不定積分換元法

二、類換元法節(jié)一、類換元法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束換元積分法章2021/6/271第二類換元法第一類換元法基本思路機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)可導(dǎo),則有2021/6/272一、第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱即湊微分法)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/273機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1

求解（一）解（二）令原式2021/6/274機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解（三）令原式2021/6/275機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2

求解一般地2021/6/276機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3

求解2021/6/277例.

求解:想到公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明：熟悉第一類換元法之后，就沒有必要寫出中間變量的代換過(guò)程P160,公式(18)SCU2021/6/278例3.

求想到解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P160,公式(21)SCU2021/6/279例4.

求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束類似P160,公式(14,15)SCU2021/6/2710例5.

求解:∴原式

=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P160,公式(19,20)SCU2021/6/2711常用的幾種湊微分形式:萬(wàn)能湊冪法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2712機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2713例7.

求解:

原式例8.

求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2714例9.

求解法1解法2兩法結(jié)果一樣機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2715例10.

求解法1機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2716解法2同樣可證或(P199例18)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P160,公式(16,17)SCU2021/6/2717例11.

求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2718例12.

求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2719例13.

求解:∴原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考：2021/6/2720例14.

求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束分析:

2021/6/2721機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例15

求解2021/6/2722機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解例14

設(shè)

求令2021/6/2723例15.

求解:原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2724小結(jié)常用簡(jiǎn)化技巧:(1)分項(xiàng)積分:(2)降低冪次:(3)統(tǒng)一函數(shù):利用三角公式;配元方法(4)巧妙換元或配元萬(wàn)能湊冪法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束利用積化和差;分式分項(xiàng);利用倍角公式,如ex13,P164,SCU2021/6/2725思考與練習(xí)1.下列各題求積方法有何不同?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/27262.

求提示:法1法2法3作業(yè)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2727二、第二類換元法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第一類換元法解決的問(wèn)題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法.難求，2021/6/2728定理2.設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),證:令則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則有換元公式2021/6/2729例16.

求解:

令則∴原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2730例17.

求解:

令則∴原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P160,公式(22)SCU2021/6/2731例18.

求解:令則∴原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束可以不管具體形式P160,公式(22)SCU2021/6/2732令于是機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束可以不管具體形式2021/6/2733原式例19.

求解:

令則原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解法一：三角代換解法二：倒代換2021/6/2734小結(jié):1.第二類換元法常見類型:令令令或令令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四節(jié)講根式代換Ex21,P167,SCU2021/6/2735機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.常用基本積分公式的補(bǔ)充(P205,P160(SCU))(7)

分母中因子次數(shù)較高時(shí),可試用倒代換

令2021/6/2736機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2737機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束川大教材沒有公式(24)2021/6/2738解:

原式(P205公式(20))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例20.

求例21.

求解:(P206公式(23))2021/6/2739例22.

求解:

原式=(P206公式(22))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例23.

求解:

原式(P206公式(22))根式代換；三角代換2021/6/2740例24.

求解:

令得原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三角代換2021/6/2741例25.

求解:

原式令例16目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三角代換2021/6/27421.已知求解:

兩邊求導(dǎo),得則(代回原變量)

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)2021/6/2743作業(yè)P2072(5),(10),(15),(20),(25),(30),(35),(40)(44)第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/6/2744備用題1.求下列積分:機(jī)動(dòng)