24.1 圓的有關(guān)性質(zhì)2（知識(shí)梳理+典型例題）

24.1圓的有關(guān)性質(zhì)（2）?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓24.1圓的有關(guān)性質(zhì)（2）?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓按住ctrl并單擊，可訪問相關(guān)題型鏈接按住ctrl并單擊，可訪問相關(guān)題型鏈接【題型1】弧、弦、圓心角的綜合應(yīng)用 3【題型2】圓周角、圓周角定理及應(yīng)用 8【題型3】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 11知識(shí)點(diǎn)1：弧、弦、圓心角1．圓心角：我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．2．弧、弦、圓心角之間的關(guān)系（1）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等．在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧分別相等．3．拓展（1）圓心到弦的距離叫做弦心距．有關(guān)弦的問題常常添加圓心到弦的垂線作為輔助線．（2）在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中如果有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．知識(shí)點(diǎn)2：圓周角1．圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：同一條弧所對(duì)的圓周角有無數(shù)個(gè)，圓心角只有一個(gè)．2．圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．推論：（1）同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．（2）半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．知識(shí)點(diǎn)3：圓內(nèi)接多邊形及性質(zhì)1．概念如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O是四邊形ABCD的外接圓．注意：（1）所有的三角形都有外接圓，但不是所有的四邊形都有外接圓；（2）四邊形外接圓的圓心到這個(gè)四邊形各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，都等于外接圓的半徑；（3）如果四邊形各個(gè)頂點(diǎn)到某一點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)圓上（四點(diǎn)共圓）．2．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：（1）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．（2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）．1．圓中證明弧、弦、圓心角相等或倍分關(guān)系的方法：在圓中證明弧、弦、圓心角的相等或倍分關(guān)系時(shí)，應(yīng)從同類型元素（指弧、弦、角）的相等或倍分關(guān)系入手，轉(zhuǎn)化為另一種元素的相等或倍分關(guān)系，從而得到問題的結(jié)論．2．圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．3．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．【題型1】弧、弦、圓心角的綜合應(yīng)用例1例1（2024?華鎣市模擬）如圖，是的弦，于點(diǎn)，若，，則弦的長(zhǎng)為A．4 B． C． D．【答案】【分析】在中，由，解直角三角形求得，然后利用垂徑定理解答即可．【解答】解：于，，在中，，，，．故選：．?點(diǎn)撥?（1）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（2）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．【變式1】（2024?汕頭一模）圓的一條弦把圓分為度數(shù)比為的兩條弧，則弦心距與弦長(zhǎng)的比為A． B． C． D．【變式2】（2024?仁懷市模擬）如圖，半徑為5的中，弦，所對(duì)的圓心角分別是，，若，，則弦的長(zhǎng)等于A．8 B．10 C．11 D．12【變式3】（2024?南山區(qū)二模）如圖，圓的半徑是4，是弦，且是弧的中點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為A． B． C．4 D．61．【分析】根據(jù)已知條件得到弦所對(duì)的圓心角；求得是等腰直角三角形，過作于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：弦將分成了度數(shù)比為兩條弧．則弦所對(duì)的圓心角；是等腰直角三角形，過作于，，弦心距與弦長(zhǎng)的比為，故選：．2．【答案】【分析】作直徑，連接，先利用等角的補(bǔ)角相等得到，然后再根據(jù)同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等得到，再利用勾股定理，繼而求得答案．【解答】解：作直徑，連接，如圖，則，，而，，，，．解法二：如圖，過點(diǎn)作于，于．，，，，，，，，，，，，，，，，．故選：．3．【答案】【分析】連接，，，根據(jù)圓周角定理得，根據(jù)，得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：如圖，連接，，，，，是弧的中點(diǎn)，，，，是等邊三角形，．故選：．【題型2】圓周角、圓周角定理及應(yīng)用例2例2（2024?重慶模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC，BD，CD是⊙O的弦．若∠D＝30°，AB＝4，則弦AC的長(zhǎng)度為（）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理，得到∠ACB＝90°，進(jìn)而利用勾股定理即可得解．【解答】解：如圖，連接BC，∵AB是⊙O的直徑，AC，BC是⊙O的弦，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠D＝30°，∴，∴；故選：D．?點(diǎn)撥?1．在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．2．注意：（1）圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．（2）圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”圓心角轉(zhuǎn)化．（3）定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．3．圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．【變式4】（2024?涼州區(qū)二模）如圖，在中，，則的大小是A． B． C． D．【變式5】（2023秋?日喀則市期末）如圖，點(diǎn)、、在上，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【變式6】（2024?貴港二模）如圖，是圓的直徑，是圓的弦，，則等于A． B． C． D．4．【答案】【分析】直接利用圓周角定理求解．【解答】解：和都對(duì)，．故選：．5．【答案】【分析】利用圓周角定理求解即可．【解答】解：，，，故選：．6．【答案】【分析】首先根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等求得角的度數(shù)，然后再求得的度數(shù)即可．【解答】解：是直徑，，，，，故選：．【題型3】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)例3例3（2024?宣恩縣三模）如圖，等腰內(nèi)接于，，點(diǎn)是上的點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若的半徑為5，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）由四邊形為圓內(nèi)接四邊形，得到，結(jié)合，得到，，即可求解，（2）作，，由為的垂直平分線，得到，根據(jù)勾股定理，，根據(jù)平行線截線段成比例，得到，依次求出，，，根據(jù)勾股定理，即可求解，【解答】（1）證明：點(diǎn)，，，均在上，四邊形為圓內(nèi)接四邊形．．又，．又，．又，，．（2）解：作于，又，為的垂直平分線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，為的垂直平分線，點(diǎn)在上，，，，，，．又，，，，，，故答案為：．?點(diǎn)撥?圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：（1）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；（2）四個(gè)內(nèi)角的和是360°；（3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于其內(nèi)對(duì)角．【變式7】（2024?金寨縣模擬）如圖，四邊形內(nèi)接于，平分，交于點(diǎn)．（1）如圖1，求證：．（2）如圖2，若經(jīng)過圓心，且，，求的長(zhǎng)．【變式8】（2023秋?互助縣期末）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，，求的度數(shù)．【變式9】（2024?益陽二模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求的度數(shù)；（2）求證：四邊形是菱形．7．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）由角平分線的定義可得，即可得出，結(jié)合圓周角定理推出，由相似三角形的性質(zhì)可得，即可得證；（2）由圓周角定理結(jié)合角平分線的定義得出，從而得出，推出，由勾股定理得出，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)得出，作于，求出、的長(zhǎng)，即可得解．【解答】（1）證明：平分，，，，，，，；（2）解：為直徑，，平分，，，，在中，，，，在中，，，，作于，，在中，，，，在中，，，，．8．【答案】．【分析】由圓周角定理得到，求出，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)推出，即可得到．【解答】解：是圓的直徑，