2024-2025學年四川省名校聯(lián)考高三（上）第一次診斷數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年四川省名校聯(lián)考高三（上）第一次診斷數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.集合A={x|x≤?1或x≥2}，B={x|2x?1≥2?x}，則A∩B=(

)A.(x|x≤?1或x≥1} B.{x|x≥1}

C.{x|x≤?1或x≥2} D.{x|x≥2}2.在復平面內，復數(shù)z=(a?2)+(1+2a)i對應的點位于第二象限，則實數(shù)a的取值范圍為(

)A.(?12,2) B.(?∞,?12)3.已知x∈R，設甲：sinx≥32；乙：π3A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件4.已知平面向量a=(?1,3)，b=(?3,1)A.(?3,0) B.(?32,325.在2024年巴黎奧運會上，我國網球選手鄭欽文歷經6場比賽，勇奪巴黎奧運會女子網球單打冠軍，書寫了中國網球新的歷史.某學校有2000名學生，一機構在該校隨機抽取了800名學生對鄭欽文奧運會期間6場單打比賽的收看情況進行了調查，將數(shù)據(jù)分組整理后，列表如下：觀看場次0123456觀看人數(shù)占調查

人數(shù)的百分比15%5%5%m%10%15%4m%從表中數(shù)據(jù)可以得出的正確結論為(

)A.表中m的數(shù)值為15

B.觀看場次不超過3場的學生的比例為30%

C.估計該校觀看場次不超過2場的學生約為400人

D.估計該校觀看場次不低于4場的學生約為1300人6.已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a?cb+c=sinBsinA+sinC，則A.π6 B.π3 C.2π37.設雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為A.25 B.45 C.858.已知函數(shù)f(x)=(2x+a)(x?1)2x?1+1，且f(x+1)為偶函數(shù)，則滿足不等式A.(?∞,?1) B.(2,+∞)

C.(?1,2) D.(?∞,?1)∪(2,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=3sinxA.f(x)的最小正周期為4π

B.f(x)在(?11π6,π6)上單調遞增

C.f(x)的圖象關于直線x=?4π3對稱10.已知橢圓E：x22+y2=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1A.以橢圓E的長軸為直徑的圓的方程為x2+y2=2

B.以F1F2為直徑的圓與橢圓E有且僅有2個公共點

C.以F1為圓心，2?1為半徑的圓與橢圓E有11.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是線段BD的中點，點A.點P在平面BC1D上的射影不可能是點O

B.點P在平面BC1D上的射影到B，D兩點的距離相等

C.當點P與頂點A重合時，直線OP與平面BC1D所成角的正切值為2

D.當點三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知α∈(π2,π)，且sinα=45，則13.甲、乙、丙、丁、戊5人站成兩排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙須左右相鄰，丙不站前排，則不同的站法共有______種(用數(shù)字作答)．14.人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題，牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法，如圖，在橫坐標為x0的點處作f(x)的切線，該切線與x軸的交點為x1；f(x)在橫坐標為x1的點處的切線與x軸的交點為x2；一直繼續(xù)下去，得到x0，x1，x2，…，xn(n∈N?)，它們越來越逼近f(x)的零點r.在一定精確度下，用四舍五入法取值，當xn?1，xn近似值相等時，該值可作為函數(shù)f(x)的一個零點r.用“牛頓法”求方程x3?3四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……設各層球數(shù)構成一個數(shù)列{an}.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)設bn=16.(本小題15分)

已知某學校為提高學生課外鍛煉的積極性，開展了豐富的課外活動，為了解學生對開展的課外活動的滿意程度，該校隨機抽取了350人進行調查，整理得到如下列聯(lián)表：性別課外活動合計滿意不滿意男150100250女5050100合計200150350(1)根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，能否認為該校學生對課外活動的滿意情況與性別因素有關聯(lián)？

(2)從這350名樣本學生中任選1名學生，設事件A=“選到的學生是男生”，事件B=“選到的學生對課外活動滿意”，比較P(B|A)和P(B|A?)的大小，并解釋其意義．

α0.10.050.01x2.7063.8416.63517.(本小題15分)

如圖，在幾何體ABCDEFG中，四邊形ABCD是梯形，AD//BC，AB⊥AD，AC與BD相交于點N，DE⊥平面ABCD，DE//AF//BG，H是DE的中點，DE=AD=2，AF=BG=AB=BC=1．

(1)點P在FH上，且FP=13FH，證明：NP/?/平面EFC；

(2)求二面角E?FC?G18.(本小題17分)

已知F為拋物線E：y2=4x的焦點，過點F的直線與拋物線E相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1<x2)兩點．

(1)證明：x1x2是常數(shù)；

(2)過點F作直線AB的垂線l與拋物線E的準線相交于點P，與拋物線19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ex?ax3?3ax2．

(1)若a=?1，求函數(shù)y=f(x)?ex的極值；

(2)若x≥0，f(x)≥x+1，求實數(shù)a的取值范圍；

參考答案1.D

2.A

3.B

4.B

5.D

6.C

7.B

8.C

9.AC

10.ABD

11.BCD

12.213.20

14.3.3

15.解：(1)由“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……，

設各層球數(shù)構成一個數(shù)列{an}.可知a1=1，a2=a1+2，a3=a2+3，……，

an=an?1+n，n≥2，

當n≥2時，an=a1+(a2?16.解：(1)提出零假設H0：該校學生對課外活動的滿意情況與性別因素無關聯(lián)，

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到χ2=350×(150×50?50×100)2200×150×250×100=3512≈2.917<3.841=x0.05，

所以根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，

即認為該校學生對課外活動的滿意情況與性別因素無關聯(lián)；

(2)依題意得，P(A)=250350=57，P(17.(1)證明：因為DE⊥平面ABCD，DE/?/AF，所以AF⊥平面ABCD，

以點A為原點，AB，AD，AF所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,0)，C(1,1,0)，E(0,2,2)，F(xiàn)(0,0,1)，P(0,23,1)，

因為AD//BC，所以ANNC=ADBC=2，所以AN=23AC=(23,23,0)，

而AP=(0,23,1)，所以NP=AP?AN=(?23,0,1)，

由FE=(0,2,1)，F(xiàn)C=(1,1,?1)，得NP=13FE?23FC，

所以向量NP，F(xiàn)E，F(xiàn)C共面，

又EF?平面EFC，F(xiàn)C?平面EFC，NP?平面EFC，

所以NP/?/平面EFC．

(2)解：由(1)知G(1,0,1)，F(xiàn)(0,0,1)，C(1,1,0)，E(0,2,2)，

所以FG=(1,0,0)，F(xiàn)C=(1,1,?1)，F(xiàn)E=(0,2,1)，

設平面GFC的法向量為m=(x1,y1,z118.解：(1)由已知，點F的坐標為(1,0)，且可設直線AB的方程為x=my+1，

聯(lián)立方程組x=my+1y2=4x，消去x，得y2?4my?4=0(?)，

因為Δ=(?4m)2?4×1×(?4)=16m2+16>0，

所以y1，y2為方程(?)的兩個實根，且y1y2=?4，

因為點A，B在拋物線E上，

所以x1x2=y124?y224=(y1y2)216=1，為常數(shù)；

(2)在題設條件下，直線AB，CD都不與坐標軸平行且m≠0，

由(1)可知直線l的方程為：x=?1my+1，

①因為拋物線E的準線方程為x=?1，

代入l的方程可得點P的坐標為(?1,2m)，

由(1)可知，y1y2=?4，x1x2=1，

y1+y2=4m，x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，

因此，PA?PB=(x1+1,y1?2m)?(x2+1,y2?2m)，

=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2?2m(y1+y2)+4m2

=1+4m2+2+1?4?8m2+4m2=0，

即PA?PB的值為0；

②|FA||FC|+|FB||FD|存在最小值，

設點C，D的坐標分別為C(x3,y3)，D(x4,19.解：(1)當a=?1時，f(x)=ex+x3+3x2，

令g(x)=f(x)?ex=x3+3x2，則g′(x)=3x2+6x=3x(x+2)，

當x<?2或x>2時g′(x)>0，當?2<x<0時，g′(x)<0，

所以g(x)在(?∞,?2)上單調遞增，(?2,0)上單調遞減，(0,+∞)上單調遞增，

所以當x=?2時，g(x)取得極大值g(?2)=4，

當x=0時，g(x)取得極小值g(0)=0．

(2)令?(x)=f(x)?(x+1)=ex?ax3?3ax2?x?1，

則?′(x)=ex?3ax2?6ax?1，且?′(0)=0，?(0)=0，

設u(x)=?′(x)=ex?3ax2?6ax?1，則u′(x)=ex?6ax?6a，

又令v(x)=u′(x)=ex?6ax?6a，則v′(x)=ex?6a，

①若v′(0)=1?6a<0，即a>16時，

由于v′(x)=ex?6a為單調遞增函數(shù)，且v′(ln(1+6a))=1>0，

所以?x0∈(0,ln(1+6a))，v′(x0)=0，

則0<x<x0時，v′(x)<0，

可知v(x)即u′(x)在區(qū)間(0,x0)上為減函數(shù)，則u′(x)≤u′(0)=1?6a<0，

故u(x)即?′(x)在區(qū)間(0,x0)上為減函數(shù)，則?′(x)≤?′(0)=0，

則?(x)在