專題1-2二次根式（考題猜想壓軸大題5個(gè)考點(diǎn)40題專練）原卷版

專題1-2二次根式（考題猜想，壓軸大題5個(gè)考點(diǎn)40題專練）二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)分母有理化二次根式的混合運(yùn)算二次根式的化簡(jiǎn)求值二次根式的應(yīng)用一．二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)（共12小題）1．（2023?舟山一模）觀察下列各式：①，②；③，（1）請(qǐng)觀察規(guī)律，并寫出第④個(gè)等式：；（2）請(qǐng)用含的式子寫出你猜想的規(guī)律：；（3）請(qǐng)證明（2）中的結(jié)論．2．（2022春?蓬江區(qū)校級(jí)月考）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則”．材料一：平方運(yùn)算和開方運(yùn)算是互逆運(yùn)算．，那么．如何將雙重二次根式化簡(jiǎn)？我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡(jiǎn)．材料二：在直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和給出如下定義：若，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”．例如：點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為．請(qǐng)選擇合適的材料解決下面的問題：（1）點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為；（2）化簡(jiǎn)：；（8）已知為常數(shù)，點(diǎn)，且，點(diǎn)是點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．3．（2021春?安徽期末）閱讀材料：把根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，若能找到兩個(gè)數(shù)、，是且，則把變成開方，從而使得化簡(jiǎn)．例如：化簡(jiǎn)解：；請(qǐng)你仿照上面的方法，化簡(jiǎn)下列各式：（1）；（2）．4．（2021春?朝陽區(qū)校級(jí)期中）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則”．材料一：平方運(yùn)算和開方運(yùn)算是互逆運(yùn)算．如，那么．如何將雙重二次根式化簡(jiǎn)？我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡(jiǎn)．材料二：在直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和給出如下定義：若，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”．例如：點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為．請(qǐng)選擇合適的材料解決下面的問題：（1）點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為；（2）化簡(jiǎn)：；（3）已知為常數(shù)，點(diǎn)，且，點(diǎn)是點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．5．（2022秋?吉安縣期末）先閱讀下列的解答過程，然后作答：形如的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)數(shù)、使，，這樣，，那么便有例如：化簡(jiǎn)解：首先把化為，這里，；由于，，即，，由上述例題的方法化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）．6．（2022秋?市中區(qū)期末）觀察下列各式：請(qǐng)你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，猜想：（1）（2）請(qǐng)你按照上面每個(gè)等式反映的規(guī)律，寫出用為正整數(shù)）表示的等式：；（3）利用上述規(guī)律計(jì)算：（仿照上式寫出過程）7．（2023春?蕪湖期末）觀察下列各式：；；，請(qǐng)你根據(jù)以上三個(gè)等式提供的信息解答下列問題①猜想：；②歸納：根據(jù)你的觀察，猜想，請(qǐng)寫出一個(gè)用為正整數(shù)）表示的等式：；③應(yīng)用：計(jì)算．8．（2023春?太原期中）觀察下列各式并按規(guī)律填空：；；（1），．（2）按此規(guī)律第個(gè)式子可以表示為．（3）并說明上面式子成立的理由．（請(qǐng)寫出推導(dǎo)過程）9．（2022春?杭錦后旗期中）像，這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn)，如：．再如：．請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問題：（1）化簡(jiǎn)：；（2）化簡(jiǎn)：；（3）若，且，，為正整數(shù)，求的值．10．（2021秋?沿河縣期末）閱讀下面的解答過程，然后作答：有這樣一類題目：將化簡(jiǎn)，若你能找到兩個(gè)數(shù)和，使且，則可變?yōu)?，即變成，從而使得．化?jiǎn)：．．．請(qǐng)你仿照上例將下列各式化簡(jiǎn)：（1）；（2）．11．（2023秋?渠縣校級(jí)期中）觀察下列各式及驗(yàn)證過程：，驗(yàn)證；，驗(yàn)證，驗(yàn)證（1）按照上述三個(gè)等式及其驗(yàn)證過程中的基本思想，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證．（2）針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫出用為任意的自然數(shù)，且表示的等式，并給出證明．12．（2023春?前郭縣期中）觀察下面的運(yùn)算，完成下列各題的解答．①判斷下列各式是否成立：②根據(jù)①判斷的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請(qǐng)用含有自然數(shù)的式子將你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來，并注明的取值范圍．③請(qǐng)說明你所發(fā)現(xiàn)式子的正確性．二．分母有理化（共7小題）13．（2021秋?射洪市校級(jí)月考）小芳在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解的：，，，，，請(qǐng)你根據(jù)小芳的分析過程，解決如下問題：（1）化簡(jiǎn)．（2）若．①求的值；②求的值．14．（2021春?淮北期末）已知，，求：（1）的值；（2）的值．15．（2021秋?高州市校級(jí)月考）閱讀下面問題：；；．試求：（1）為正整數(shù)）．（2）利用上面所揭示的規(guī)律計(jì)算：．16．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）先觀察下列的計(jì)算，再完成習(xí)題：；請(qǐng)你直接寫出下面的結(jié)果：（1）；；（2）根據(jù)你的猜想、歸納，運(yùn)用規(guī)律計(jì)算：．17．（2023春?雙柏縣期中）閱讀下面問題：；；．（1）求的值；（2）計(jì)算：．18．（2021春?裕華區(qū)校級(jí)期末）【知識(shí)鏈接】（1）有理化因式：兩個(gè)含有根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；的有理化因式是．（2）分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號(hào)化去．指的是如果代數(shù)式中分母有根號(hào)，那么通常將分子、分母同乘分母的有理化因式，達(dá)到化去分母中根號(hào)的目的．如：，．【知識(shí)理解】（1）填空：的有理化因式是；（2）直接寫出下列各式分母有理化的結(jié)果：①；②．【啟發(fā)運(yùn)用】（3）計(jì)算：．19．（2021秋?安仁縣校級(jí)期末）閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如、這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：；．以上這種化簡(jiǎn)過程叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡(jiǎn)：．（1）請(qǐng)用其中一種方法化簡(jiǎn)；（2）化簡(jiǎn)：．三．二次根式的混合運(yùn)算（共7小題）20．（2020春?興縣期末）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如：，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中、、、均為整數(shù)），則有．，．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時(shí)，若，用含、的式子分別表示、，得，；（2）試著把化成一個(gè)完全平方式．（3）若是216的立方根，是16的平方根，試計(jì)算：．21．（2023秋?惠來縣期中）一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如．設(shè)（其中、、、均為正整數(shù)），則有，，．這樣可以把部分．的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照上述的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時(shí)，若，用含、的式子分別表示、，得：，；（2）找一組正整數(shù)、、、填空：；（3）化簡(jiǎn)．22．（2022春?大理市校級(jí)期中）閱讀下面的問題：；；；（1）求與的值；（2）計(jì)算．23．（2022春?開州區(qū)期中）我們知道平方運(yùn)算和開方運(yùn)算是互逆運(yùn)算，如：，那么，那么如何將雙重二次根式，，化簡(jiǎn)呢？如能找到兩個(gè)數(shù)，，使得即，且使即，那么，雙重二次根式得以化簡(jiǎn)；例如化簡(jiǎn)：；且，由此對(duì)于任意一個(gè)二次根式只要可以將其化成的形式，且能找到，使得，且，那么這個(gè)雙重二次根式一定可以化簡(jiǎn)為一個(gè)二次根式．請(qǐng)同學(xué)們通過閱讀上述材料，完成下列問題：（1）填空：；；（2）化簡(jiǎn)：①②（3）計(jì)算：．24．（2022秋?晉安區(qū)期末）我們已經(jīng)學(xué)過完全平方公式，知道所有的非負(fù)數(shù)都可以看作是一個(gè)數(shù)的平方，如，，，，那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來計(jì)算下面的題：例：求的算術(shù)平方根．解：，．你看明白了嗎？請(qǐng)根據(jù)上面的方法化簡(jiǎn)：（1）（2）（3）．25．（2023?舟山二模）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中、、、均為整數(shù)），則有．，．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時(shí)，若，用含、的式子分別表示、，得：，；（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)、、、填空：；（3）若，且、、均為正整數(shù)，求的值．26．（2023春?宜豐縣校級(jí)月考）已知，，且．試求正整數(shù)．四．二次根式的化簡(jiǎn)求值（共9小題）27．（2023春?東莞市校級(jí)期中）已知，，求下列各式的值：（1）；（2）．28．（2023春?麒麟?yún)^(qū)校級(jí)期中）閱讀下面的問題：；；；（1）求與的值．（2）已知是正整數(shù)，求與的值；（3）計(jì)算．29．（2021春?環(huán)翠區(qū)校級(jí)期中）已知：，，求的值．30．（2021春?黃岡期中）已知，，試求代數(shù)式的值．31．（2023春?新會(huì)區(qū)校級(jí)期末）小明在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解的：，，，，，．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：（1）化簡(jiǎn)．（2）若．求：①求的值．②直接寫出代數(shù)式的值；．32．（2023春?東莞市校級(jí)期中）已知，，求下列各式的值．（1）（2）．33．（2022秋?城關(guān)區(qū)期末）先化簡(jiǎn)，后求值：，其中．34．（2020秋?惠濟(jì)區(qū)校級(jí)月考）閱讀下面的文字后，回答問題．小明和小芳解答題目“先化簡(jiǎn)下式，再求值：，其中”時(shí)，得到了不同的答案．小明的解答是：原式；小芳的解答是：原式；（1）的解答是錯(cuò)誤的．（2）錯(cuò)誤的解答錯(cuò)在未能正確運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：．35．（2023秋?天府新區(qū)期中）已知，．求：（1）的值；（2）的值．五．二次根式的應(yīng)用（共5小題）36．（2023春?湯陰縣期中）已知線段，，，且線段，滿足．（1）求，的值；（2）若，，是某直角三角形的三條邊的長(zhǎng)度，求的值．37．（2022春?東莞市校級(jí)期中）細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題．，；，；，；（1）請(qǐng)用含有為正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律：，．（2）若一個(gè)三角形的面積是，計(jì)算說明它是第幾個(gè)三角形？（3）求出的值．38．（2022春?岳麓區(qū)校級(jí)期中）已知，均為正整數(shù)．我們把滿足的點(diǎn)稱為幸福點(diǎn)．（1）下列四個(gè)點(diǎn)中為幸福點(diǎn)的是；；；；（2）若點(diǎn)是一個(gè)幸福點(diǎn)，求的值；（3）已知點(diǎn)，是一個(gè)幸福點(diǎn)，則存在正整數(shù)，滿足，試問是否存在實(shí)數(shù)的值使得點(diǎn)和點(diǎn)，到軸的距離相等，且到軸的距離也相等？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．39．（2022秋?岳麓區(qū)校級(jí)期末）小明在解方程時(shí)采用了下面的方法：由，又有，可得，將這兩式相加可得，將