湖南省岳陽縣2025屆高三下學期聯(lián)合考試數(shù)學試題含解析

湖南省岳陽縣2025屆高三下學期聯(lián)合考試數(shù)學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，，則的大小關系為（）A． B． C． D．2．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，則a，b，c的大小關系為（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c3．已知雙曲線：，，為其左、右焦點，直線過右焦點，與雙曲線的右支交于，兩點，且點在軸上方，若，則直線的斜率為()A． B． C． D．4．若與互為共軛復數(shù)，則（）A．0 B．3 C．－1 D．45．在正項等比數(shù)列{an}中，a5-a1=15，a4-a2=6，則a3=（）A．2 B．4 C． D．86．“角谷猜想”的內容是：對于任意一個大于1的整數(shù)，如果為偶數(shù)就除以2，如果是奇數(shù)，就將其乘3再加1，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的（）A．6 B．7 C．8 D．97．若集合，，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)f(x)=xex2+axeA．1 B．-1 C．a(chǎn) D．-a9．函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）的大致圖像為（）A． B． C． D．10．若直線與圓相交所得弦長為，則（）A．1 B．2 C． D．311．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若對，恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則________．14．已知，是互相垂直的單位向量，若與λ的夾角為60°，則實數(shù)λ的值是__．15．函數(shù)滿足，當時，，若函數(shù)在上有1515個零點，則實數(shù)的范圍為___________.16．雙曲線的左焦點為，點，點P為雙曲線右支上的動點，且周長的最小值為8，則雙曲線的實軸長為________，離心率為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，直線的的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點的極坐標為，直線經(jīng)過點．曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）過點作直線的垂線交曲線于兩點(在軸上方)，求的值.18．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為AB，BC的中點.（1）證明：平面平面；（2）求點到平面的距離.19．（12分）某商店舉行促銷反饋活動，顧客購物每滿200元，有一次抽獎機會（即滿200元可以抽獎一次，滿400元可以抽獎兩次，依次類推）.抽獎的規(guī)則如下：在一個不透明口袋中裝有編號分別為1，2，3，4，5的5個完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號一次比一次大（如1，2，5），則獲得一等獎，獎金40元；若摸得的小球編號一次比一次?。ㄈ?，3，1），則獲得二等獎，獎金20元；其余情況獲得三等獎，獎金10元.（1）某人抽獎一次，求其獲獎金額X的概率分布和數(shù)學期望;（2）趙四購物恰好滿600元，假設他不放棄每次抽獎機會，求他獲得的獎金恰好為60元的概率.20．（12分）已知函數(shù)．當時，求不等式的解集；，，求a的取值范圍．21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是棱上的點且，，，.求證：平面平面以；求二面角的大小.22．（10分）選修4-5：不等式選講設函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性，借助特殊值即可比較大小.【詳解】因為，所以.因為，所以，因為，為增函數(shù)，所以所以，故選：A.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性，利用單調性比較大小，屬于中檔題.2、A【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性直接求解．【詳解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小關系為b＞c＞a．故選：A．【點睛】本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．3、D【解析】

由|AF2|＝3|BF2|，可得.設直線l的方程x＝my+，m＞0，設，，即y1＝﹣3y2①，聯(lián)立直線l與曲線C,得y1+y2＝-②，y1y2＝③，求出m的值即可求出直線的斜率.【詳解】雙曲線C：，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，則F2（，0），設直線l的方程x＝my+，m＞0，∵雙曲線的漸近線方程為x＝±2y，∴m≠±2，設A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴，∴y1＝﹣3y2①由，得∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣4）＞0，即m2+4＞0恒成立，∴y1+y2＝②，y1y2＝③，聯(lián)立①②得，聯(lián)立①③得，，即：，，解得：，直線的斜率為，故選D．【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查向量知識，屬于中檔題．4、C【解析】

計算，由共軛復數(shù)的概念解得即可.【詳解】，又由共軛復數(shù)概念得：，.故選：C【點睛】本題主要考查了復數(shù)的運算，共軛復數(shù)的概念.5、B【解析】

根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】，，解得或（舍去）.故.故選：.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的計算，意在考查學生的計算能力.6、B【解析】

模擬程序運行，觀察變量值可得結論．【詳解】循環(huán)前，循環(huán)時：，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，滿足條件，退出循環(huán)，輸出．故選：B．【點睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結構，解題時可模擬程序運行，觀察變量值，從而得出結論．7、A【解析】

用轉化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定義求解即可．【詳解】解：由集合，解得，則故選：．【點睛】本題考查了并集及其運算，分式不等式的解法，熟練掌握并集的定義是解本題的關鍵．屬于基礎題．8、A【解析】

令xex=t，構造g(x)=xex，要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個不同的零點x1,x2,【詳解】令xex=t，構造g(x)=xex，求導得g'(x)=故g(x)在-∞,1上單調遞增，在1,+∞上單調遞減，且x<0時，g(x)<0，x>0時，g(x)>0，g(x)max=g(1)=1e，可畫出函數(shù)g(x)的圖象（見下圖），要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個不同的零點x1,x若a>0，即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4，即t1+t2=-a>4t1故選A.【點睛】解決函數(shù)零點問題，常常利用數(shù)形結合、等價轉化等數(shù)學思想.9、D【解析】由題意得，函數(shù)點定義域為且，所以定義域關于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故選D.10、A【解析】

將圓的方程化簡成標準方程,再根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標準方程,圓心坐標為,半徑為,因為直線與圓相交所得弦長為,所以直線過圓心,得,即.故選：A【點睛】本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法,屬于基礎題.11、A【解析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性求得，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，利用函數(shù)單調性求解不等式即可.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù).，即，又，所以，.函數(shù)的定義域為，所以，則函數(shù)在上為單調遞增函數(shù).又在上，，所以為偶函數(shù)，且在上單調遞增.由，可得，對恒成立，則，對恒成立，，得，所以的取值范圍是.故選：A.【點睛】本題考查利用函數(shù)單調性求解不等式，根據(jù)方程組法求函數(shù)解析式，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，屬壓軸題.12、D【解析】

利用交集的定義直接計算即可.【詳解】，故，故選：D.【點睛】本題考查集合的交運算，注意常見集合的符號表示，本題屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)雙曲線的標準方程寫出雙曲線的漸近線方程，結合題意可求得正實數(shù)的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于該雙曲線的一條漸近線方程為，，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎題.14、【解析】

根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算與單位向量的定義，列出方程解方程即可求出λ的值．【詳解】解：由題意，設（1，0），（0，1），則（，﹣1），λ（1，λ）；又夾角為60°，∴（）?（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．【點睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運算問題，是中檔題．15、【解析】

由已知，在上有3個根，分，，，四種情況討論的單調性、最值即可得到答案.【詳解】由已知，的周期為4，且至多在上有4個根，而含505個周期，所以在上有3個根，設，，易知在上單調遞減，在，上單調遞增，又，.若時，在上無根，在必有3個根，則，即，此時；若時，在上有1個根，注意到，此時在不可能有2個根，故不滿足；若時，要使在有2個根，只需，解得；若時，在上單調遞增，最多只有1個零點，不滿足題意；綜上，實數(shù)的范圍為.故答案為：【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)問題，涉及到函數(shù)的周期性、分類討論函數(shù)的零點，是一道中檔題.16、22【解析】

設雙曲線的右焦點為，根據(jù)周長為，計算得到答案.【詳解】設雙曲線的右焦點為.周長為：.當共線時等號成立，故，即實軸長為，.故答案為：；.【點睛】本題考查雙曲線周長的最值問題，離心率，實軸長，意在考查學生的計算能力和轉化能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）【解析】

(1)利用代入法消去參數(shù)可得到直線的普通方程，利用公式可得到曲線的直角坐標方程；(2)設直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入得，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，利用韋達定理可得結果.【詳解】（1）由題意得點的直角坐標為，將點代入得則直線的普通方程為.由得，即.故曲線的直角坐標方程為.（2）設直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入得．設對應參數(shù)為，對應參數(shù)為．則，，且.．【點睛】參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過選取相應的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關系式，等可以把極坐標方程與直角坐標方程互化，這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標方程，用直角坐標方程解決相應問題．18、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）通過證明面，即可由線面垂直推證面面垂直；（2）根據(jù)面，將問題轉化為求到面的距離，利用等體積法求點面距離即可.【詳解】（1）因為棱柱是直三棱柱，所以又，所以面又，分別為AB，BC的中點所以//即面又面，所以平面平面（2）由（1）可知////所以//平面即點到平面的距離等于點到平面的距離設點到面的距離為由（1）可知，面且在中，，易知由等體積公式可知即由得所以到平面的距離等于【點睛】本題考查由線面垂直推證面面垂直，涉及利用等體積法求點面距離，屬綜合中檔題.19、（1）分布見解析，期望為；（2）.【解析】

（1）先明確X的可能取值，分別求解其概率，然后寫出分布列，利用期望公式可求期望；（2）獲得的獎金恰好為60元，可能是三次二等獎，也可能是一次一等獎，兩次三等獎，然后分別求解概率即可.【詳解】（1）由題意知，隨機變量X的可能取值為10，20，40且，，所以，即隨機變量X的概率分布為X102040P所以隨機變量X的數(shù)學期望.（2）由題意知，趙四有三次抽獎機會，設恰好獲得60元為事件A，因為60＝20×3＝40＋10＋10，所以．【點睛】本題主要考查隨機變量的分布列及數(shù)學期望，明確隨機變量的所有取值是求解的第一步，再求解對應的概率，側重考查數(shù)學建模的核心素養(yǎng).20、（1）；（2）.【解析】

（1）當時，，①當時，，令，即，解得，②當時，，顯然成立，所以，③當時，，令，即，解得，綜上所述，不等式的解集為．（2）因為，因為，有成立，所以只需，解得，所以a的取值范圍為．【點睛】絕對值不等式的解法：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．21、證明見解析；.【解析】

推導出，，從而平面，由此證明平面平面以；以為原點，建立空間直角坐標系，利用法向量求出二面角的大小.【詳解】解：，，為的中點，四邊形為平行四邊形，.,，即.又平面平面，且平面平面，平面.平面，平面平面.，為的中點，.平面平面，且平面平面，平面.如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則平面的一個法向量為，，，，，設，則，，，，，在平面中，，，設平面的法向量為，則，即，平面的一個法向量為，，由