2025版零基礎(chǔ)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第01講 等式與不等關(guān)系

第01講等式與不等關(guān)系1.等式的性質(zhì)條件結(jié)論性質(zhì)1:如果a=b性質(zhì)2:如果a=b,b=c那么a=c性質(zhì)3:如果a=b那么a±c=b±c性質(zhì)4:如果a=b那么ac=bc性質(zhì)5:如果a=b,c≠0那么2.不等式的基本性質(zhì)條件結(jié)論性質(zhì)1:對稱性如果a>b性質(zhì)2:傳遞性如果a>b,b>c那么a>c性質(zhì)3:可加性如果a>b那么a±c>b±c性質(zhì)4:可乘性如果a>b,c>0那么ac>bc性質(zhì)5:加法法則如果a>b,c>d那么a+c>b+d性質(zhì)6:乘法法則性質(zhì)7:乘方法則如果a>b>0那么a">b">0性質(zhì)8:開方法則如果a>b>0那么Na>"b>03.比較兩式大小的常見方法：作差法、作商法作差法：作差是兩式比較大小的常用方法，基本步驟如下：第一步：作差；第二步：變形，常采用配方，因式分解等恒等變形手段；第二步：變形，常采用配方，因式分解等恒等變形手段；第三步：定號，重點(diǎn)是能確定是大于0,還是等于0,還是小于0.最后得結(jié)論.概括為“三步，一結(jié)論”,這里的“變形”一步最為關(guān)鍵.里的“變形”一步最為關(guān)鍵.注1:有的問題直接作差不容易判斷其符號，這時(shí)可根據(jù)兩式的特點(diǎn)考慮先變形，到比較易于判斷符號時(shí)，再作差，予以比較；作差，予以比較；注2:含參不等式的大小判斷要注意符號問題，具體根據(jù)不等式性質(zhì)判斷.注意分類合理恰當(dāng).作商法：注注：在兩式無法確定正負(fù)號或是否可能為0的情況下無法適用.作商法的基本步驟是：①求商，②變形，③與1比大小從而確定兩個(gè)數(shù)的大小.例題1.某公司準(zhǔn)備對一項(xiàng)目進(jìn)行投資，提出兩個(gè)投資方案：方案A為一次性投資300萬；方案B為第一年投資80萬，以后每年投資20萬.下列不等式表示“經(jīng)過n年之后，方案B的投入不大于方案A的投入”的是()A.80+20n≥300B.80+20n≤300c.80+20(n-1)≥300D.80+20(n-1)≤300【分析】由不等關(guān)系求解即可.【詳解】經(jīng)過n年之后，方案B的投入為80+20(n-1),故經(jīng)過n年之后，方案B的投入不大于方案A的投入，即80+20(n-1)≤300題型歸類練寬、高分別為a、b、c(單位：cm),這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為()A.a+b+c≤MB.a+b+c>M【分析】根據(jù)長、寬、高的和不超過Mcm可直接得到關(guān)系式.【詳解】∵長、寬、高之和不超過Mcm,2.某學(xué)生月考數(shù)學(xué)成績x不低于100分，英語成績y和語文成績z的總成績高于200分且低于240分，用不等式組表示為()【分析】利用題設(shè)條件即得.【詳解】數(shù)學(xué)成績x不低于100分表示為x≥100,英語成績y和語文成績z的總成績高于200分且低于240分表示為200<y+z<240,即(2)如果a<b<0,那么下面不等式一定成立的是()A.a-b>0B.ac<bcA.a2>b2c.|a|>|6|又a2-b2=(a-b)(a+b),所以a2-b2>0,所以a2>b2成立，,所以2.若a,b,c為實(shí)數(shù)，且a<b,則下列不等關(guān)系一定成立的是()A.ac2<bc2C.ab<b2D.a+c<b+c【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合特例法逐一判斷即可.例題1.下列四個(gè)代數(shù)式①4mn,②m2+4n2,③4m2+n2,④m2+n2,若m>n>0,則代數(shù)式的值最大的【答案】③【分析】利用作差法比較大小即可.【詳解】∵m>n>0,令②-①得：m2+4n2-4mn=(m-2n2>0,∴②>①,令③-②得：4m2+n2-m2-4n2=3m2-3n2>0,∴③>②,令③-④得：4m2+n2-m2-n2=3m2>0,∴③>④,∴代數(shù)式的值最大的是③.故答案為：③例題2.已知c>1,且x=√c+1-√c,y=√c-√c-1,則x,y之間的大小關(guān)系是()A.x>yB.x=yC.x<yD.x,y的關(guān)系隨c而定【詳解】由題設(shè)，易知x,y>0,又1.(多選)對于實(shí)數(shù)a,b,c,正確的命題是()【答案】ABD【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對選項(xiàng)A,因?yàn)閍>b,所以對選項(xiàng)C,令a=2,b=3,滿足,不滿足a>0,b<0.2.隨著社會(huì)的發(fā)展，小汽車逐漸成了人們?nèi)粘５慕煌üぞ?小王在某段時(shí)間共加92號汽油兩次，兩次加油單價(jià)不同.現(xiàn)在他有兩種加油方式：第一種方式是每次加油200元，第二種方式是每次加油30升.我們規(guī)定這兩次加油哪種加油方式的平均單價(jià)低，哪種就更經(jīng)濟(jì)，則更經(jīng)濟(jì)的加油方式為()A.第一種B.第二種C.兩種一樣D.不確定【答案】A【分析】設(shè)第一次的油價(jià)為x?,第二次的油價(jià)為x?,且x?≠x?,計(jì)算出兩種加油方式的平均油價(jià)，比較大小后可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)第一次的油價(jià)為x?,第二次的油價(jià)為x2,且x?≠x?,第一種加油方式的平均油價(jià)為第二種加油方式的平均油價(jià)為A.(-2,0)B.(0,2)C.(-8,6)D.(-6,8)【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：因?yàn)?<x<4,0<y<6,所以0<2x<8,-6<-y<0,所以-6<2x-y<8,例題2.(多選)已知實(shí)數(shù)x,y滿足-1≤x+y≤3,4≤2x-y≤9,則4x+y可能取的值為()A.1B【分析】令4x+y=m(x+y)+n(2x-y),根據(jù),求得m,n的值，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，實(shí)數(shù)x,y滿足-1≤x+y≤3,4≤2x-y≤9,令4x+y=m(x+y)+n(2x-y),,解得m=2,n=1,所以4x+y=2(x+則-2≤2(x+y)≤6,4≤2x-y≤9,所以2≤4x+y≤15.題型歸類練【分析】根據(jù)同向不等式的結(jié)算規(guī)則求解即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，4≤4a≤8,-8≤-2b≤-42.(1)已知2<x<3,2<y<3,求x-y和的取值范圍；(2)已知2<x+y≤4,-1<x-y<3,求3x+y的取值范圍.【答案】(1)-1<x-y<1,;(2)3<3x+y<11.【分析】(1)根據(jù)不等式的性質(zhì)求解(2)由待定系數(shù)法配湊后求解【詳解】(1)∵2<y<3,∴-3<-y<-2又∵2<x<3,∴(2)設(shè)3x+y=a(x+y)+b(x-y),得1.下列說法正確的為()A.x與2的和是非負(fù)數(shù)，可表示為“x+2>0”B.小明的身高為x,小華的身高為y,則小明比小華矮可表示為“x>y”C.△ABC的兩邊之和大于第三邊，記三邊分別為a,b,c,則可表示為“a+b>c且a+c>b且b+c>a”D.若某天的最低溫度為7℃,最高溫度為13℃,則這天的溫度t可表示為“7℃<t<13℃”【解題思路】ABD選項(xiàng)，利用不等式表達(dá)不等關(guān)系均有錯(cuò)誤，C選項(xiàng)為正確表達(dá).對于B,應(yīng)表示為“x<y”,故A,B,D錯(cuò)誤.2.下列不等式正確的是()C.若a+b>0,c-b>0,則a>cD.若a>0,b>0,m>0,且a<b,則【解題思路】舉例說明選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤；利用作差法證明選項(xiàng)D正確.【解答過程】對于A,當(dāng)c=0,a=-1,b=2時(shí)滿足ac2≥bc2,但a<b,但a<c,對于C,由不等式的基本性質(zhì)易知a+c>0,當(dāng)a=-1,,c=2時(shí)滿足a+b>但a<c,對于D,,,,故D正確.3.若a>b>1,若m=a2-b,n=b2-a,則m與n的大小關(guān)系是()A.m>nB.m=nC.m<nD.m≥m【解題思路】利用作差法分析判斷.【解答過程】由題意可得：m-n=(a2-b)-(4.已知a,b,c,d均為實(shí)數(shù)，下列不等關(guān)系推導(dǎo)成立的是()A.若a>b,c<d=a+c>b+dB.若a>b,c>d=ac>bdC.若bc-ad>0,D.若a>b>0貝則選項(xiàng)D判斷正確.A.(0,12)B.(-2,10)C.(-2,12)【解題思路】利用不等式的性質(zhì)得到-3y的范圍，再和x的范圍相加即可.【解答過程】:-3<y<1,A.{yl0≤y≤9}B.{yl-5≤y≤4}C.{y|1≤y≤13}D.{y|0≤y≤13}得利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可得答案.則{7.同學(xué)們在生活中都有過陪同爸爸媽媽去加油站加油的經(jīng)歷，小明發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：爸爸和媽媽加油習(xí)媽每次加滿油箱，需加油a升，我們規(guī)定誰的平均單價(jià)低誰就合算，請問爸爸、媽媽誰更合算呢?()A.爸爸B.媽媽C.一樣D.不確定【解題思路】由題意，先計(jì)算爸爸和媽媽兩次加油的平均單價(jià)，再作差法比較大小，即得解.,8.比較大小：【解題思路】(1)利用做差法比較大小即可；(2)利用做差法比較大小即可.【解答過程】(1)因?yàn)閍2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,所以a2+b2≥2(a-b-1);(2)因?yàn)閍<0,b<0,所以【解題思路】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)和反比例函數(shù)特點(diǎn)即可求解.【解答過程】因?yàn)?<a<3,-2<b<-1,所以2+(-2)<a+b<3+(-1),所以ab的取值范圍是(-6,-2).10.一般認(rèn)為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10%,而且這個(gè)比值越大，采光效果越好