專題13 函數(shù)模型及其應用 2023年新高考數(shù)學一輪復習方法技巧講義（原卷版）

高中數(shù)學精編資源2/2專題13函數(shù)模型及其應用【考點預測】1.幾種常見的函數(shù)模型：函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型，為常數(shù)且反比例函數(shù)模型，為常數(shù)且二次函數(shù)模型，，為常數(shù)且指數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，對數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，冪函數(shù)模型，為常數(shù)，2.解函數(shù)應用問題的步驟：(1)審題：弄清題意，識別條件與結論，弄清數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用已有知識建立相應的數(shù)學模型;(3)解模：求解數(shù)學模型，得出結論；(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題．【題型歸納目錄】題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型題型二：對勾函數(shù)模型題型三：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型【典例例題】題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型例1．（2022·黑龍江·哈爾濱三中三模（理））如圖為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線米的點處接球，此時，假設甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準備在點處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為（

）A． B． C． D．例2．（2022·甘肅酒泉·模擬預測（文））如圖，在矩形中，，，是的中點，點沿著邊、與運動，記，將的面積表示為關于的函數(shù)，則（

）A．當時，B．當時，C．當時，D．當時，例3．（2022·上海交大附中高三開學考試）2020年11月5日至10日，第三屆中國國際進口博覽會在上海舉行，經(jīng)過三年發(fā)展，進博會讓展品變商品，讓展商變投資商，交流創(chuàng)意和理念，聯(lián)通中國和世界，國際采購、投資促進、人文交流，開放合作四大平臺作用不斷凸顯，成為全球共享的國際公共產(chǎn)品.在消費品展區(qū)，某企業(yè)帶來了一款新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品參展，并決定大量投放市場.已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本為150萬元，每生產(chǎn)1萬臺需另投入380萬元.設該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入為萬元，且.(1)寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式；（利潤=銷售收入—成本）(2)當年產(chǎn)量為多少萬臺時，該企業(yè)獲得的年利潤最大？并求出最大年利潤.例4．（2022·全國·高三專題練習）某廠借嫦娥奔月的東風，推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品，生產(chǎn)“玉兔”的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元，根據(jù)初步測算，總收益滿足函數(shù)，其中x是“玉兔”的月產(chǎn)量.(1)將利潤f(x)表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；(2)當月產(chǎn)量為何值時，該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？(總收益＝總成本＋利潤)例5．（2022·河北·模擬預測）勞動實踐是大學生學習知識?鍛煉才干的有效途徑，更是大學生服務社會?回報社會的一種良好形式某大學生去一服裝廠參加勞動實踐，了解到當該服裝廠生產(chǎn)的一種衣服日產(chǎn)量為x件時，售價為s元/件，且滿足，每天的成本合計為元，請你幫他計算日產(chǎn)量為___________件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為___________萬元.【方法技巧與總結】1.分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當做幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值.2.構造分段函數(shù)時，要準確、簡潔，不重不漏.題型二：對勾函數(shù)模型例6．（2022·全國·高三專題練習）某企業(yè)投入萬元購入一套設備，該設備每年的運轉(zhuǎn)費用是萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加萬元．為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為（

）A． B． C． D．例7．（2022·全國·高三專題練習）迷你KTV是一類新型的娛樂設施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中，，曲線段是圓心角為的圓弧，設該迷你KTV橫截面的面積為，周長為，則的最大值為___________．（本題中取進行計算）例8．（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，設矩形的周長為cm，把沿折疊，折過去后交于點，設cm，cm．(1)建立變量與之間的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域;(2)求的最大面積以及此時的的值．例9．（2022·全國·高三專題練習）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術形式，傳統(tǒng)磚雕精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形截去同心扇形所得部分．已知扇環(huán)周長，大扇形半徑，設小扇形半徑，弧度，則①關于x的函數(shù)關系式_________．②若雕刻費用關于x的解析式為，則磚雕面積與雕刻費用之比的最大值為________．【方法技巧與總結】1.解決此類問題一定要注意函數(shù)定義域；2.利用模型求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件.題型三：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型例10．（2022·全國·模擬預測）天文學上用絕對星等衡量天體的發(fā)光強度，用目視星等衡量觀測者看到的天體亮度，可用近似表示絕對星等、目視星等和觀測距離d（單位：光年）之間的關系．已知織女星的絕對星等為0.58，目視星等為0.04，大角星的絕對星等為，目視星等為，則觀測者與織女星和大角星間的距離的比值約為（

）A． B． C． D．例11．（2022·河南·模擬預測（文））金針菇采摘后會很快失去新鮮度，甚至腐爛，所以超市銷售金針菇時需要采取保鮮膜封閉保存．已知金針菇失去的新鮮度與其采摘后時間（天）滿足的函數(shù)解析式為，．若采摘后1天，金針菇失去的新鮮度為40%，采摘后3天，金針菇失去的新鮮度為80%．那么若不及時處理，采摘下來的金針菇在多長時間后開始失去全部新鮮度（已知，結果取一位小數(shù)）（

）A．4.0天 B．4.3天 C．4.7天 D．5.1天例12．（2022·陜西西安·三模（理））2022年4月16日，神舟十二號3名航天員告別了工作生活183天的中國空間站，安全返回地球中國征服太空的關鍵是火箭技術，在理想情況下，火箭在發(fā)動機工作期間獲得速度增量的公式，其中△v為火箭的速度增量，為噴流相對于火箭的速度，和分別代表發(fā)動機開啟和關閉時火箭的質(zhì)量，在未來，假設人類設計的某火箭達到5公里/秒，從100提高到600，則速度增量增加的百分比約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，A．15% B．30% C．35% D．39%例13．（2022·貴州·模擬預測（理））生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個新的環(huán)境，從而對入侵地的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象.若某入侵物種的個體平均繁殖數(shù)量為，一年四季均可繁殖，繁殖間隔為相鄰兩代間繁殖所需的平均時間.在物種入侵初期，可用對數(shù)模型（為常數(shù)）來描述該物種累計繁殖數(shù)量與入侵時間（單位：天）之間的對應關系，且，在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)得出，.據(jù)此估計該物種累計繁殖數(shù)量比初始累計繁殖數(shù)量增加倍所需要的時間為（，）（

）A．天 B．天 C．天 D．天例14．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（理））2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現(xiàn)2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應為（參考值：）（

）A．10% B．20% C．22% D．32%例15．（2022·廣西·模擬預測（理））異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（

）A． B． C． D．例16．（2022·貴州貴陽·二模（理））2021年11月24日，貴陽市修文縣發(fā)生了4.6級地震，所幸的是沒有人員傷亡和較大財產(chǎn)損失，在抗震分析中，某結構工程師提出：由于實測地震記錄的缺乏，且考慮到強震記錄數(shù)量的有限性和地震動的不可重復性，在抗震分析中還需要人工合成符合某些指定統(tǒng)計特征的非平穩(wěn)地震波時程，其中地震動時程強度包絡函數(shù)，（單位：秒）分別為控制強震平穩(wěn)段的首末時刻；（單位：秒）表示地震動總持時；是衰減因子，控制下降段衰減的快慢．在一次抗震分析中，地震動總持時是20秒，控制強震平穩(wěn)段的首末時刻分別是5秒和10秒，衰減因子是0.2，則當秒時，地震動時程強度包絡函數(shù)值是（

）A． B．1 C．9 D．【方法技巧與總結】1.在解題時，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數(shù)模型.2.在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先需通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像求解最值問題.【過關測試】一、單選題1．（2022·遼寧葫蘆島·二模）某生物興趣小組為研究一種紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x（單位：℃）的關系.現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)得到下面的散點圖：由此散點圖，在20℃至36℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的回歸方程類型的是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·模擬預測）影響租金的因素有設備的價格、融資的利息和費用、稅金、租賃保證金、運費、各種費用的支付時間、租金的計算方法等，而租金的計算方法有附加率法和年金法等，其中附加率法每期租金R的表達式為（其中P為租賃資產(chǎn)的價格；N為租賃期數(shù)，可按月、季、半年、年計；i為折現(xiàn)率；r為附加率）．某小型企業(yè)擬租賃一臺生產(chǎn)設備，租金按附加率法計算，每年年末支付，已知設備的價格為84萬元，折現(xiàn)率為8%，附加率為4%，若每年年末應付租金為24.08萬元，則該設備的租期為（

）A．4年 B．5年 C．6年 D．7年3．（2022·全國·模擬預測）隨著社會的發(fā)展，人與人的交流變得廣泛，信息的拾取、傳輸和處理變得頻繁，這對信息技術的要求越來越高，無線電波的技術也越來越成熟．其中電磁波在空間中自由傳播時能量損耗滿足傳輸公式：，其中D為傳輸距離，單位是km，F(xiàn)為載波頻率，單位是MHz，L為傳輸損耗（亦稱衰減），單位為dB．若載波頻率增加了1倍，傳輸損耗增加了18dB，則傳輸距離增加了約（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍4．（2022·全國·模擬預測）施工企業(yè)承包工程，一般實行包工包料，需要有一定數(shù)量的備料周轉(zhuǎn)金，由建設單位在開工前撥給施工企業(yè)一定數(shù)額的預付備料款，構成施工企業(yè)為該承包工程儲備和準備主要材料、結構件所需的流動資金．確定工程預付款起扣點的依據(jù)是：未完施工工程所需主要材料和構件的費用等于工程預付款的數(shù)額．計算公式為：（：工程預付款起扣點，：承包工程合同總額，：工程預付款數(shù)額，：主要材料及構件所占比重）．某施工企業(yè)承接了一個合同總額為208萬元的新工程，該工程預付款起扣點為160萬元，主要材料及構件所占比重為65%，則建設單位應預付給施工企業(yè)的金額為合同總額的（

）A．12% B．15% C．18% D．21%5．（2022·北京·二模）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時間t（單位：h）間的關系為，其中，k是正的常數(shù)．如果在前污染物減少，那么再過后污染物還剩余（

）A． B． C． D．6．（2022·全國·模擬預測）某污水處理廠為使處理后的污水達到排放標準，需要加入某種藥劑，加入該藥劑后，藥劑的濃度C（單位：）隨時間t（單位：h）的變化關系可近似的用函數(shù)刻畫．由此可以判斷，若使被處理的污水中該藥劑的濃度達到最大值，需經(jīng)過（

）A．3h B．4h C．5h D．6h7．（2022·云南曲靖·二模（文））某大型家電商場，在一周內(nèi)，計劃銷售、兩種電器，已知這兩種電器每臺的進價都是萬元，若廠家規(guī)定，一家商場進貨的臺數(shù)不高于的臺數(shù)的倍，且進貨至少臺，而銷售、的售價分別為元/臺和元/臺，若該家電商場每周可以用來進貨、的總資金為萬元，所進電器都能銷售出去，則該商場在一個周內(nèi)銷售、電器的總利潤（利潤售價進價）的最大值為（

）A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元8．（2022·全國·高三專題練習）基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間，在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)隨時間t（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與，T近似滿足．有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加3倍需要的時間約為（

）A．3.6天 B．3.0天 C．2.4天 D．1.8天二、多選題9．（2022·全國·高三專題練習（理））某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為（不超過按起步價付費）；超過但不超過時，超過部分按每千米2.15元收費；超過時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元，下列結論正確的是（

）A．出租車行駛，乘客需付費8元B．出租車行駛，乘客需付費9.6元C．出租車行駛，乘客需付費25.45元D．某人兩次乘出租車均行駛的費用之和超過他乘出租車行駛一次的費用10．（2022·全國·高三專題練習）某醫(yī)藥研究機構開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間的關系近似滿足如圖所示的曲線．據(jù)進一步測定，當每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則（

）A．B．注射一次治療該病的有效時間長度為6小時C．注射該藥物小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克D．注射一次治療該病的有效時間長度為時11．（2022·全國·高三專題練習）“雙”購物節(jié)中，某電商對顧客實行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定一次購物付款總額滿一定額度，可以給與優(yōu)惠：（1）如果購物總額不超過元，則不給予優(yōu)惠；（2）如果購物總額超過元但不超過100元，可以使用一張5元優(yōu)惠券；（3）如果購物總額超過元但不超過元，則按標價給予折優(yōu)惠；（4）如果購物總額超過元，其中元內(nèi)的按第（3）條給予優(yōu)惠，超過元的部分給予折優(yōu)惠.某人購買了部分商品，則下列說法正確的是（）A．如果購物總額為78元，則應付款為73元B．如果購物總額為228元，則應付款為205.2元C．如果購物總額為368元，則應付款為294.4元D．如果購物時一次性全部付款442.8元，則購物總額為516元12．（2022·全國·高三專題練習）某一池溏里浮萍面積（單位：）與時間（單位：月）的關系為，下列說法中正確的說法是（）A．浮萍每月增長率為1B．第5個月時，浮萍面積就會超過C．浮萍每月增加的面積都相等D．若浮萍蔓延到所經(jīng)過時間分別為，則三、填空題13．（2022·全國·模擬預測）一種藥在病人血液中的量保持1000mg以上才有療效，而低于500mg病人就有危險．現(xiàn)給某病人靜脈注射了這種藥2000mg，如果藥在血液中以每小時10%的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過______小時內(nèi)向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．（附：，，精確到0.1h）14．（2022·遼寧丹東·模擬預測）某公司2021年實現(xiàn)利潤100萬元，計劃在以后5年中每年比上一年利潤增長4%，則2026年的利潤是______萬元．（結果精確到1萬元）15．（2022·北京·二模）某公司通過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率E與工作年限，勞累程度，勞動動機相關，并建立了數(shù)學模型．已知甲、乙為該公司的員工，給出下列四個結論：①甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高；②甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動動機高，則甲比乙工作效率高；③甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機低，則甲比乙勞累程度強：④甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．則甲比乙勞累程度弱．其中所有正確結論的序號是__________．16．（2022·全國·高三專題練習）長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災害風險，發(fā)揮了重要的防洪減災效益．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎上聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)=（水庫實際蓄水量）÷（水庫總蓄水量）×100）來衡量每座水庫的水位情況．假設某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：（?。┱{(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；（ⅱ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；（ⅲ）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變．記x為調(diào)度前某水庫的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個y關于x的函數(shù)解析式：①；②；③；④．則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號是__________．四、解答題17．（2022·上海交大附中高三期中）“跳臺滑雪”是冬奧會中的一個比賽項目，俗稱“勇敢者的游戲”，觀賞性和挑戰(zhàn)性極強．如圖：一個運動員從起滑門點出發(fā)，沿著助滑道曲線滑到臺端點起跳，然后在空中沿拋物線飛行一段時間后在點著陸，線段的長度稱作運動員的飛行距離，計入最終成績．已知在區(qū)間上的最大值為，最小值為．(1)求實數(shù)，的值及助滑道曲線的長度．(2)若運動員某次比賽中著陸點與起滑門點的高度差為120米，求他的飛行距離（精確到米，）．18．（2022·上海市建平中學高三階段練習）有一條長為120米的步行道OA，A是垃圾投放點，以O為原點，OA為x軸正半軸建立直角坐標系．設點，現(xiàn)要建設另一座垃圾投放點，函數(shù)表示與點B距離最近的垃圾投放點的距離．(1)若，求、、的值，并寫出的函數(shù)解析式；(2)若可以通過與坐標軸圍成的面積來測算扔垃圾的便利程度，面積越小越便利．問：垃圾投放點建在何處才能比建在中點時更加便利？19．（2022·上海市松江二中高三開學考試）某市環(huán)保部門通過研究多年來該地區(qū)的大氣污染狀況后，建立了一個預測該市一天中的大氣