機(jī)械振動(dòng)復(fù)習(xí)題及解答

1、某測量低頻振動(dòng)用的測振儀（倒置擺）如下列圖所示。試根據(jù)能量原理推導(dǎo)系統(tǒng)靜平衡

穩(wěn)定條件。假設(shè)整個(gè)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=1.725x10-3依.機(jī)2,彈簧剛度A=24.5N/〃2,小球

質(zhì)量m=0.085&:g,直角折桿的一邊/=4tv%。另一邊/>=5cm。試求固有頻率。

k

Io

0

'b解：彈性

19

勢能Uk=-k(h3)\

重力勢能Ug=-rng(l-lcos0)

總勢能U=Uk+"g=—kb10~+〃2g/cos,—

dU

代入正=0可得

X=Xj

可求得6=0滿足上式。

d-U

>0判別0位置是否穩(wěn)定及其條件:

再根據(jù)公式產(chǎn)=0

X=Xj

即滿足火〃2>〃區(qū)/條件時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)方可在9=0位置附近作微幅振動(dòng)。

系統(tǒng)的動(dòng)能為了=/32

或7+U）

代入可得n

由e=0為穩(wěn)定位置，那么在微振動(dòng)時(shí)sin。=0,可得線性振動(dòng)方程為:

固有頻率

代入數(shù)據(jù)，可得

2、用能量法解此題：一個(gè)質(zhì)量為均勻半圓柱體在水平面上做無滑動(dòng)的往復(fù)滾動(dòng)，如上圖所

示，設(shè)圓柱體半徑為R,重心在c點(diǎn),oc二一，物體對重心的回轉(zhuǎn)體半徑為L,試導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)微

分方程。

解：如下圖，在任意角度。⑴時(shí),重心c的升高量為

A=r(l-cos<9)=2rsin2f

取重心c的最低位置為勢能零點(diǎn)，并進(jìn)行線性化處理，那么柱體勢能為

V=mgA=2mgrsin2f?7mgr6^2(a)

Ib=Ic+rnbe2=m(L2+be2)(b)

/?c2=r-i-R2-2rRcos/9(t)(c)

而柱體的動(dòng)能為把(b)式，(c)式兩式代入，并線性化有

T={m[L2+(R-r)2]O2(d)

根據(jù)能量守恒定理，有

ym[L2+(R—r)2]2+7mgr=E=const

對上式求導(dǎo)并化簡，得運(yùn)動(dòng)微分方程為

[L2+(R-r)2]7+gr6=o(e)

3、一質(zhì)量為〃?、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為/的圓柱體作自由純滾動(dòng)，圓心受到一彈簧攵約束，如下圖，

求系統(tǒng)的固有頻率。

解：取圓柱體的轉(zhuǎn)角。為坐標(biāo)，逆時(shí)針為正，靜平衡位置時(shí)。=0,那么當(dāng)〃，有

6轉(zhuǎn)角時(shí)，系統(tǒng)有：

由d(號+U)=0可知：

解得

4=&產(chǎn)/(/+機(jī)產(chǎn))(rad/s)

4、圖中，半徑為r的圓柱在半徑為R的槽內(nèi)作無滑滾動(dòng)，試寫出系統(tǒng)作微小振動(dòng)時(shí)的微分

方程

解1)建立廣義坐標(biāo)。設(shè)槽圓心O與圓柱軸線Oi的連線偏離平衡位置的轉(zhuǎn)角

為廣義坐標(biāo)，逆時(shí)針方向?yàn)檎?/p>

2)寫出系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能。圓柱的動(dòng)能由兩局部組成，即它跟隨質(zhì)心的移動(dòng)

動(dòng)能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能，而質(zhì)心的速度為(R~r)l,圓柱相對于質(zhì)心的角速度

(R-r)6>/r,因此系統(tǒng)的動(dòng)能為

假設(shè)取系統(tǒng)靜平衡時(shí)的勢能為零，那么在一般位置系統(tǒng)的勢能為

U=mg(R-r)(1-cos0)

3)利用能量守恒原理得到

當(dāng)系統(tǒng)作微小振動(dòng)時(shí)夕很小，sine。。，2不恒等于零，方程就簡化為

O

5>單圓盤轉(zhuǎn)子如圖(a)所示，可化簡為圖(b)所示的簡

一m

支梁系

統(tǒng)，求其在跨度中點(diǎn)垂直方向的剛度及系統(tǒng)的自然頻率。

解：當(dāng)忽略軸的質(zhì)量時(shí)，系統(tǒng)簡化為圖(5)的模型，這是一個(gè)彎曲變形振動(dòng)問題。為了求其剛度,

按照材料力學(xué)中的公式，其跨度中點(diǎn)在集中力P的作用下，產(chǎn)生的撓度y為

那么由k=P/y得到

系統(tǒng)可進(jìn)一步簡化為“m-k”系統(tǒng)，那么單自由度系統(tǒng)的自然頻率為

6、機(jī)械式振動(dòng)儀原埋圖如卜圖。支承于水平軸。的擺“連接一個(gè)剛度為左的螺線彈簧，在

重力作用下擺的平衡位置偏離水平線成夕角。設(shè)擺在水平線上方成。角處，螺線彈簧不受

力。擺的質(zhì)量為〃，，它繞。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為擺重心。至。軸的距離為"，擺。。可圍繞平

衡位置作微幅振動(dòng)，求其固有頻率。

振動(dòng)儀原理圖

解：

方法一：

當(dāng)擺處于平衡位置時(shí)，有

擺的微振動(dòng)角位移記為6,由動(dòng)量矩定理，可得擺的運(yùn)動(dòng)微分方程為

考慮到式(a),并精確到一階小量，上式可線性化為

因此，擺的振動(dòng)固有頻率為

方法二：能量法

由于不考慮阻尼，因而系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。這時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能可以分別表示為

由&+"=￡=常數(shù)，；=0,可得

因此,擺的振動(dòng)固有頻率為

7、例：重物落下，與簡支梁做完全非彈性碰撞，梁長￡,抗彎剛度EJ

其中給出

工二mgF

由材料力學(xué)：“48EJ

求：梁的自由振動(dòng)頻率和最大撓度

解：

取平衡位置

以梁承受重物時(shí)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系

靜變形：4

自.士由工振辦動(dòng)班頻土率在為：g=J舊3=J1—48E1J

撞擊時(shí)刻為零時(shí)刻，那么匚0時(shí)，有：

那么自由振動(dòng)振幅為：

梁的最大擾度：

8、質(zhì)量m=0.5Kg的物塊，沿光滑斜面無初速度滑下，如上圖所示。當(dāng)物塊從高度h=0.1m

時(shí)撞于彈簧上并不在別離。彈簧的剛度系數(shù)為k=0.8KN/m,傾角8=30°,求此系統(tǒng)的固有

頻率和振幅，并寫出物塊的運(yùn)動(dòng)方程。

解：物塊平衡時(shí)，彈簧的變形為

50=mgsin"/k（i）

以物塊平衡位置0為原點(diǎn)，建立圖示x坐標(biāo)。物塊受力如下圖，其運(yùn)動(dòng)微分方程為

me=mgsinJ3-ka+x）

將式（1）帶入上式，化簡后得

系統(tǒng)的固有頻率為

當(dāng)物塊碰上彈簧時(shí)，取時(shí)間1:0,作為振動(dòng)的起點(diǎn)。那么運(yùn)動(dòng)的的初始條件為:

初位移：x=-品=-3.D6x初速度：v0=-j2gh=iAm/s

代入式A=和tan6=四^得

丸

幫么物塊的運(yùn)動(dòng)方程為x=35.lsin(40r-0.087)(mm)

9、今有離心式自動(dòng)脫水洗衣機(jī)，質(zhì)量為M=2000kg,有四個(gè)垂直的螺旋彈簧支撐，每個(gè)彈

簧的剛度由試驗(yàn)測定為k=830N/cm,另有四個(gè)阻尼器，總的相對阻尼系數(shù)為C=0.15。簡化

如下圖。洗衣機(jī)在初次脫水時(shí)以n=300r/min運(yùn)行。此時(shí)衣物的偏心質(zhì)量為m=13kg,偏心

距為e=50cm。試計(jì)算其垂直振幅。由于結(jié)構(gòu)的對稱性，在計(jì)算其垂直方向振幅時(shí)，可作為

單自由度系統(tǒng)來處理。

解偏心質(zhì)量的離心慣性力在垂直方向的分量引起洗衣機(jī)機(jī)體在垂直方向上的受迫運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)方程

為：

式中右邊分子上的nwco1為離心慣性力，3為激振力頻率：

系統(tǒng)的四個(gè)彈簧為并聯(lián)，總剛度為K=4k=332ON/cm,固有頻率以為

頻率比為

這說明此時(shí)超過共振點(diǎn)較遠(yuǎn)，不會發(fā)生共振。振幅為：

1。、為了估計(jì)機(jī)器基座的阻尼比《，用激振器使機(jī)器上下振動(dòng)。激振器有兩個(gè)相同的偏心

塊組成，它們沿相反的方向以同一角速度①如下列圖明示回轉(zhuǎn)，這樣可以產(chǎn)生垂直慣性力。

當(dāng)轉(zhuǎn)速3逐漸提高時(shí)機(jī)器到達(dá)最大振幅Xmax=2cm,繼續(xù)提高◎時(shí)，機(jī)器振幅到達(dá)穩(wěn)態(tài)值

X=0.25cm,求其阻尼比二。

meZ2

解: