機(jī)械振動(dòng)習(xí)題解答 (一)

第十五章機(jī)械振動(dòng)

一選擇題

1.對(duì)一個(gè)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體，下面哪種說(shuō)法是正確的（）

A.物體在運(yùn)動(dòng)正方向的端點(diǎn)時(shí)，速度和加速度都到達(dá)最大值；

B.物體位于平衡位置且向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度和加速度都為零；

C.物體位于平衡位置且向正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度最大，加速度為零；

D.物體處負(fù)方向的端點(diǎn)時(shí)，速度最大，加速度為零。

解：根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度公式分析。

答案選C。

2.以下四種運(yùn)動(dòng)（忽略阻力）中哪一種不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)（）

A.小球在地面上作完全彈性的上下跳動(dòng)；

B.豎直懸掛的彈簧振子的運(yùn)動(dòng)；

C.放在光滑斜面上彈簧振子的運(yùn)動(dòng)；

D.浮在水里的一均勻球形木塊，將它局部按入水中，然后松開(kāi)，使木塊上下浮動(dòng)。

解：A中小球沒(méi)有受到回復(fù)力的作用。

答案選A。

3.一個(gè)輕質(zhì)彈簧豎直懸掛，當(dāng)一物體系于彈簧的下端時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)了/而平衡。

則此系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)振動(dòng)的角頻率為（）

解由kl=mg可得k=mg〃,系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)振動(dòng)的固有角頻率為口二

故此題答案為B。

4.一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)（用余弦函數(shù)表達(dá)），假設(shè)將振動(dòng)速度處于正最大值的某時(shí)刻取

作/=0,則振動(dòng)初相。為（）

A.--B.OC.-D.n

22

解由x=ACOS（G/+0）可得振動(dòng)速度為o=H=-cMsin（Gf+9）。速度正最大時(shí)

d/

有cos（<y/+°）=0,sin（5+°）=-1,假設(shè)r=0,則夕=一二<>

故此題答案為A。

5.如以以下圖，質(zhì)量為血的物體，由勁度系數(shù)為右和幻的兩個(gè)輕彈簧連接，在光

滑導(dǎo)軌上作微小振動(dòng)，其振動(dòng)頻率為（）

kik?__

八AA/4〃?

選擇題5圖

解：設(shè)當(dāng)，〃離開(kāi)平衡位置的位移為x,時(shí)，勁度系數(shù)為卜和心的兩個(gè)輕彈簧的伸長(zhǎng)

量分別為處和迫，顯然有關(guān)系

此時(shí)兩個(gè)彈簧之間、第二個(gè)彈簧與和物體之間的作用力相等。因此有

由前面二式解出內(nèi)=—X,將加代入第三式，得到

攵?十七

將此式與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程對(duì)比，并令&2=,即得振動(dòng)頻率

〃啥+k2）

v=_LI卜1七。

2兀yin（k1+k2）

所以答案選D。

6.如題圖所示，質(zhì)量為機(jī)的物體由勁度系數(shù)為自和幻的兩個(gè)輕彈簧連接，在光滑

導(dǎo)軌上作微小振動(dòng)，則該系統(tǒng)的振動(dòng)頻率為（）

h——.k?

個(gè)A\A/_同

選擇題6圖

解：設(shè)質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移是M假設(shè)x>0,則第一個(gè)彈簧被拉長(zhǎng)］，而第二個(gè)

彈簧被壓縮-作用在質(zhì)點(diǎn)上的回復(fù)力為-公r）。因此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

令&2=勺￥1,即y="L反耳

m2兀Vm

所以答案選Bo

7.彈簧振子在光滑水平面上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，彈性力在半個(gè)周期內(nèi)所作的功為（）

A.kA2B.（1⑵乂2C.（1/4）M2D.0

解：每經(jīng)過(guò)半個(gè)周期，彈簧的彈性勢(shì)能前后相等，彈性力的功為0,故答案選D。

8.一彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，總能量為與假設(shè)振幅增加為原來(lái)的2倍，振子的質(zhì)量

增加為原來(lái)的4倍，則它的總能量為（）

A.2EB.4EC.ED.16E

解：因?yàn)椤晁源鸢高xB.

2

9.有同方向的兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振動(dòng)表達(dá)式分別為

則合振動(dòng)的振幅為()

A.J^TcmB.VFTcmC.11cmD.61cm

解A=J精+宙+2A〕A?cos(^2-)

所以答案選A。

10.一振子的兩個(gè)分振動(dòng)方程為?=4cos3f,X2=2cos(3r+n)，則其合振動(dòng)方

程應(yīng)為：()

A.x=4cos(3r+Ji)B.x=4cos(3t-n)

C.x=2cos(3r-n)D.x=2cos3t

解：x=x\+X2=4cos3f+2cos(3f+力)=4cos3r-2cos3r=2cos3r

所以答案選D。

11.為測(cè)定某音叉C的頻率，可選定兩個(gè)頻率的音叉A和B；先使頻率為800Hz

的音叉A和音叉C同時(shí)振動(dòng)，每秒鐘聽(tīng)到兩次強(qiáng)音；再使頻率為797Hz音叉B和C同

時(shí)振動(dòng)，每秒鐘聽(tīng)到一次強(qiáng)音，則音叉C的頻率應(yīng)為：()

A.800HzB.799HzC.798HzD.797Hz

解：拍的頻率是兩個(gè)分振動(dòng)頻率之差。由題意可知：音叉A和音叉C同時(shí)振動(dòng)時(shí)，

拍的頻率是2Hz,音叉B和音叉C同時(shí)振動(dòng)時(shí)，拍的頻率是1Hz,顯然音叉C的頻率

應(yīng)為798Hzo

所以答案選C。

二填空題

1.一質(zhì)量為團(tuán)的質(zhì)點(diǎn)在力尸二-冗2工作用下沿/軸運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)的周期為。

解：7=2爬=2冗后=2而。

2.如圖，一水平彈簧簡(jiǎn)諧振子振動(dòng)曲線如以以下圖，振子處在位移為零，速度為-

必1、加速度為零和彈性力為零的狀態(tài)，對(duì)應(yīng)曲線上的點(diǎn)，振子處在位移的絕對(duì)值為A、

速度為零、加速度為-人和彈性力為的狀態(tài)，則對(duì)于曲線上的點(diǎn)。

解：h；a、eo

填空題2圖填空題3圖

，()-一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)'振幅為4當(dāng)它離開(kāi)平衡位置的位移為時(shí)'其動(dòng)能

反和勢(shì)能弓的比值”=

Ep

解勢(shì)能丸」辰2,江，總機(jī)械能為七」江，動(dòng)能七為儲(chǔ)。故*=3。

P2828Ep

11.兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式分別為

(=6.0x10-2cos(與r+：)(SI),X?=4.0x10-2cos(半，一；)(SI),則其合振動(dòng)的表

達(dá)式為(SI)0

解此題為個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。

(1)解析法合振動(dòng)為工=2+工2，

其中0=11.3。

(2)旋轉(zhuǎn)矢量法如以以下圖，用旋轉(zhuǎn)矢量A和A2分別表示兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)不和足，

合振動(dòng)為和A2的合矢置4,按矢量合成的平行I四邊形法則

A=10-2XA/62+42=7.2xl0-2m,A/、

A,sin69.+Asin(p1一，c/

tane=————...??——a?=-,^=11.3°------/

x

Aicos(p、+A2COS(p25久

故合振動(dòng)的表達(dá)式為x=7.2x1O_2cos(yr+11.3°)

三計(jì)算題

1.一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅A=2cm,圓頻率3=4JIS-I,以余弦函數(shù)表達(dá)運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)

的初相位方兀/2。試畫(huà)出位移和時(shí)間的關(guān)系曲線(振動(dòng)曲線)。

解：圓頻率3=4JIS」，故周期丁=2冗/3=24n=0.5s,又知初相位涔Ji/2,故

位移和時(shí)間的關(guān)系為x=().02cos(4H/+K/2)m,振動(dòng)曲線如以以以下圖所示。

x(m)

0.02....

\(159/r(s)

-0.02、J

2.一質(zhì)量為0.02kg的質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為x=0.60cos(51-n/2)m。

求：(1)質(zhì)點(diǎn)的初速度；(2)質(zhì)點(diǎn)在正向最大位移一半處所受的力。

解：(1)z；=—=-3.Osin(5r--)

dr2

vQ=-3.0sin(——)=3.0m/s

(2)F=ma=-mco2x

mV2=0.3m時(shí)，F(xiàn)=-O.O2x52x0.3=-0.15No

3.一立方形木塊浮于靜水中，其浸入局部高度為〃o今用手指沿豎直方向?qū)⑵渎?/p>

慢壓下，使其浸入水中局部的高度為b,然后放手讓其運(yùn)動(dòng)。試證明：假設(shè)不計(jì)水對(duì)

木塊的粘滯阻力，木塊的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)并求出周期及振幅。

證明：選如圖坐標(biāo)系:，靜止時(shí)：mg=pgaS------(1)

任意位置時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程為：—=——(2)

dx2

將(1)代入(2)得一/gS(x-a)二m—r

dr

.d2xd2y,仁dv2

令y=x-a,則一-=—彳，上式化為：_pgSy=my

d廠dtdr-

令心=。照得:^_十&2),=0...(3)

tndr

上式是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程，它的通解為:y=Acos(血+%)

所以木塊的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng).

振動(dòng)周期：7=0=2%國(guó)二=2?？?/p>

①7PgsNg_______

f=0時(shí)，x0=b,yQ=b-a,%=0振幅:4=/：+烏=b-a

4.在一輕彈簧下懸掛％=100#的物體時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)8cm。現(xiàn)在這根彈簧下端懸掛

〃『250g的物體，構(gòu)成彈簧振子。將物體從平衡位置向下拉動(dòng)4cm,并給以向上的21cm/s

的初速度(令這時(shí)尸0).選x軸向下，求振動(dòng)方程

解：在平衡位置為原點(diǎn)建設(shè)坐標(biāo)，由初始條件得出特征參量。

彈簧的勁度系數(shù)&="?(送/加。

當(dāng)該彈簧與物體機(jī)構(gòu)成彈簧振子，起振后將作匿諧振動(dòng)，可設(shè)其振動(dòng)方程為:

x=4cos回+如

角頻率為3=4kTm代入數(shù)據(jù)后求得①=7rad

以平衡位置為原點(diǎn)建設(shè)坐標(biāo)，有：

x0=0.04m,%=-0.21ms

2

據(jù)4=+(vQ/co)得：A=0.05m

據(jù)夕=±cos-1.得S=±0.64rad,由于。0<0,應(yīng)取(p=0.64rad

A

于是，所求方程為：x=0,05C6>5(7r+0.64)m

據(jù)夕=±cos-包得夕=±兀/2,由于為<0,應(yīng)取*=兀/2

A

于是，其振動(dòng)方程為:

x2=0.06cos(1Or+it/2)m

5.某質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)曲線如題圖所示，試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求(1)振動(dòng)表達(dá)式,

(2)與P點(diǎn)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的相位，(3)與P點(diǎn)狀態(tài)相應(yīng)的時(shí)刻。

解(1)設(shè)振動(dòng)表達(dá)式為

x=Acos(①t+e)

由題圖可見(jiàn)，A=0.1m,當(dāng)，=0時(shí),有，

%=().1cos°=().05m,這樣得到*=±］。由振

動(dòng)曲線可以看到，在/=()時(shí)刻曲線的斜率大于

零，故/=()時(shí)刻的速度大于零，由振動(dòng)表達(dá)式

可得

。0=-2<wsin(ff>0

即sin(fX0,由此得到初相位夕=-方o

類(lèi)似地，從振動(dòng)曲線可以看到，當(dāng)/=4s時(shí)有

1

聯(lián)立以上兩式解得々0-凡=二，則3=2■兀rad-s-因此得到振動(dòng)表達(dá)式

3224

5Tt

x=0.10cos(—兀，一］)m

57T一一S7T

(2〕在。點(diǎn)，x=0.10cos(—nr--)=0.1,因此相位(二m--)=0o

243243

⑶liI(—7tr--)=(),解出與P點(diǎn)狀態(tài)相應(yīng)的時(shí)刻，=1.6s。

243

6.兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在同方向徑同頻率、同振幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。在振動(dòng)過(guò)程中，每當(dāng)它們經(jīng)過(guò)

振幅一半的地方時(shí)相遇，而運(yùn)動(dòng)方向相反。求它們的相位差，并畫(huà)出相遇處的旋轉(zhuǎn)矢量

圖。

解：因?yàn)槿f(wàn)=Acos(0(+0])=Acos(&f+02)，所以

,71,71

+=i—,69/+夕2=±—，

故△。二?；蛟唬　鳌?等。

旋轉(zhuǎn)矢量圖如左。

7.如圖，有一水平彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)A=24N/in,重物的質(zhì)量〃z=6kg,

重物靜止在平衡位置上，設(shè)以一水平恒力廠二10N向左作用于物體(不計(jì)摩擦)，使之

由平衡位置向左運(yùn)動(dòng)了0.05m,此時(shí)撤去力F,當(dāng)重物運(yùn)

動(dòng)到左方最遠(yuǎn)位置時(shí)開(kāi)場(chǎng)計(jì)時(shí)，求物體的運(yùn)動(dòng)方程?！猑/\/\/\/JLF

解：設(shè)物體振動(dòng)方程為：X=ACOS(31+0),恒外------------1--------＞

力所做的功即為彈簧振子的能量E：°cX

E=Fx0.05=0,5J計(jì)算潁7圖

當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到左方最遠(yuǎn)位置時(shí)，彈簧的最大彈性勢(shì)能即為彈簧振子的能量E：

kA1/2=0.5

由此球出振幅A=0.204mo

根據(jù)/=%/〃?=24/6=4(rad/s)2,求出3=2rad/s。

按題中所述時(shí)刻計(jì)時(shí)，初相位為行兀。所以物體運(yùn)動(dòng)方程為

x=0.204cos(2r+n)m

8.一水平放置的彈簧系一小球在光滑的水平面作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。球經(jīng)平衡位置向右運(yùn)

動(dòng)時(shí)，v=100cms-',周期T=1.0s,求再經(jīng)過(guò)1/3秒時(shí)間，小球的動(dòng)能是原來(lái)的多少倍

彈簧的質(zhì)量不計(jì)。

解：設(shè)小球的速度方程為：

v=vmcos(2nz/T+夕)

以經(jīng)過(guò)平衡位置的時(shí)刻為r=(),根據(jù)題意/=()時(shí)。=%=10()cmsL且。＞0。所以

vm=如(p=0

此時(shí)小球的動(dòng)能Eko=mVo2/2o

經(jīng)過(guò)1/3秒后，速度為。=acos[2兀/(3T)]=-Po/2。其動(dòng)能

Ek=mv2/2=mv(?/8

所以耳/氏=1/4,即動(dòng)能是原來(lái)的1/4倍。

9.一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程為:x=6.0X10-2cos(n//3-n/4)m。

(1)當(dāng)x值為多大時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為總能量的一半

(2)質(zhì)點(diǎn)從平衡位置移動(dòng)到此位置所需最短時(shí)間為多少

ft?：(1)勢(shì)能多二正/2，總能量E=。2/2。根據(jù)題意，^/2=M2/4,得到

X=+A141=±4.24x1CT?m,此時(shí)系統(tǒng)的勢(shì)能為總能量的一半。

(2)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期T=2H/＜，=6s,根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，易知從平衡位

置運(yùn)動(dòng)到廣士A/行的最短時(shí)間，為778,所以

1=6/8=0.75s

10.如以以下圖，勁度系數(shù)為七質(zhì)量為根。的

彈簧振子靜止地放置在光滑的水平面上，一質(zhì)量為

〃i的子彈以水平速度q射入加。中，與之一起運(yùn)動(dòng)。

選〃?、〃%開(kāi)場(chǎng)共同運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻為t=0,求振動(dòng)的

固有角頻率、振幅和初相位。計(jì)算題1（）圖

解：碰后振子的質(zhì)量為"2+,故角頻率

設(shè)碰撞后系統(tǒng)的速度為?！?碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，故得到口。系統(tǒng)的初

"%+m

始動(dòng)能為'（〃％+，〃）說(shuō)，在最大位移處全部轉(zhuǎn)換為彈性勢(shì)能即振幅令振動(dòng)方程

22

為工=Acos（6y/+0）,則速度一=-rMsin（6yt+（p）

dzo

當(dāng)/=0時(shí)，Acos=A=0,r=Asin<0,可解出初相位°

11.一個(gè)勁度系數(shù)為〃的彈簧所系物體質(zhì)量為〃粒物體在光滑的水平面上作振幅為

A的簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，一質(zhì)量為機(jī)的粘土從高度〃處自由下落，正好在（a）物體通過(guò)平衡

位置時(shí)，（b）物體在最大位移處時(shí)，落在物體〃%上。分別求：（1）振動(dòng)的周期有何變

化（2）振幅有何變化

解：（1）物體的原有周期為〃=2兀而”，粘土附上后，振動(dòng)周期變?yōu)?/p>

7=2兀5（加0+〃?）/%,顯然周期增大。不管粘土是在何時(shí)落在物體上的，這一結(jié)論都正

確。

（2）設(shè)物體通過(guò)平衡位置時(shí)落下粘土，此時(shí)物體的速度從如變?yōu)楦鶕?jù)動(dòng)量守

恒定律，得到

又設(shè)粘土附上前后物體的振幅由八o變?yōu)榘?，則有

由以上三式解出A=,口即振幅減小。

\m0+m

物體在最大位移處時(shí)落下粘土，-^=-M2,此時(shí)振幅不變。

22

12.如題圖所示，一勁度系數(shù)為攵的輕彈簧，一端固定在墻上，另一端連結(jié)一質(zhì)量為

他的物體，放在光滑的水平面上。將一質(zhì)量為嗎的物體跨過(guò)一質(zhì)量為m,半徑為R的

定滑輪與他相連，求其系統(tǒng)的振動(dòng)圓頻率。

解方法一：以彈簧的固有長(zhǎng)度的端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).，向右為正建設(shè)坐標(biāo)So對(duì)叫和

團(tuán)2應(yīng)用牛頓第二定律、對(duì)〃？應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得到加速度和角加速度之間具有

關(guān)系

解上面的方程組得令x=S-儂，上式簡(jiǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的振動(dòng)方程

k

系統(tǒng)的振動(dòng)圓頻率方法二：在該系統(tǒng)的振動(dòng)過(guò)程中，只有重力和彈簧的彈性力做功，因

此該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。將切=衛(wèi)和4='/山?2代入，得到

R2

將上式對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，得到

上式和解法一的結(jié)果一樣C同樣，圓頻率為+。=,-------------

、m2+〃?/2

13.一物體同時(shí)參與兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng):x\=0.04cos(2nr+Ji/2)m；X2=0.03

cos(2nr+Ji)m。求此物體的振動(dòng)方程。

解：這是兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，合成后的振動(dòng)仍為同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

設(shè)合成運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)方程為：

x=Acos(W+e)

則

A2=AI2+A22+2A\Az—(pi)

式中二Ji-n/2=n/2o代入上式得

A="2+32=