到了因式分解的兩種方法:

提取公因式法、運用平方差公式法.現(xiàn)在，大家自然會想，還有哪些乘法公式可以用來分解因式呢？

在前面我們小僅學(xué)習(xí)了半方差公式

(a+b)(a—b)=(r-b2

而且還學(xué)習(xí)了完全平方公式

(a±b)2=(r±2ab+tr

本節(jié)課，我們就要學(xué)習(xí)用完全平方公式分解因式.

n.新課

1.推導(dǎo)用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特點.

［師］由因式分解和整式乘法的關(guān)系，大家能否猜測出用完全平方公式分解因式的公式呢？

［生］可以.

將完全平方公式倒寫：

a2+2ab+b2=(a+b)2;

(r—2ab+b2=(a-b)2.

便得到用完全平方公式分解因式的公式.

［師］很好.那么什么樣的多項式才可以用這個公式分解因式呢？請大家互相交流，找出這個多項式

的特點.

［生］從上面的式子來看，兩個等式的左邊都是三項，其中兩項符號為“+”，是一個整式的平方，

還有一項符號可“+”可“一”，它是那兩項乘積的兩倍.凡具備這些特點的三項式，就是一個二項式的

完全平方，將它寫成平方形式，便實現(xiàn)了因式分解.

［師］左邊的特點有(1)多項式是三項式；

(2)其中有兩項同號，且比兩項能寫成兩數(shù)或兩式的平方和的形式：

(3)另一項為哪一項這兩數(shù)或兩式乘枳的2倍.

右邊的特點：這兩數(shù)或兩式和(差)的平方.

用語言表達為：兩個數(shù)的平方和，加上(或減去)這兩數(shù)的乘積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)

的平方.

形如片+240+02或2出汁。2的式子稱為完全平方式.

由分解因式與整式乘法的關(guān)系可以看出，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分

解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法.

投影

―練練

以下各式是不是完全平方式？

(I)o2—4〃+4;

(2)f+41+4優(yōu)

(3)4a2+2ab+-b\

4

(4)t?—ab+/；

(5)x2—6A—9;

(6)H+a+0.25.

L師」判斷一個多項式是否為完全平方式，要考慮三個條件，項數(shù)是三項；其中有兩項同號且能寫

成兩個數(shù)或式的平方；另一項為哪一項這兩數(shù)或式乘積的2倍.

2.例題講解

［例1］把以下完全平方式分解因式：

(1)f+14x+49;

(2)(m+n)2-61，〃+〃)+9.

［師］分析：大家先把多項式化成符合完全平方公式特點的形式，然后再根據(jù)公式分解因式.公式中

的〃力可以是單項式，也可以是多項式.

［例2］把以下各式分解因式：

(1)3加+6”?+34)2；

(2)一f-4y2+4不，.

［師］分析?：對一個三項式，如果發(fā)現(xiàn)它不能直接用完全平方公式分解時，要仔細觀察它是否有公

因式，假設(shè)有公因式應(yīng)先提取公因式，再考慮用完全平方公式分解因式.

如果三項中有兩項能寫成兩數(shù)或式的平方，但符號不是“+”號時，可以先提取“一”號，然后再

用完全平方公式分解因式.

［例3］把以下各式分解因式：

Q

(I)X2-3X+-

4

(2)9x?+12x+4

(3)-4-+12孫-9y2

(4)a45+2a2b-^b2

(5)X4-2X2+1

HL課堂練習(xí)

P171,2

IV.課時小結(jié)

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了用完全平方公式因式分解.它與平方差公式不同之處是：

(1)要求多項式有三項.

(2)其中兩項同號，且都可以寫成某數(shù)或式的平方，另一項那么是這兩數(shù)或式的乘積的2倍，符

號可正可負.

同時，我們還學(xué)習(xí)了假設(shè)一個多項式有公因式時，應(yīng)先提取公因式，再用公式因式分解.

V.課后作業(yè)

書P171,2(雙數(shù)題)

活動與探究

寫出一個三項式，再把它分解因式(要求三項式含有字母“和〃，分數(shù)、次數(shù)不限，并能先用提公

因式法，再用公式法分解因式.

分析：此題屬于答案不固定的開放性試題，所構(gòu)造的多項式同時具備條件：①含字母。和岳②三

項式：③可提公因式后，再用公式法分解.

參考答案：

4“6-4//+,活3

=ab(4/—4出?+6)

=ab⑵一如2

教學(xué)后記：

第七課時

?課題

§1.4小結(jié)與更習(xí)

?教學(xué)目標(biāo)

(-)教學(xué)知識點

I.復(fù)習(xí)因式分解的概念，以及提公因式法，運用公式法因式分解的方法，使學(xué)生進一步理解有關(guān)概

念，能靈活運用上述方法因式分解.

2.熟悉本章的知識結(jié)構(gòu)圖.

(-)能力訓(xùn)練要求

通過知識結(jié)構(gòu)圖的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力，在例題的教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題

的能力.

(三)情感與價值觀要求

通過因式分解綜合練習(xí)，提高學(xué)生觀察、分析能力；通過應(yīng)用因式分解方法進行簡便運算.培養(yǎng)學(xué)生

運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識.

?教學(xué)重點

復(fù)習(xí)綜合應(yīng)用提公因式法，運用公式法因式分解.

?教學(xué)難點

利用因式分解進行計算及討論.

?教學(xué)方法

引導(dǎo)學(xué)生自覺進行歸納總結(jié).

?教學(xué)過程

I.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

［師］前面我們已學(xué)習(xí)了醫(yī)式分解概念，提公因式法因式分解,運用公式法因式分解的方法，并做了一

些練習(xí).今天，我們來綜合總結(jié)一下.

II.新課講解

(一)討論推導(dǎo)本章知識結(jié)構(gòu)圖

［師］請大家先回憶一下我們這一章所學(xué)的內(nèi)容有哪些？

［生］(1)有因式分解的意義,提公因式法和運用公式法的概念.

(2.1因式分解與多項式乘法的關(guān)系.

(3)因式分解的方法.

［師］很好.請大家互相討論，能否把本章的知識結(jié)構(gòu)圖繪出來呢？(假設(shè)學(xué)生有困難，教師可給予幫助)

［生］

(二)重點知識講解

［師］下面請大家把重點知識回憶一下.

1.舉例說明什么是因式分解.

［生］如15xV+5f)，-20的#=5/)，(3441一4)2)

把多項式15回>2+5/)，一20.F)3分解成為因式與39+1—4尸的乘積的形式，就是把多項式

l5Ay+5^>-20,^因式分解.

［師］學(xué)習(xí)因式分解的概念應(yīng)注意以下幾點：

(1)因式分解是一種恒等變形，即變形前后的兩式恒等.

(2)把一個多項式因式分解應(yīng)分解到每一個多項式都不能再分解為止.

2.因式分解與整式乘法有什么關(guān)系？

［生］因式分解與整式乘法是兩種方向相反的變形.

如:ma+mb+mc=m(a+b+c)

從左到右是因式分解,從右到左是整式乘法.

3.因式分解常用的方法有哪些？

［生］提公囚式法和運用公式法.可以分別用式子表示為：

ma+mb+mc=m(a+b+c)

一戶=(a+b)ta~b)

cr±2ab+b2=(a±b)2

4.例題講解

投影片

［例1］以下各式的變形中，哪些是因式分解?哪些不是?說明理由.

(1)AT+3X+4=(X+2］(X+1)+2

(2)6上/=3.叮?2"

(3)(3x-2)(2x+l)=6?-x-2

(4)4ab+2ac=2a(2b+c)

［師］分析：解答此題的依據(jù)是因式分解的定義，即把一個多項式化成幾個整式的積的形式是因式

分解，否那么不是.

［生］解：(1)不是因式分解，因為右邊的運算中還有加法.

(2)不是因式分解，因為不是多項式而是單項式,其本身就是積的形式，所以不需要再因式分解.

(3)不是因式分解，而是整式乘法.

(4)是因式分解.

投影片

［例2］將以下各式因式分解.

(1)8/護一4//+2/戶；

(2)-9血18-2"-27a3護;

(4)9(x+y)2—4(x—y)2;

(5)/-25.?r;

(6)4f-20沖+25)，2;

(7)ta+b}2+10c(a+b)+25c2.

投影片?(§2.6。

［例3］把以下各式因式分解：

(1)xy-?/；

(2)16^4-72rr+81.y4;

［師］從上面的例題中，大家能否總結(jié)一下因式分解的步驟呢?

［生］可以.

因式分解的一般步驟為：

(1)假設(shè)多項式各項有公因式,那么先提取公因式.

(2)假設(shè)多項式各項沒有公因式，那么根據(jù)多項式特點，選用平方差公式或完全平方公式

(3)每一個多項式都要分解到不能再分解為止.

HI.課堂練習(xí)

1.把以下各式因式分解

(1)16/—魴2；

(2)(f+4)2—5+3)2.

(3)—4(r—9h2+\2ab;

(4)(x+y)2+25-10(x+y)

2.利用因式分解進行計算

4j

(1)9『+12不，+4)，淇中—一,)，=--;

32

小、/。+匕、■5,a-b、?，廿―1,/

(2)(-------)2-(--------)［其中“一一。二2.

228

IV.課時小結(jié)

1.師生共同I可憶,總結(jié)因式分解的意義，因式分解的方法及一般步驟,其中要特別指出:必須使每一個因

式都不能再進行因式分解.

2.利用因式分解簡化某些計算.

V.課后作業(yè)

復(fù)習(xí)題A組

VI.活動與探究

求滿足4.F—9爐=31的正整數(shù)解.

分析:因為4f—9y2可分解為(2x+3.y)(2x-3y)(x、y為王整數(shù))，而31為質(zhì)數(shù).

2x+3y=3\或2-3k1

所以有

2x-3y=i2x-3y=3\

解：?.?4?—9)2=31

???⑵+3y)⑵-3y)=1X31

2x+3y=31\2x+3y=\

SyV

2x-3y=\2x-3y=31

解得產(chǎn)8x=8

或＜

b=5)7

因所求x、y為正整數(shù)，所以只取尸8,尸5.

?板書設(shè)計

§2.6回憶與思考

一、1.討論推導(dǎo)本章知識結(jié)構(gòu)圖

2.重點知識講解

(1)舉例說明什么是因式分解.

(2)因式分解與整式乘法有什么關(guān)系？

(3)因式分解常用的方法有哪些？

(4)例題講解

例1、例2、例3

(5)因式分解的一般步驟

二、課堂練習(xí)

三、課時小結(jié)

四、課后作業(yè)

教學(xué)后記:

第二章分式

第一課時

教學(xué)內(nèi)容：2.1分式(1)

教學(xué)目標(biāo)：

1、能根據(jù)分式的概念，區(qū)分出分式，理解當(dāng)分母為零時，分式無意義。

2、能確定分式中字母的取值范圍，使分式有意義，或使分式的值為零。

3、會用分式表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系，并會求分式的值，體驗分式在實際中的價值。

教學(xué)重點：分式的有關(guān)概念

教學(xué)難點：理解并能確定分式何時有意義，何時無意義。

教學(xué)過程：

1.創(chuàng)設(shè)情景，引出課題。

1.出示,2的情境問題，用代數(shù)式表示耕地變林地的面積。

2.觀察代數(shù)式的特點，引入分式的定義。

3.設(shè)計說明：通過創(chuàng)設(shè)情景，讓學(xué)生感受到分式來源于實際，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

khHL—b2x-3a-b

教師再出小一些如：一，------，-----

ax+2c

讓學(xué)生比擬說出這些代數(shù)式與過去學(xué)過的整式有什么不同？(可能學(xué)生只講出有分母，教師應(yīng)

適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)J

設(shè)計說明：讓學(xué)生自己感悟分式與整式的不同，培養(yǎng)學(xué)生歸納和表達能力。

4.1板書)分式：把這些分子、分母都是整式且分母中含有字母的代數(shù)式叫做分式。

二.合作討論，探求新知

做一做：

1、以下代數(shù)式中，哪些是整式？哪些是分式？

32b3x+2ya+b

2fFa+T*5，-ab"

2、議一議：分式晟的分母中的字母能取任何實數(shù)嗎？為什么？

0

2X-3

分式B中的字母X呢？

總結(jié)得出分式的意義：分式中字母的取值不能使分母為零，當(dāng)分母的值為零時，分式就沒有意義。

設(shè)計說明：通過與整式比擬突出對分式概念的理解。通過討論，加深學(xué)生對分式意義的認識。

三.應(yīng)用穩(wěn)固，掌握新知

例1:對分式黑

3x-5

(1)當(dāng)x取什么數(shù)時，分式有意義？

(2)當(dāng)x取什么值時，分式的值為零？

⑶當(dāng)X=1時，分式的值是多少？

設(shè)計說明：這是課本中的例題，i那么是應(yīng)用新知，二那么是經(jīng)歷解題過程，三那么讓學(xué)生體會

解此題的關(guān)鍵。

練一練：1課內(nèi)練習(xí)1）填空：

（1）當(dāng)_____時，分式L無意義。

X

（2）當(dāng)時，分式照有意義。

*AO

（3）當(dāng)______時，分式3VY-值Q是零。

x-2

設(shè)計說明：給學(xué)生展現(xiàn)身手的時機，加強學(xué)生對什么情況下分式有意義，無意義，值為零的理解。

做一做：

例2：甲、乙兩人從一條公路上某處出發(fā)，同向而行，甲每時行a千米，乙每時行b千米，a>b,

如果乙提前1時出發(fā)，那么甲追上乙需要多少時間？當(dāng)@=卜b=5時，求甲追上乙所需的時間。

分析：此題是行程問題中的追及問題，小學(xué)里學(xué)過

、白路程差（追及路程）\Bri-T

追及時間=----速發(fā)六------,此題中把字母代入即可。

第二問題是求分式的值，注意解題格式。

想一想：假設(shè)取a=5,b=5,分式々有意義嗎？它們表示的實際意義是什么？

a-b

（當(dāng)a=5,b=5時，分式」、無意義，它表示甲永遠也追不上乙）。

a-b

解后反思：在用分式表示實際問題時，字母的取值一定要符合實際。

練一練：（課內(nèi)練習(xí)2）日、乙兩人分別從A、B兩地出發(fā)，相向而行，甲的速度為W千米/時，

乙的速度為丫2千米/時，A、B兩地相距20千米，假設(shè)甲先出發(fā)1時，問乙出發(fā)后幾時與甲相遇？

四.合作探究，延伸提高

探究題：1課內(nèi)練習(xí)）口袋里裝有假設(shè)十個白球和黑球，這些球除顏色外均相同，設(shè)黑球的個數(shù)為

n,白球的個數(shù)為（18-m）個，p表不從口袋中摸出一個球，是白球的概率。

（1）你能用關(guān)于m、n的代數(shù)式來表示p嗎？它是哪一類的代數(shù)式。

（2）這個代數(shù)式在在什么條件下有意義？

（3）p有可能為。嗎？有可能為1嗎？如果有可能，請解釋它的實際意義。

設(shè)計說明：通過合作探究，讓學(xué)生體會到門）分式的應(yīng)用很廣，（2）在用分式表示實際問題時，

字母的取值一定要符合實際。

五.清點收獲

由教師開出清單，學(xué)生進行清點

1.分式的概念；

2.什么情況下分式有意義、無意義，分式的值為零。

3.在實際問題中應(yīng)注意什么？

設(shè)計說明：為了防止學(xué)生亳無目的、流于形式的隨意講，由教師根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)開出清單，

可使學(xué)生有的放矢。

六.作業(yè)：課后作業(yè)題。

教學(xué)反思：

第二課時

教學(xué)內(nèi)容：2.1分式（2）

教學(xué)目標(biāo)：

1、通過類比分數(shù)的根本性比,說出分式的根木性質(zhì),并能用字母表示。

2、理解并掌握分式的根本性質(zhì)和符號法那么。

3、能運用分式的根本性質(zhì)和符號法那么對分式進行變性和約分。

教學(xué)重點：分式的根本性質(zhì)及利用根本性質(zhì)進行約分.

教學(xué)難點：對符號法那么的理解和應(yīng)用及當(dāng)分子、分母是多項式時的約分。

教學(xué)過程：

一.類比引入，探求新知

下面這些式子成立嗎？依據(jù)是什么？

2_2X5_1016_164-2_8

7=3X5=1542=42+2=51

待學(xué)生講出分數(shù)的根本性質(zhì)后，再讓學(xué)生講出分數(shù)的根本性質(zhì)的內(nèi)容。

類似地，分式也有以下根本性質(zhì)：

（板書）分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變。（并舉例對性

質(zhì)中的關(guān)鍵詞：都、同一個、不等于0的整式加以理解）

用式子表示為臺會j,於言（其中M是不等于零的整式）

二.應(yīng)用新知，穩(wěn)固新知

想一想：以下等式成立嗎？為什么？

-aa-aaa

-bbb--bb

先讓學(xué)生討論，待學(xué)生答復(fù)后，教師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論板書）分子、分母與分式本身的符號，改

變其中任何兩個，分式的值不變。

做一做：〔課內(nèi)練習(xí)）1、不改變分式的值，把以下各式的分子與分母中的各項子數(shù)都化為整數(shù)。

1

x可

0.2a+0.5b

(1)⑵

10.7a-b

/y

2、小改變分式的值,把以下分式的分子與分母的最高次項的系數(shù)都化為止數(shù)。

,、-2X-1（2）與匚

（1）-r

X-1

-X+2

練一練：課內(nèi)練習(xí):P251、2

設(shè)計說明：目的是應(yīng)用和穩(wěn)固分式的根本性質(zhì)及符號法那么。

做一做:

例3：化簡以下各式:

⑴-8ab'ca'+4a+4

⑴T2a2b⑵-a2+4

教學(xué)建議：教師可以先寫出一個能約分的分數(shù)，讓學(xué)生化簡，并指出化簡的實質(zhì)：是約分（學(xué)生應(yīng)

該能講出的）。比照分數(shù)的億簡讓學(xué)生試著完成例3。（教師巡視過程中應(yīng)對根底弱的學(xué)生加以引導(dǎo)）

教師引導(dǎo)學(xué)生反思：1、例題化簡過程的依據(jù)是什么？