用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征二教案北師大

第一章統(tǒng)計(jì)第八課時1.6用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(二)一、三維目標(biāo)1、知識與技能(1)能根據(jù)實(shí)際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并做出合理的解釋．(2)會用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征．(3)形成對數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評價的意識．2、過程與方法在解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中，進(jìn)一步體會用樣本估計(jì)總體的思想，理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法．3、情感態(tài)度與價值觀會用隨機(jī)抽樣的方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題，認(rèn)識統(tǒng)計(jì)的作用，能夠辨證地理解數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系．二、教學(xué)重點(diǎn)：用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差．三、教學(xué)難點(diǎn)：能應(yīng)用相關(guān)知識解決簡單的實(shí)際問題．新課導(dǎo)入設(shè)計(jì)導(dǎo)入一在日常生活中,我們往往并不需要了解總體的分布形態(tài),而是更關(guān)心總體的某一數(shù)字特征,例如：買燈泡時,我們希望知道燈泡的平均使用壽命,我們怎樣了解燈泡的使用壽命呢？當(dāng)然不能把所有燈泡一一測試,因?yàn)闇y試后燈泡則報廢了．于是,需要通過隨機(jī)抽樣,把這批燈泡的壽命看作總體,從中隨機(jī)取出若干個個體作為樣本,算出樣本的數(shù)字特征,用樣本的數(shù)字特征來估計(jì)總體的數(shù)字特征．導(dǎo)入二用隨機(jī)抽樣的方法獲得樣本，我們就會得到一組數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)思想的本質(zhì)就是用樣本估計(jì)總體．用樣本估計(jì)總體，一般有兩種方法：一是用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布；二是用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征．第一種方法我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了啦，本節(jié)我們繼續(xù)學(xué)習(xí)第二種方法．教學(xué)流程：通過具體實(shí)例理解眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù)↓從頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)↓從頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)↓從頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)↓問題探究↓小結(jié)、作業(yè)教學(xué)情境設(shè)計(jì):1．創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了用圖、表組織樣本數(shù)據(jù)，并且學(xué)習(xí)了如何通過圖、表提供的信息，用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布.在日常生活中，我們往往并不需要了解總體的分布形態(tài)，而是關(guān)心總體的某一數(shù)字特征，例如：居民月均用水量問題，我們關(guān)心的是數(shù)字，而不是總體的分布形態(tài).因此我們要通過樣本的數(shù)據(jù)對總體的數(shù)字特征進(jìn)行研究.——用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征（板出課題）.2．探究：（1）怎樣將各個樣本數(shù)據(jù)匯總為一個數(shù)值，并使它成為樣本數(shù)據(jù)的“中心點(diǎn)”？我們初中時學(xué)習(xí)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)等數(shù)字特征.我們共同回憶一下？什么是眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)？眾數(shù)—一一組數(shù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).中位數(shù)——將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．平均數(shù)——將所有數(shù)相加再除以這組數(shù)的個數(shù),所得到得數(shù).熱身訓(xùn)練:求下列各組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（1）1，2，3，3，3，4，6，7，7，8，8，8（2）1，2，3，3，3，4，6，7，8，9，9答案：（1）眾數(shù)是：3和8中位數(shù)是：5平均數(shù)是：5（2）眾數(shù)是：3中位數(shù)是：4平均數(shù)是：5例如，在上一節(jié)抽樣調(diào)查的100位居民的月均用水量的數(shù)據(jù)中，我們?nèi)绾蔚弥@一組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？眾數(shù)=2.3（t）、中位數(shù)=2.0（t）、平均數(shù)=1.973（t）那么從頻率分布直方圖你能得到這些數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)嗎?3．如何在頻率直方圖中估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)呢？如何從頻率分布直方圖中估計(jì)眾數(shù)？4.54.50.52.521.5143.5300.10.20.30.40.6月均用水量/t0.5學(xué)生交流討論,回答從頻率分布直方圖可以看出:月均用水量的眾數(shù)是2.25t（最高的矩形的中點(diǎn)）,它告訴我們，該市的月均用水量為2.25t的居民數(shù)比月均用水量為其他值的居民數(shù)多，但它并沒有告訴我們到底多多少.思考1：請大家看看原來抽樣的數(shù)據(jù)，有沒有2.25

這個數(shù)值呢？根據(jù)眾數(shù)的定義，2.25怎么會是眾數(shù)呢？為什么？表2-1100表2-1100為居民的月均用水量（單位：t)2.20.61.81.21.01.52.02.22.52.82.40.81.71.01.01.62.12.32.62.52.40.51.51.21.41.72.12.42.72.62.30.91.61.31.31.82.32.32.82.52.00.71.81.41.31.92.42.42.93.04.30.81.93.51.41.82.32.42.93.24.10.61.73.61.31.72.22.32.83.33.80.51.53.71.21.62.12.32.73.20.40.30.40.21.21.52.22.22.63.41.61.91.81.61.01.52.02.02.53.1請學(xué)生思考交流,回答這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失的原因，而2.25是由樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖得來的，所以存在一些偏差.顯然通過頻率分布直方圖的估計(jì)精度較低,其估計(jì)結(jié)果與數(shù)據(jù)分組有關(guān),在不能得到樣本數(shù)據(jù),只能得到頻率分布直方圖的情況下,也可以估計(jì)總體的特征.歸納總結(jié)：因?yàn)樵陬l率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，也顯示出樣本數(shù)據(jù)落在各小組的比例的大小，所以從圖中可以看到，在區(qū)間[2，2.5）的小長方形的面積最大，即這組的頻率是最大的，也就是說月均用水量在區(qū)間[2，2.5）內(nèi)的居民最多，即眾數(shù)就是在區(qū)間[2，2.5）內(nèi).眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).如何從頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)？月均用水量/t月均用水量/t觀察頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)4.50.521.5143.53頻率組距00.10.20.30.40.50.60.080.150.220.250.140.060.040.020.042.5學(xué)生交流討論,回答分析：在樣本數(shù)據(jù)中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù).因此，在頻率分布直方圖中，矩形的面積大小正好表示頻率的大小，即中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.由此可以估計(jì)中位數(shù)的值.設(shè)中位數(shù)為，則求出在上圖中,紅色虛線代表居民月平均用水量的中位數(shù)的估計(jì)值.其左邊的直方圖的面積是50個單位.右邊的直方圖的面積也是50個單位.由此可以估計(jì)出中位數(shù)的值為2.02.思考2：2.02這個中位數(shù)的估計(jì)值，與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣，你能解釋其中的原因嗎？（樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了）3)如何從頻率分布直方圖中估計(jì)平均數(shù)？學(xué)生交流討論,回答平均數(shù)等于是頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.以上圖為例來講解求解過程；平均數(shù)為2.02由此居民的月用水量的平均數(shù)是2.02t.大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少數(shù)居民的月均用水量特別高，顯然，對這部分居民的用水量作出限制是非常合理的.思考3：中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是一個優(yōu)點(diǎn)，但是它對極端值的不敏感有時也會成為缺點(diǎn)，你能舉例說明嗎？讓學(xué)生討論，并舉例優(yōu)點(diǎn)：對極端數(shù)據(jù)不敏感的方法能夠有效地預(yù)防錯誤數(shù)據(jù)的影響.對極端值不敏感有利的例子:如當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差，即存在一些錯誤數(shù)據(jù)（如數(shù)據(jù)錄入錯誤、測量錯誤等）時，如：考察表中2-1中的數(shù)據(jù)如果把最后一個數(shù)據(jù)錯寫成22，并不會對樣本中位數(shù)產(chǎn)生影響.也就是說對極端數(shù)據(jù)不敏感的方法能過有效地預(yù)防錯誤數(shù)據(jù)的影響.用抗極端數(shù)據(jù)強(qiáng)的中位數(shù)表示數(shù)據(jù)的中心值更準(zhǔn)確.缺點(diǎn)：（1）出現(xiàn)錯誤的數(shù)據(jù)也不知道；（2）對極端值不敏感有弊的例子：某人具有初級計(jì)算機(jī)專業(yè)技術(shù)水平，想找一份收入好的工作.這時如果采用各個公司計(jì)算機(jī)專業(yè)技術(shù)人員收入的中位數(shù)作為選擇工作的參考指標(biāo)就會冒這樣的風(fēng)險：很可能所選擇公司的初級計(jì)算機(jī)專業(yè)技術(shù)水平人員的收入很低，其原因是中位數(shù)對極小的數(shù)據(jù)不敏感.這里更好的方法是同時用平均工資和中位數(shù)作為參考指標(biāo)，選擇平均工資較高且中位數(shù)較大的公司就業(yè).4）對眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)估計(jì)總體數(shù)字特征的認(rèn)識（1）樣本眾數(shù)通常用來表示分類變量的中心值，比較容易計(jì)算，但是它只能表示樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息.(2)中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端值的影響,容易計(jì)算,它僅利用了數(shù)據(jù)排在中間的數(shù)據(jù)的信息.(3)樣本平均數(shù)與每個樣本數(shù)據(jù)有關(guān),所以,任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變.這是中位數(shù),眾數(shù)都不具有的性質(zhì),也正因?yàn)檫@個原因,與眾數(shù),中位數(shù)比較起來,平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息.探究：“用數(shù)據(jù)說話”這是我們經(jīng)?？梢月牭降囊痪湓?但是數(shù)據(jù)有時也會被利用，從而產(chǎn)生誤導(dǎo).例如一個企業(yè)中，絕大多數(shù)是一線工人，他們的年收入可能是一萬元左右，另有一些經(jīng)理層次的人，年收入可以達(dá)到幾十萬元.這時，年收入的平均數(shù)會比中位數(shù)大得多，盡管這時中位數(shù)比平均數(shù)更合理些，但是這個企業(yè)的老板到人力市場去招聘工人時，也許更可能用平均數(shù)回答有關(guān)工資待遇方面的提問.你認(rèn)為“我們單位的收入水平比別的單位高”這句話應(yīng)當(dāng)怎么解釋？以員工平均工資收入水平去描述他們單位的收入情況.這是不合理的，因?yàn)檫@些員工當(dāng)中，少數(shù)經(jīng)理層次的收入與大多數(shù)一般員工收入的差別比較大，平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響大，所以平均數(shù)不能反映該單位員工的收入水平.這個老板的話有誤導(dǎo)與蒙騙行例題例1為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時間后必須更換．已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差．天數(shù)151~180181~210211~240241~270271~300301~330331~360361~390燈泡數(shù)1111820251672解：各組中值分別為165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均數(shù)約為165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267．9≈268(天)．這些組中值的方差為1/100×[1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2]=2128．60(天2)．故所求的標(biāo)準(zhǔn)差約（天）所以，估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命約為268天，標(biāo)準(zhǔn)差約為46天．例2甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2），試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計(jì)哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定．品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9．89．910．11010．2乙9．410．310．89．79．8解：甲品種的樣本平均數(shù)為10，樣本方差為乙品種的樣本平均數(shù)也為10，樣本方差為因?yàn)?．24>0．02，所以由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定．例3某公司的33名職工的月工資（單位：元）如下表：職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5500500035003000250020001500求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù).若董事長、副董事長的工資分別從5500元、5000元提升到30000元、20000元，那么公司職工新的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)又是什么？你認(rèn)為哪個統(tǒng)計(jì)量更能反映這個公司員工的工資水平？解析：（1）公司職工月工資的平均數(shù)為：（元）若把所有數(shù)據(jù)從大到小排序，則得到：中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元.（2）若董事長、副董事長的工資提升后，職工月工資的平均數(shù)為：（元）中位數(shù)是1500元，眾位是1500元.（3）在這個問題中，中位數(shù)和眾數(shù)都能反映出這個公司員工的工資水平，因?yàn)楣旧贁?shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司員工的工資水平.鞏固練習(xí)1.下面是某校日睡眠時間的抽樣頻率分布表（單位：小時）試估計(jì)該校學(xué)生的日睡眠平均時間．解1：可先要計(jì)算總睡眠時間，然后除以總?cè)藬?shù)，得樣本的平均數(shù)．因?yàn)樵撔＿@100名學(xué)生的總睡眠時間約為（小時）所以樣本的平均日睡眠時間約為（小時）答：估計(jì)該校學(xué)生的日睡眠平均時間為小時．解2：求組中值與對應(yīng)頻率之積的和．答：估計(jì)該校學(xué)生的日睡眠平均時間為小時．2.為了解中學(xué)生的身體發(fā)育情況，對某一中學(xué)同年齡的50名男生的身高進(jìn)行了測量結(jié)果如下（單位：cm）：（1）列出樣本的頻率分布表，畫出頻率分布直方圖；（2）估計(jì)該中學(xué)身高大于172cm的概率及同年齡的高度；（3）估計(jì)該中學(xué)這個年齡的平均身高和穩(wěn)定程度．解：（1）樣本頻率分布表為：頻率分布直方圖如圖1—6—25所示：圖1—6—25（2）因?yàn)閿?shù)據(jù)大于172cm的頻率為所以可以估計(jì)數(shù)據(jù)大于172cm的概率為0．48．（3）因?yàn)闃颖镜钠骄鶖?shù)為170．1cm，標(biāo)準(zhǔn)差為5．6cm，所以可以估計(jì)該中學(xué)這個同年齡的高度約為170．1cm，偏差約為5．6cm．3.某高校有甲、乙兩個數(shù)學(xué)建模興趣班．其中甲班有40人，乙班50人．現(xiàn)分析兩個班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是81分，則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績是分．解：填85．4.假設(shè)你是一名交通部門的工作人員，你打算向市長報告國家對本市26個公路項(xiàng)目投資的平均資金數(shù)額，