金融工程講稿風險管理

第十一章利率風險管理

前言：金融風險

現(xiàn)代金融學的三大支柱為時間優(yōu)化、資產(chǎn)定價和風險管理。風險管

理是現(xiàn)代金融的支柱之一，也是金融工程的核心。我們將學習風險

的定義與風險管理過程，重點研究風險的度量、利率風險及其管理、

股票價格風險及其管理。

—.風險的概念

常見的風險定義有三種：

第一，風險是未來損失的可能性。

這是人們對于風險的傳統(tǒng)理解，但是風險即可能導致?lián)p失，也可能

帶來正收益，故該定義相對狹隘了。

第二，風險是未來結(jié)果對期望的偏離。

這個觀點源于Markowitz投資組合風險的定義，這個定義反映了風險

的兩面性，能直接與方差等波動性指標相聯(lián)系，特別適用于金融領(lǐng)

域中的市場風險分析。

第三，風險是未來結(jié)果的不確定性。

這個定義相對抽象并且具有一般性，可以適用于經(jīng)濟政治和社會等

幾乎所有領(lǐng)域。

二、風險管理的過程

盡管風險從一開始就是金融的本質(zhì)特征，但是直到20世紀70年代

以后，隨著布雷頓森林體系的瓦解，金融管理的逐步放松與國際資

本流動規(guī)模的日益擴大，風險和風險管理才逐步成為現(xiàn)代金融的核

心。

現(xiàn)代風險管理的全過程可以分為風險識別、風險度量與風險管理控

制三個環(huán)節(jié)。

(-)風險識別

1.市場風險

市場風險又稱為價格風險，是市場價格波動而引起的風險。從來源

看，市場風險可以進一步分為利率風險、匯率風險、股票價格風險

和商品價格風險等等。

隨著市場的發(fā)展和研究的深入，從市場風險中又進一步發(fā)展出波動

率風險、相關(guān)性風險、三階矩風險和四階矩風險。

與其他風險相比較，由于市場價格數(shù)據(jù)可得并且數(shù)據(jù)數(shù)量大，市場

風險具有數(shù)據(jù)優(yōu)勢和易于觀察計量的特點，一般可以通過數(shù)量的方

式來度量和管理。同時市場中往往同時存在多種對于某一資產(chǎn)的價

格變化具有敏感性的資產(chǎn)，這使得市場風險的管理與對沖相對比較

容易實現(xiàn)。這兩個特點決定了在所有的風險中，市場風險的管理技

術(shù)是目前最為成熟的。

2.信用風險

信用風險又稱為違約風險、對手風險，是指債務(wù)人或者交易對手未

能踐行合約所規(guī)定的義務(wù)或者信用質(zhì)量發(fā)生變化給債權(quán)人或金融產(chǎn)

品持有人所帶來的風險。

信用風險分解：對方違約或信用狀況發(fā)生變化的可能性大小；由此

造成的損失大小。

3.流動性風險

一般認為存在兩種流動性風險：市場流動性風險、資金流動性風險

市場流動性風險是指由于市場交易量不足無法按照當前的市場價格

進行交易所帶來的風險；資金流動性風險是指現(xiàn)金流不能滿足支付

義務(wù)，往往迫使機構(gòu)提前清算。

4.操作風險

操作風險指因為欺騙、未授權(quán)活動、錯誤、效率低或者系統(tǒng)失靈招

致?lián)p失的分析。

具體有：執(zhí)行風險，由于詐騙和技術(shù)問題招致的風險，模型風險（模

型風險指的是由于錯誤的模型或者參數(shù)選擇不當導致對于風險或交

易價格估計錯誤而造成損失的概率）

（二）市場風險的度量

風險管理過程的第二個環(huán)節(jié)是對于風險進行合理的度量。我們先來

研究市場風險的度量。

市場風險度量體系主要包括三個組成部分：敏感性分析，在險值，

情景分析和壓力測試。

1.敏感性分析（sensitivityanalysis）

敏感性分析是指在保持其他條件不變的前提下，研究單個市場風險

因子的變化對金融產(chǎn)品或資產(chǎn)組合的收益或經(jīng)濟價值產(chǎn)生的可能影

響。主要的敏感性指標有Beta系數(shù)，久期和凸性。

（三）風險管理和控制

1.風險分散

風險分散，是指通過多樣化的投資來分散與降低風險。Markovitz的

資產(chǎn)組合理論最早系統(tǒng)的提出了風險分散的策略和思想。長期實踐

證明，資產(chǎn)的非系統(tǒng)風險是可以通過分散化的投資來加以降低或者

消除。風險又被劃分為系統(tǒng)風險和非系統(tǒng)性風險，系統(tǒng)風險是指一

些影響大市的風險，比如利率的變化、減稅、經(jīng)濟衰退等等；非系

統(tǒng)性風險是指個別投資項目特有的風險，如該公司的產(chǎn)品出現(xiàn)問題

導致利潤減少、工人罷工等等。根據(jù)Markovitz的資產(chǎn)組合理論可

以得到：

（1）若兩種資產(chǎn)的收益率相關(guān)系數(shù)不為1（即不完全正相關(guān)），分散

投資于這兩種資產(chǎn)就能夠降低風險。

（2）由相互獨立的多種資產(chǎn)組成的資產(chǎn)組合，當組成資產(chǎn)的個數(shù)足

夠多時，資產(chǎn)組合的非系統(tǒng)性風險可以降低為0.

2.風險對沖

風險對沖，又稱為套期保值，是指針對金融資產(chǎn)所面臨的風險，利

用特定資產(chǎn)或者工具構(gòu)造相反的風險頭寸，以減少或者消除其潛在

風險的過程。與風險分散不同，風險對沖既可以管理非系統(tǒng)性風險,

也可以管理系統(tǒng)性風險。長期以來，風險對沖是管理市場風險的有

效方法，具體來講，風險對沖策略包括Beta系數(shù)、久期、Delta和

Gamma的套期保值等等，關(guān)鍵之處在于套期保值比率的確定

3.風險轉(zhuǎn)移

風險轉(zhuǎn)移，是指通過購買某種金融資產(chǎn)或者其它的合法措施將風險

轉(zhuǎn)移給其它經(jīng)濟主體。風險轉(zhuǎn)移主要通過購買保險、擔保和信用證

等工具將風險合法地轉(zhuǎn)移給第三者。

4.風險規(guī)避

當一個人或者一個機構(gòu)對于某種風險沒有比較優(yōu)勢，這種風險又不

是與其天然相伴的，就可以選擇風險規(guī)避，避免涉足這種風險。比

如金融機構(gòu)在面對風險時，選擇退出市場或者只承擔有限風險，就

是一種風險規(guī)避。

5.風險補償與準備

風險補償是指事前對于所承擔的風險要求比較高的風險回報。風險

準備是指針對預期的損失提取相應(yīng)的準備金，以抵補未來可能發(fā)生

的損失，以保證金融機構(gòu)的正常運行。

Beta系數(shù)

收益率為。的第j個資產(chǎn)的Beta系數(shù)，定義為

Coy億，力）

生=2=PjM—~

說明：考慮P種不同資產(chǎn)（風險資產(chǎn)）和一份無風險資產(chǎn)f（收益率為

缶實際上就是存貸款利率）構(gòu)成一個P+1投資組合

卜=卬跖+…+嗎弓+"用9=X：叱w+嗎加。

單基金定理告訴我們，有效組合的收益率可以表示為

r=arf+（\-a）rM=a+brM

第j個資產(chǎn)的收益率為。應(yīng)該有表達式

(1.1.31)

5=a+brM

或者說，我們有理由用市場組合收益率和無風險收益率預測第j個資

產(chǎn)的收益率為小

引理：最小方差線性預測

設(shè)丫表示未觀察變量，X],…,Xg表示觀察變量，則最小方差線性預測

問題

Y=a+blX.+--+b(lX(i

的解為

a=E(Y)-Z[也EX,.

%。(Cov(Y,X^

：=(Co咚X,)「：

kJ〔cix"

根據(jù)引理，收益率々.的最小方差線性預測為

〃*+/加

其中

0=(Gou(b，①)[Cou(0,%)=,a*=勺一WM

%

由此可見，第j個資產(chǎn)的Beta系數(shù)是用市場組合收益率和無風險收

益率預測第j個資產(chǎn)的收益率時，其最小方差線性預測量中市場組合

收益率的系數(shù)。此時有

r.=a/3rM+￡iinwhichE(sj)=0(1.1.32)

根據(jù)(L1.32),當我們用市場組合和無風險資產(chǎn)的投資組合來預測與，

就可以寫為

。=(1-4)。+萬3+3=>

。?一。="山一。)+與=>勺一。=〃(劭一。)

則關(guān)于超額收益率的期望有

3一B仙M-。)<1.1.33)

第j個資產(chǎn)收益率的方差

o；=后4+Var(￡j)(1.1.34)

1.1.4Beta系數(shù)和資本資產(chǎn)定價

資產(chǎn)定價取決于資產(chǎn)收益率，所以資本資產(chǎn)定價的核心在于確定收

益率，Beta系數(shù)提供了估計收益率的一種方法：如果已經(jīng)基金M的

收益率的估計值，則資產(chǎn)j的收益率估計為勺=月(即—rf)+r于

對于變量X和Y,若有y=G+/X,則稱用為X和Y的敏感性指標。

(1.1.33)告訴我們，市場組合的超額收益率每增加1個單位，第j

個資產(chǎn)的超額收益率大概增加片個單位，市場組合的方差每增加1

個單位，第j個資產(chǎn)的方差大概增加從2個單位。這種敏感性分析在

證券投資中常用。牛市市場組合的超額收益率比較大，應(yīng)該選擇Beta

系數(shù)大的股票來獲得高收益，熊市中市場組合的超額收益率比較小

常常是負數(shù)，應(yīng)該選擇Beta系數(shù)小的股票來降低損失，震蕩市市場

組合的風險大，也應(yīng)該選擇Beta系數(shù)小的股票來降低損失。

力＞1—激進的；力＜1—保守的的力=1一中性的

1.2久期

1.2.1久期的概念

令P—資產(chǎn)價值，y-到期收益率，?=/(、).

資產(chǎn)的利率風險，一般被表述為資產(chǎn)價格變動的百分比對于到期收

益率的敏感性，即

△P

limP(1.2.11)

A.y-?O

利用Taloy展式得到

進一步的

dPdP

\P~dy1AP~dy

—?AAynhm--------=

PPAy—。PAyP

dP

由于利率與資產(chǎn)價格大多數(shù)情況下是反向運動的，所以?<0,故

久期定義為

dP

D=S(1.2.12)

P

久期是表示資產(chǎn)的利率風險的指標。久期越大，利率風險越大；久

期越小，利率風險越小。

2.在險值VaR(ValueatRisk)

2.1概念

在險值是指在一定概率水平a%(置信水平)下，一金融資產(chǎn)或者證

券組合價值在未來特定時期內(nèi)的最大可能損失。

實際上，計算VaR是在回答一個問題：在未來N天內(nèi)，有a%的把握

認為損失不會超過多少？例如某證券組合期限為1天，置信水平為

99%的VaR值為10萬元，這表明該證券組合在未來1天內(nèi)的損失只

有1%的可能性會超過10萬元，或者說，有99%的把握認為該證券組

合在未來1天內(nèi)的損失不會超過10萬元。

1.利率風險的概念

利率風險是指由于利率的變動而對某個經(jīng)濟實體的收入或凈資產(chǎn)價

值的潛在影響。

利率風險有兩種：

(1)投資風險；

(2)收入風險。

2.利率風險的度量

(1)利率的敏感性缺口分析

商業(yè)銀行的資產(chǎn)負債表分為利率敏感性資產(chǎn)與負債和非利率敏感性

資產(chǎn)與負債，定義

利率的敏感性缺口二利率敏感性資產(chǎn)-利率敏感性負債

缺口利率上升利率下降

>0盈利虧損

<0虧損盈利

(2)久期duration(持續(xù)期)分析法

①麥考利久期(MacauIayduration)

久期的概念最早是由麥考利在1938年首先提出的，麥考利久期是使

用加權(quán)平均數(shù)的形式計算債券的平均到期時間，它是債券在未來產(chǎn)

生現(xiàn)金流的時間的加權(quán)平均，其權(quán)重是各期現(xiàn)金流的現(xiàn)值在債券價

格中所占的比重。定義

m

例1假設(shè)銀行貸款期限為5年，年利率是10%,貸款票面價格為1

萬元，到期收益率為10%,求其久期。

解

P5□oo1_+joooo^=loooo

JT(I+o.iy(i+o.i)5

cox=0.0909,692=0.0826,=0.0751,以=0.0683,695=0.6826

DM=Z；W=4.17(year)

例2假設(shè)面額為1000元的3年期債券，每年支付一次利息，息票率

為10%,

(1)若市場利率為12%,求其債券的久期；

(2)若市場利率為5樂求其債券的久期；

(3)若市場利率為20%,求其債券的久期；

(4)若債券是零息票率，求其債券的久期。

解⑴。=2.73;(2)。=2.75;(3)。=2.68;(4)。=3

②久期的意義

利率上升，久期減小，利率下降，久期增大；

貼息債券的久期等于到期時間。

③久期的一般概念

令P—資產(chǎn)價值，y-到期收益率，P=/(y).

資產(chǎn)的利率風險，一般被表述為資產(chǎn)價格變動的百分比對于到期收

益率的敏感性，即

△P

lim

Ay->0Ay

利用Taloy展式得到

dP仆、1/p1d"P〃

"AD=丁3)+不*>3)+…+7丁(Ay)+

ay2!ayn\ay

進一步的

dPdP

\P~dy\\P~dy

——?-^-AAynhm------=

PPA）T。PAyP

由于利率與資產(chǎn)價格大多數(shù)情況下是反向運動的（方=SH"T））,所以

dP

豆＜0,故

P

久期定義為

dP

D=-空

P

久期是表示資產(chǎn)的利率風險的指標。久期越大，利率風險越大；久

期越小，利率風險越小。

④與麥考利久期的關(guān)系

推導：債券定價公式

CnA.

>------xt+------

dp]_1j(l+y)(1+W

dyp1+yP

3..在險值VaR(ValueatRisk)

3.1概念

在險值是指在一定概率水平a%（置信水平）下，一金融資產(chǎn)或者證

券組合價值在未來特定時期內(nèi)的最大可能損失。

實際上，計算VaR是在回答一個問題：在未來N天內(nèi)，有a%的把握

認為損失不會超過多少？例如某證券組合期限為1天，置信水平為

99%的VaR值為10萬元，這表明該證券組合在未來1天內(nèi)的損失只

有1%的可能性會超過10萬元，或者說，有99%的把握認為該證券組

合在未來1天內(nèi)的損失不會超過10萬元。即

Pr（AH<TO）=1%oPr（An>-10）=99%

一般的

Pr（AH<-VaR）=（100-?）%

其中ATI表示投資組合價值的未來變動。所以-VaR就是人口1-。％的

分位數(shù)。

直觀上，VaR是將整體損失的可能性概括為一個簡單的數(shù)字，能夠讓

人立刻知道“最糟糕的情況會如何”，是使用最廣泛的風險指標之一,

在適用性方面，VaR既可以度量市場風險，也可以度量信用風險

2.2VaR的參數(shù)

時間長度，置信水平，An的分布特征

(1)時間長度

選擇時間長度N就是確定要計算資產(chǎn)在未來多長時間內(nèi)的最大損失,

原則上應(yīng)該根據(jù)資產(chǎn)的特點和投資組合管理的需要確定。一般來說,

流動性強的交易頭寸往往需要以每日為周期計算風險收益和VaR,而

一些期限比較長的頭寸如養(yǎng)老金則可以以每月為期限

一個使用公式：N天VaR值=1天VaR值xVJ?

(2)置信水平的選擇

置信水平的大小選擇代表了對于結(jié)果需要多大的把握和信心。例如

95%的置信水平意味著預期100天內(nèi)大概有5天的損失超過VaR值，

若置信水平提高為99%,意味著預期100天內(nèi)大概只有1天的損失超

過對應(yīng)的VaR值。

置信水平一般在95%-99%。RiskMetrics選擇95%,美洲銀行選擇

99%,巴塞爾委員會則要求采用99%。

(3)△口的分布特征

2.3VaR的基本計算方法

參數(shù)解析法，模擬法

假設(shè)V—資產(chǎn)組合的價值，n個風險因子E，…,S”，滿足

風險因子51,…總的變化率為

r=,inwhich,并且

r~N(0,￡)

(1)單風險因子的VaR值

<?N（O,cr；）ndS~Ng,S；o；）

—?N（O,l）nPr=1—a%

S巴gqJ

Pr（dSj<Sq：“「a%）=1-。％n

VaRi=-Sq；〃-a%=S,q產(chǎn)0%

(2)資產(chǎn)組合的VaR值

令

則A,表示資產(chǎn)組合對于風險因子S,的一階敏感系數(shù)。

根據(jù)Taloy展式，資產(chǎn)組合增量近似表示為

dV=2LA典=E-=14,皿=及SY其中

△=(A,△J,S=成ag(E,S”)

引理(多元正態(tài)分布的線性變換)設(shè)

y?NpW，2),Z=〃+BkxpYnZ?做S+BR,BEB，)

根據(jù)引理，我們有

dV-N(O,"SESA)o~?N(0,l)

'7JA52sA

(dV、/

=>Pr,<u=l-tz%=>PrlJV<u

L}A/9%1%

UA'SZSA-)\“R

=>VaR=—%%dNSESk=%%SSESA=UR'BR

例3：假設(shè)一個價值為100萬元的股票頭寸，該股票的日波動率為

1.9%,該投資組合的價值變動服從正態(tài)分布，投資組合的價值的預

期變動為。.試計算10天時間置信水平為99%的在險值。

解:=10,a=0.99,5=1000000,o-=1.9%,則1天的在險值為

VaR=Sb%99=1000000x0.019x2.33=44270

thenVaRfor10daysis

44270x710=139994

例4：目前資產(chǎn)A和資產(chǎn)B的日波動率分布為1.5%和1.8%,兩種資

產(chǎn)收益率之間的相關(guān)系數(shù)的估計值是0.3,一個價值為30萬元的資

產(chǎn)A和50萬元的資產(chǎn)B組成的投資組合，其置信水平為99%的10

天在險值是多少元。

解：N=10,a=0.99,§=300000,cr=1.5%5=500000,cr,.=1.5%,,

I'rA'A

則1天的在險值為

VaR1=S](T/0.99=10485,VaR1==20970

thenVaRfor10daysare

10485x710=33156,20970x7lO=66312

A,=—,A=一,夕=0.3=>

182?8

94.5

6464

54.525

8>8；

94.51

'10485

=(1048520970)6464=147702

4.525、20970

64>

VaR=14770

3.利率風險管理

3.1基于遠期的利率風險管理

例5假設(shè)美國銀行需要fix3個月后開始的100萬美元、期限為

6個月的基于LIBOR的融資利率，即3個月后，銀行將貸出6個

月期的100萬美元給客戶，然而，客戶需要立即從銀行處確定利

率，而另一方面，銀行自己不能給出利率承諾，除非銀行能fix自

己的融資成本。銀行與某個遠期利率協(xié)議交易商聯(lián)系。當時6個

月的LIBOR報價為&25%。銀行向交易商詢問3個月對9個月期

的LIBOR遠期報價，交易商給出8.32%,即遠期利率協(xié)議交易商

報出在3個月后開始的6個月期LIBOR存款利率為8.32%O銀行

（作為合約的買方）接受了。在這個利率基礎(chǔ)上，銀行向客戶報

出8.82%O銀行利用它自己內(nèi)部制訂的對于最優(yōu)信用等級客戶的

貸款利率是LIBOR加50個基本點這一貸款規(guī)則，來完成這筆交

易。也就是說，銀行在融資成本LIBOR上加上50個基本點，來

實現(xiàn)自己的利潤并抵補所承擔的信用風險。

試分析銀行如何利用遠期利率協(xié)議來保證自己的收益。

第十二章股票價格風險管理

1.資產(chǎn)收益率

（1）單期收益率

若紅利發(fā)放，則

P,

總收益率二=1+K

匕］

（2）多期收益率

pk-l

K期的總收益率二=1+?（左）=口（1+隼/）

P.kj=0

k-\

于是K期收益率凡（k）="（1+犀））-1

J=o

如果K期取為k年，則年化收益率為

1

-女-111

n（i+%）t

_>0_

（3）連續(xù)復利收益率（對數(shù)收益率）

r=In=InP-InP.

%i

K期連續(xù)復利收益率rt=In=In月-InP—=ft憶

意義：1單位資產(chǎn)，收益率為R,1年后1+R,連續(xù)復利收益率r,

則lim(l+上=e,=>e=1+1?=>r=ln(l+1?)=In

nJPt_x

(5)超額收益率

*

D_r

(6)投資組合收益率

R<=￡二嗎&

Markowitz投資組合選擇理論

1.基本概念

設(shè)有p種不同資產(chǎn)，收益率為乙,i=l,記

〃=(4,…，弓)T，〃=4r)=(〃i，?'〃p)'，E=C3(r)=(%)。

以這2種不同資產(chǎn)構(gòu)成投資組合，權(quán)重依次為嗎，則隨機變量

,,

r=yl叫力的概率分布描述了投資組合的收益率分布情況，其期望

和方差是刻畫rp的兩個重要的量：

/=￡(9)=ZI］叱"=W'〃，=Var(Rp)=W'^W

以暝，勺分別作為橫座標和縱座標在平面直角坐標系上形成一個平

面區(qū)域，稱為可行域。外與對應(yīng)的最?。バ纬梢粭l曲線，稱為最小

方差集。人們已經(jīng)證明這條曲線是二次曲線(見后)。在最小方差集

曲線上有一個全局方差最小點，該點上方的那一段曲線稱為有效前

沿。顯然有效前沿表示了投資組合的最優(yōu)狀態(tài)。因此對應(yīng)的投資組

合w*=(討,…,吟)稱為有效組合。

2.有效組合的計算

有效組合的計算是一個最優(yōu)化問題：

min卬》卬

w

w'u=u*

s."

w'l=l

因為現(xiàn)在做空已經(jīng)是常態(tài)，所以不必限制叱叱（）。

利用多因子Lagrange乘子法，作

F(vv,2,/)=w'Ew—24(一〃*)—2/(w'1—1)

Zw=2//+/1

f?*]("'+刃’用z=〃*

<w〃=〃=>w=S-1(2/./+/l)n

[(%+"尸1=]

w'\=1

〃*A

即匯"+川訂""?+/A=4*,1CCu-A

iiA=-------------=---------------

初￡-|1+/1￡\=1AA+Q=1BABC-A2

AC

則一案箋

?(^(C/z-AO+Bl-A//)

w=2“("/+/l)=2

BC-A2

(4*(0〃-AS-11)+B2T1-AZ->

―BC-A2

對應(yīng)的最小方差為

C(〃*)22A〃*+8

端（〃*）=

BC-A2

由此看出，b；卬沛"*構(gòu)成一條二次曲線。進一步的

C*4/6\2—A~

C(〃-AC)+-----------

**)=一…。

（\A\

所以全局最小方差點為-，全局MVP為

lcC）

L-Il

w=—

c

1.1.2CAPM

考慮p種不同資產(chǎn)（風險資產(chǎn)）和一份無風險資產(chǎn)f（收益率為o,

實際上就是存貸款利率）構(gòu)成一個p+1投資組合尺=2二產(chǎn)內(nèi)+%+“

記

'r、

7、

G=E(/)=(M，…，4,。)'=

J

'r\F0、

￡=Coy⑺=Cov

JJW0>

有效組合的計算問題就變?yōu)?

minw"Lw

w

\v口二N

w'l=l

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利用Lagrange乘子法，作

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