2.3 確定二次函數(shù)的表達(dá)式 北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)課件

確定二次函數(shù)的表達(dá)式九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)北師大版生活中有很多類似拋物線形狀的建筑物,如果你是設(shè)計(jì)師,你能設(shè)計(jì)出這些建筑物嗎?新知講解初步探究確定二次函數(shù)表達(dá)式所需要的條件如圖所示,這是一名學(xué)生推鉛球時(shí),鉛球行進(jìn)高度y(m)與水平距離x(m)之間的圖象,你能求出其表達(dá)式嗎?解:∵(4,3)是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),∴設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-4)2+3,把點(diǎn)(10,0)代入y=a(x-4)2+3,解得a=

,因此鉛球行進(jìn)高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)表達(dá)式為y=-(x-4)2+3.總結(jié):(1)形如y=ax2的二次函數(shù),因?yàn)橹挥幸粋€(gè)系數(shù)a是未知的,所以只需要知道圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可.(2)形如y=a(x-h)2和y=ax2+k的二次函數(shù),有兩個(gè)系數(shù)是未知的,所以需要知道圖象上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可.(3)形如y=a(x-h)2+k的二次函數(shù),如果已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo),那么再知道圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就可以確定二次函數(shù)的表達(dá)式.關(guān)于y軸對(duì)稱

【例1】已知二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,3)和(－1,－3)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．

已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－2，8)和(－1，5)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．

圖象經(jīng)過原點(diǎn)特殊條件的二次函數(shù)的表達(dá)式1對(duì)于特殊條件的二次函數(shù)，

y=ax2+bx，

y=ax2+c:1.特點(diǎn)：①表達(dá)式中含有2個(gè)未知系數(shù)；

②題目中有兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)；2.解法：①代：將兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)帶入表達(dá)式中，得一個(gè)方程組；②解：解方程組；③寫：寫出表達(dá)式

對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中有幾個(gè)待定系數(shù)？需要幾個(gè)拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)才能求出來？3個(gè)3個(gè)

【例2】已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（-1，10）,（1，4）,（2，7）三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出它的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．

一般情況的二次函數(shù)21.方法：待定系數(shù)法2.步驟：①設(shè)：設(shè)表達(dá)式為y=ax2+bx+c；②代：將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)帶入所設(shè)的二次函數(shù)表達(dá)式中；③解：解三元一次方程組,得到a,b,c的值；④還原：把待定系數(shù)用數(shù)字換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式.

已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（－3，0），（－1，0）和（0，－3），試求出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

在什么情況下，一個(gè)二次函數(shù)只知道其中的兩點(diǎn)就可以確定它的表達(dá)式？二次函數(shù)y

＝ax2

＋bx

＋c

用配方法可化成：y

＝a（x-h）2

＋k，頂點(diǎn)是（h，k）．如果已知頂點(diǎn)坐標(biāo)，那么再知道圖象上另一點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以確定這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．二次函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)中有兩個(gè)是未知的，知道圖象上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可以確定這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式． 【例3】選取頂點(diǎn)（－2，1）和點(diǎn)（1,－8），試求出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y=a(x－h(huán))2＋k,

把頂點(diǎn)（－2，1）代入y=a(x－h(huán))2＋k得

y=a(x＋2)2＋1，再把點(diǎn)（1，－8）代入上式得

a(1＋2)2＋1=－8，

解得a=－1.∴所求的二次函數(shù)的表達(dá)式是y=－(x＋2)2＋1或y=－x2－4x－3.頂點(diǎn)法求二次函數(shù)的方法31.知道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，求表達(dá)式的方法叫做頂點(diǎn)法.2.步驟：①設(shè)：設(shè)函數(shù)表達(dá)式是y=a(x－h(huán))2＋k；②代：先代入頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到關(guān)于a的一元一次方程；③解：將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入原方程求出a值；④寫：a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式.解：∵（－3，0）（－1，0）是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn).

∴可設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y=a(x－x1)(x－x2).(其中x1、x2為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)).

∴得y=a(x＋3)(x＋1).

再把點(diǎn)（0，－3）代入上式得

a(0＋3)(0＋1)=－3，解得a=－1，

∴所求的二次函數(shù)的表達(dá)式是y=－(x＋3)(x＋1),

即y=－x2－4x－3.【例4】選取（－3，0），（－1，0），（0，－3），試求出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

xyO12-1-2-3-4-1-2-3-4-512頂點(diǎn)法求二次函數(shù)的方法41.知道拋物線與x軸的交點(diǎn)，求表達(dá)式的方法叫做交點(diǎn)法.2.步驟是：①設(shè)：設(shè)函數(shù)表達(dá)式是y=a(x－x1)(x－x2)；②代：將兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)x1,x2代入到表達(dá)式中，得到關(guān)于a的一元一次方程；③解：將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入原方程求出a值；④寫：a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式.解析:∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2),且經(jīng)過(2,1),∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2-2,把(2,1)代入得1=a(2-1)2-2,解得a=3,∴y=3(x-1)2-2=3x2-6x+1.故選B.1.某拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2),且經(jīng)過(2,1),則拋物線的解析式為 (

)A.y=3x2-6x-5 B.y=3x2-6x+1C.y=3x2+6x+1 D.y=3x2+6x+5B2.

二次函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式正確的是(

)A.y=2x2-4x

B.y=-x(x-2)C.y=-(x-1)2+2

D.y=-2x2+4x解析:根據(jù)圖象得:拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+2,將(2,0)代入解析式,得0=a+2,解得a=-2,則拋物線解析式為y=-2(x-1)2+2=-2x2+4x.故選D.D鞏固練習(xí)解析:設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-3)(x-4),而a=1,所以二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=(x-3)(x-4)=x2-7x+12.故填y=x2-7x+12.3.已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,0)和(4,0),則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是

.

y=x2-7x+124.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為

.

解析:∵拋物線過(0,-3),∴c=-3,設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx-3,把(-1,0),(3,0)分別代入二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx-3中,得解這個(gè)方程組,得∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-2x-3.故填y=x2-2x-3.y=x2-2x-35.若拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(2,1),且經(jīng)過點(diǎn)B(1,0),求此拋物線的解析式.解析:設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2+1,將點(diǎn)B(1,0)代入解析式即可求出a的值,從而得到二次函數(shù)解析式.解:設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2+1,將B(1,0)代入y=a(x-2)2+1,得a=-1,所以二次函數(shù)解析式為y=-(x-2)2+1,展開得y=-x2+4x-3.通過本節(jié)課你學(xué)到了什么？課堂總結(jié)①已知三點(diǎn)坐標(biāo)②已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值③已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)已知條件所選方法用一般式法：y=ax2+bx+c用頂點(diǎn)法：y=a(x－h(huán))2+k用交點(diǎn)法：y=a(x－x1)(x－x2)