正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)教案(人教A版)

1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)●三維目標(biāo)1．知識(shí)與技能(1)理解周期函數(shù)、周期函數(shù)的周期和最小正周期的定義．(2)掌握正、余弦函數(shù)的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函數(shù)的最小正周期．2．過程與方法讓學(xué)生通過觀察正、余弦線以及正、余弦函數(shù)圖象得出正、余弦函數(shù)的周期性，并借助于誘導(dǎo)公式一給予代數(shù)論證這一過程，使學(xué)生學(xué)會(huì)由具體形象到抽象概括這一研究問題的方法．3．情感，態(tài)度與價(jià)值觀讓學(xué)生自己探究學(xué)習(xí)正、余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，領(lǐng)會(huì)從特殊推廣到一般的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)三角函數(shù)圖象所蘊(yùn)涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣．●重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象及其主要性質(zhì)(包括周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值或值域)；深化研究函數(shù)性質(zhì)的思想方法．難點(diǎn)：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期性，以及周期函數(shù)、(最小正)周期的意義．●教學(xué)建議對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的研究，學(xué)生已經(jīng)有些經(jīng)驗(yàn)．其中，通過觀察函數(shù)的圖象，從圖象的特征獲得函數(shù)的性質(zhì)是一個(gè)基本方法，這也是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．由于三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，這也是三角函數(shù)不同于其他類型函數(shù)的最重要的地方，而且對(duì)于周期函數(shù)，我們只要認(rèn)識(shí)清楚它在一個(gè)周期的區(qū)間上的性質(zhì)，那么它的性質(zhì)也就是完全清楚了，因此，教科書把對(duì)周期性的研究放在了首位．另外，要使學(xué)生明白研究三角函數(shù)性質(zhì)就是“要研究這類函數(shù)具有的共同特點(diǎn)”，這是對(duì)數(shù)學(xué)思考方向的一種引導(dǎo)．1．周期性可引導(dǎo)學(xué)生從正、余弦線，正、余弦函數(shù)圖象以及誘導(dǎo)公式一即形與數(shù)兩個(gè)方面，歸納總結(jié)“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，給出“周期性”概念．關(guān)于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期與最小正周期，一般只要弄清定義，并根據(jù)正弦、余弦曲線觀察出結(jié)果就可以了．對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，可以讓他們嘗試證明正弦、余弦函數(shù)的最小正周期是2π.2．其他性質(zhì)與研究周期性的方法一樣，根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象及函數(shù)解析式，同樣可以直觀地看出這兩個(gè)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最大(小)值等性質(zhì)．值得注意的是，對(duì)于周期函數(shù)性質(zhì)的討論，只要認(rèn)識(shí)清楚它在一個(gè)周期內(nèi)的性質(zhì)，就可以得到它在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì)．(1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性，無論是由圖象觀察，還是由誘導(dǎo)公式進(jìn)行證明，都很容易．所以，這一性質(zhì)的研究可以交給學(xué)生自主完成．(2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性，只要求由圖象觀察，不要求證明．教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)函數(shù)圖象以及《數(shù)學(xué)1》中給出的增(減)函數(shù)定義進(jìn)行描述．具體的，可以先選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)膮^(qū)間(這個(gè)區(qū)間長(zhǎng)為一個(gè)周期，且僅有一個(gè)單增區(qū)間和一個(gè)單減區(qū)間)，對(duì)正弦函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性進(jìn)行描述；然后利用正弦函數(shù)的周期性說明在其他區(qū)間上的單調(diào)性．對(duì)于余弦函數(shù)的單調(diào)性，可讓學(xué)生類比正弦函數(shù)的單調(diào)性自己描述．另外，從一個(gè)周期的區(qū)間推廣到整個(gè)定義域上去時(shí)，學(xué)生會(huì)有些不習(xí)慣，教學(xué)中要留給學(xué)生一定的思考時(shí)間，由他們自己歸納出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般形式．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值和最小值可以作為單調(diào)性的一個(gè)推論．由于問題比較簡(jiǎn)單，所以可以由學(xué)生自己去研究．同樣的，對(duì)于取最大(小)值時(shí)的自變量x的一般形式，也要注意引導(dǎo)學(xué)生利用周期性進(jìn)行正確歸納．●教學(xué)流程課標(biāo)解讀1.掌握y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期性、奇偶性、單調(diào)性和最值．(重點(diǎn))2．會(huì)用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的三角函數(shù)問題．(難點(diǎn))3．了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的含義．(易混點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的周期性【問題導(dǎo)思】1．觀察下列實(shí)例：(1)海水會(huì)發(fā)生潮汐現(xiàn)象，大約在每一晝夜的時(shí)間里，潮水會(huì)漲落兩次．(2)鐘表上的時(shí)針每經(jīng)過12小時(shí)運(yùn)行一周，分針每經(jīng)過1小時(shí)運(yùn)行一周，秒針每經(jīng)過1分鐘運(yùn)行一周．上述兩種現(xiàn)象，具有怎樣的屬性？【提示】周而復(fù)始，重復(fù)出現(xiàn)．2．觀察正弦曲線和余弦曲線，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)具有上述規(guī)律嗎？哪個(gè)公式可以反映這種規(guī)律？【提示】具有．sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx.1．函數(shù)的周期性(1)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．(2)如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期．2．兩種特殊的周期函數(shù)(1)正弦函數(shù)y＝sinx是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.(2)余弦函數(shù)y＝cosx是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.知識(shí)點(diǎn)2正、余弦函數(shù)的奇偶性【問題導(dǎo)思】對(duì)于x∈R，sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，這說明正、余弦函數(shù)具備怎樣的性質(zhì)？【提示】奇偶性．1．對(duì)于y＝sinx，x∈R恒有sin(－x)＝－sinx，所以正弦函數(shù)y＝sinx是奇函數(shù)，正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．2．對(duì)于y＝cosx，x∈R恒有cos(－x)＝cosx，所以余弦函數(shù)y＝cosx是偶函數(shù)，余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱．知識(shí)點(diǎn)3正、余弦函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)性【問題導(dǎo)思】觀察正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象：1．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域各是什么？【提示】R2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域各是什么？【提示】[－1,1]．3．正弦函數(shù)在[－eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)]上函數(shù)值的變化有什么特點(diǎn)？余弦函數(shù)在[0,2π]上函數(shù)值的變化有什么特點(diǎn)？【提示】y＝sinx在[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上，曲線逐漸上升，是增函數(shù)，函數(shù)值y由－1增大到1；在[eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)]上，曲線逐漸下降，是減函數(shù)，函數(shù)值y由1減小到－1；y＝cosx在[0，π]上，曲線逐漸下降，是減函數(shù)，函數(shù)值由1減小到－1；在[π，2π]上，曲線逐漸上升，是增函數(shù)，函數(shù)值由－1增大到1.函數(shù)名稱圖象與性質(zhì)性質(zhì)分類y＝sinxy＝cosx相同處定義域RR值域[－1,1][－1,1]周期性最小正周期為2π最小正周期為2π不同處圖象奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)上是增函數(shù)；在[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3,2)π](k∈Z)上是減函數(shù)在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函數(shù)；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上減函數(shù)對(duì)稱軸x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)對(duì)稱中心(kπ，0)，(k∈Z)(kπ＋eq\f(π,2)，0)(k∈Z)最值x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1x＝2kπ時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ＋π時(shí)，ymin＝－1類型1求三角函數(shù)的周期例1求下列函數(shù)的最小正周期：(1)y＝sin(eq\f(π,2)x＋3)；(2)y＝|cosx|.【思路探究】解答本題(1)可利用代換z＝eq\f(π,2)x＋3，將求原來函數(shù)的周期轉(zhuǎn)化為求y＝sinz的周期再求解，或利用公式求解；(2)可通過圖象求周期．【自主解答】(1)法一令z＝eq\f(π,2)x＋3，且y＝sinz的最小正周期為2π.∴sin(eq\f(π,2)x＋3＋2π)＝sin[eq\f(π,2)(x＋4)＋3]，因此sin(eq\f(π,2)x＋3)＝sin[eq\f(π,2)(x＋4)＋3]．∴由周期函數(shù)定義，T＝4是y＝sin(eq\f(π,2)x＋3)的最小正周期．法二f(x)＝sin(eq\f(π,2)x＋3)的周期T＝eq\f(2π,\f(π,2))＝4.(2)作y＝|cosx|的圖象，如圖所示：由圖象知y＝|cosx|的最小正周期為π.規(guī)律方法1．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性，實(shí)質(zhì)上是由終邊相同角所具有的周期性決定的．2．對(duì)于形如y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，且ω≠0)函數(shù)的周期求法常直接利用T＝eq\f(2π,|ω|)來求解；形如y＝|Asinωx|或y＝|Acosωx|的周期常結(jié)合函數(shù)的圖象，觀察求解．互動(dòng)探究若把例題中兩個(gè)函數(shù)改為：(1)y＝eq\f(1,3)cos(2x－eq\f(π,3))；(2)y＝cos|x|，試求函數(shù)的最小正周期．【解】(1)∵y＝eq\f(1,3)cos(2x－eq\f(π,3))中，ω＝2，∴函數(shù)的最小正周期為T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)∵y＝cos|x|＝cosx，∴y＝cos|x|的最小正周期T＝2π.類型2三角函數(shù)的奇偶性的判斷例2判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(2)sin2x；(2)f(x)＝sin(eq\f(3x,4)＋eq\f(3π,2))；(3)f(x)＝eq\r(1－cosx)＋eq\r(cosx－1).【思路探究】首先求出函數(shù)定義域，在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，根據(jù)f(－x)與f(x)及－f(x)的關(guān)系來判斷．【自主解答】(1)顯然x∈R，f(－x)＝eq\r(2)sin(－2x)＝－eq\r(2)sin2x＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．(2)∵x∈R，f(x)＝sin(eq\f(3x,4)＋eq\f(3π,2))＝－coseq\f(3x,4)，∴f(－x)＝－coseq\f(3－x,4)＝－coseq\f(3x,4)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)＝sin(eq\f(3x,4)＋eq\f(3π,2))是偶函數(shù)．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－cosx≥0,cosx－1≥0))，得cosx＝1，∴x＝2kπ(k∈Z)，此時(shí)f(x)＝0，故該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．規(guī)律方法1．判斷函數(shù)奇偶性要按函數(shù)奇偶性的定義，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)的前提．2．要注意誘導(dǎo)公式在判斷f(x)與f(－x)之間關(guān)系時(shí)的作用．變式訓(xùn)練判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(5,2)π)；(2)f(x)＝lg(sinx＋eq\r(1＋sin2x))．【解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(x)＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(5,2)π)＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,2))＝eq\r(2)cos2x，顯然有f(－x)＝f(x)成立．∴f(x)＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(5,2)π)為偶函數(shù)．(2)函數(shù)定義域?yàn)镽，f(－x)＝lg(－sinx＋eq\r(1＋sin2x))＝lgeq\f(1,sinx＋\r(1＋sin2x))＝－lg(sinx＋eq\r(1＋sin2x))＝－f(x)．∴函數(shù)f(x)＝lg(sinx＋eq\r(1＋sin2x))為奇函數(shù)．類型3求正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例3求函數(shù)y＝sin(eq\f(π,6)－x)的單調(diào)遞減區(qū)間．【思路探究】本題中自變量的系數(shù)為負(fù)，故首先利用誘導(dǎo)公式，將y＝sin(eq\f(π,6)－x)化為y＝－sin(x－eq\f(π,6))形式，故只需求y＝sin(x－eq\f(π,6))的單調(diào)遞增區(qū)間即可．【自主解答】y＝sin(eq\f(π,6)－x)＝－sin(x－eq\f(π,6))，令z＝x－eq\f(π,6)，則y＝－sinz，要求y＝－sinz的遞減區(qū)間，只需求sinz的遞增區(qū)間，即2kπ－eq\f(π,2)≤z≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴2kπ－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.∴2kπ－eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(2,3)π，k∈Z.故函數(shù)y＝sin(eq\f(π,6)－x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ－eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(2,3)π]，k∈Z.規(guī)律方法1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，w>0，b為常數(shù))的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以借助于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過解不等式求得．2．具體求解時(shí)注意兩點(diǎn)：①要把ωx＋φ看作一個(gè)整體，若ω<0，先用誘導(dǎo)公式將式子變形，將x的系數(shù)化為正；②在A>0，ω>0時(shí)，將“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以解得與之單調(diào)性一致的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)A<0，ω>0時(shí)同樣方法可以求得與正弦(余弦)函數(shù)單調(diào)性相反的單調(diào)區(qū)間．變式訓(xùn)練求函數(shù)y＝2cos(eq\f(π,4)－x)的單調(diào)遞增區(qū)間．【解】y＝2cos(eq\f(π,4)－x)＝2cos(x－eq\f(π,4))，由2kπ－π≤x－eq\f(π,4)≤2kπ(k∈Z)得2kπ－eq\f(3,4)π≤x≤2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．∴y＝2cos(eq\f(π,4)－x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ－eq\f(3,4)π，2kπ＋eq\f(π,4)](k∈Z).類型4有關(guān)三角函數(shù)的最值問題例4已知函數(shù)y1＝a－bcosx的最大值是eq\f(3,2)，最小值是－eq\f(1,2)，求函數(shù)y＝－4asin3bx的最大值．【思路探究】欲求函數(shù)y的最大值，須先求出a，為此可利用函數(shù)y1的最大、最小值，結(jié)合分類討論求解．【自主解答】∵函數(shù)y1的最大值是eq\f(3,2)，最小值是－eq\f(1,2).當(dāng)b>0時(shí)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝\f(3,2)，,a－b＝－\f(1,2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝1.))當(dāng)b<0時(shí)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝\f(3,2),a＋b＝－\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2),b＝－1)).因此y＝－2sin3x或y＝2sin3x.函數(shù)的最大值均為2.規(guī)律方法1．對(duì)于求形如y＝asinx＋b或y＝acosx＋b的函數(shù)值域問題，一般情況下只要注意到正、余弦函數(shù)的性質(zhì)“有界性”即可解決．注意當(dāng)x有具體范圍限制時(shí)，需考慮sinx或cosx的范圍．2．求解此類問題時(shí)，要先求三角函數(shù)值的范圍，然后再根據(jù)其系數(shù)的正負(fù)性質(zhì)求解．變式訓(xùn)練求函數(shù)y＝3－2cosx，x∈[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]的值域．【解】(1)∵－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)，∴eq\f(\r(2),2)≤cosx≤1，∴－1≤－cosx≤－eq\f(\r(2),2)，∴－2≤－2cosx≤－eq\r(2)，∴1≤3－2cosx≤3－eq\r(2).故函數(shù)y＝3－2cosx，x∈[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]的值域?yàn)閇1,3－eq\r(2)]．易錯(cuò)易誤辨析忽略弦函數(shù)值域的有界性致誤典例求函數(shù)y＝1－2cos2x＋5sinx的最大值和最小值．【錯(cuò)解】y＝1－2cos2x＋5sinx＝2sin2x＋5sinx－1＝2(sinx＋eq\f(5,4))2－eq\f(33,8)≥－eq\f(33,8)，∴函數(shù)y＝1－2cos2x＋5sinx的最小值為－eq\f(33,8)，沒有最大值．【錯(cuò)因分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，可以發(fā)現(xiàn)sinx的值介于[－1,1]之間，上述解答錯(cuò)誤地將sinx的范圍當(dāng)成了實(shí)數(shù)集R，所以本題中的以sinx為自變量的二次函數(shù)的定義域不是R，而是[－1,1]．【防范措施】定義域是函數(shù)的三要素之一，研究函數(shù)的性質(zhì)一般要先考慮函數(shù)的定義域，三角函數(shù)也不例外，若忽略定義域這一細(xì)節(jié)，可能擴(kuò)大自變量的取值范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤．【正解】y＝1－2cos2x＋5sinx＝2sin2x＋5sinx－1＝2(sinx＋eq\f(5,4))2－eq\f(33,8).令sinx＝t，則t∈[－1,1]，則y＝2(t＋eq\f(5,4))2－eq\f(33,8).因?yàn)楹瘮?shù)y在[－1,1]上是增函數(shù)，所以當(dāng)t＝sinx＝－1時(shí)，函數(shù)取得最小值－4，當(dāng)t＝sinx＝1時(shí)，函數(shù)取得最大值6.課堂小結(jié)1．三角函數(shù)的最值、單調(diào)區(qū)間及三角函數(shù)值的大小比較等問題，能結(jié)合圖象時(shí)一定要聯(lián)系圖象進(jìn)行綜合思考，將數(shù)形有機(jī)結(jié)合起來．2．討論對(duì)稱問題時(shí)一定要注意最值點(diǎn)、平衡點(diǎn)及周期的必然聯(lián)系，形成思維網(wǎng)絡(luò)．3．討論三角函數(shù)的所有性質(zhì)，都要在其定義域內(nèi)進(jìn)行．當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)1．下列函數(shù)中，最小正周期為π的是()A．y＝sinxB．y＝cosxC．y＝sineq\f(x,2) D．y＝cos2x【解析】由T＝eq\f(2π,|ω|)知D中函數(shù)的最小正周期為π.【答案】D2．下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()A．y＝x2B．y＝cosxC．y＝sinx D．y＝|sinx|【解析】由奇函數(shù)定義知y＝sinx為奇函數(shù)．【答案】C3．函數(shù)y＝cosx(0≤x≤eq\f(π,3))的值域是()A．[－1,1] B．[eq\f(1,2)，1]C．[0，eq\f(1,2)] D．[－1,0]【解析】y＝cosx在[0，eq\f(π,3)]上單調(diào)遞減，∴coseq\f(π,3)≤y≤cos0，即eq\f(1,2)≤y≤1.【答案】B4．求函數(shù)y＝2sin(eq\f(π,4)－x)在[－π，π]上的減區(qū)間．【解】y＝2sin(eq\f(π,4)－x)＝－2sin(x－eq\f(π,4))．令z＝x－eq\f(π,4)，只需求y＝－2sinz的減區(qū)間，即求sinz的增區(qū)間．由2kπ－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴2kπ－eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(3,4)π，k∈Z.又－π≤x≤π，令k＝0，則－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(3,4)π，∴所求函數(shù)在[－π，π]上的減區(qū)間是[－eq\f(π,4)，eq\f(3,4)π].課后知能檢測(cè)一、選擇題1．正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象的一條對(duì)稱軸是()A．y軸B．x軸C．直線x＝eq\f(π,2)D．直線x＝π【解析】當(dāng)x＝eq\f(π,2)時(shí)，y取最大值，∴x＝eq\f(π,2)是一條對(duì)稱軸．【答案】C2．函數(shù)y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，則φ的值是()A．0B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,2)D．π【解析】當(dāng)φ＝eq\f(π,2)時(shí)，y＝sin(2x＋eq\f(π,2))＝cos2x，而y＝cos2x是偶函數(shù)，故選C.【答案】C3．函數(shù)y＝1－2coseq\f(π,2)x的最小值，最大值分別是()A．－1,3B．－1,1C．0,3D．0,1【解析】∵coseq\f(π,2)x∈[－1,1]，∴－2coseq\f(π,2)x∈[－2,2]，∴y＝1－2coseq\f(π,2)x∈[－1,3]，∴ymin＝－1，ymax＝3.【答案】A4．函數(shù)f(x)＝3sin(x＋eq\f(π,6))在下列區(qū)間內(nèi)遞減的是()A．[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]B．[－π，0]C．[－eq\f(2,3)π，eq\f(2π,3)]D．[eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)]【解析】令2kπ＋eq\f(π,2)≤x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z可得2kπ＋eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(4π,3)，k∈Z，∴函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為[2kπ＋eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(4π,3)]，k∈Z.【答案】D5．下列關(guān)系式中正確的是()A．sin11°<cos10°<sin168°B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<sin168°<cos10°D．sin168°<cos10°<sin11°【解析】∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°.由正弦函數(shù)的單調(diào)性得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.【答案】C二、填空題6．函數(shù)y＝2cos(eq\f(π,3)－ωx)的最小正周期為4π，則ω＝________________________________________________________________________.【解析】∵4π＝eq\f(2π,|－ω|)，∴ω＝±eq\f(1,2).【答案】±eq\f(1,2)7．函數(shù)y＝sin2x＋sinx－1的值域?yàn)開_______．【解析】y＝(sinx＋eq\f(1,2))2－eq\f(5,4)，∵－1≤sinx≤1，∴0≤(sinx＋eq\f(1,2))2≤eq\f(9,4).－eq\f(5,4)≤y≤1.【答案】[－eq\f(5,4)，1]8．若已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝sin2x＋cosx．則x<0時(shí)，f(x)＝__________.【解析】當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，∴f(－x)＝sin(－2x)＋cos(－x)，∴f(－x)＝－sin2x＋cosx.∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(－x)，∴f(x)＝－[－sin2x＋cosx]＝sin2x－cosx.【答案】sin2x－cosx三、解答題9．判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝sin(2x＋eq\f(3π,2))；(2)f(x)＝eq\f(sinx1－sinx,1－sinx).【解】(1)函數(shù)f(x)的定義域是R，f(x)＝sin(2x＋eq\f(3π,2))＝－cos2x，∴f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos2x＝f(x)．∴f(x)是偶函數(shù)．(2)由題意，知sinx≠1，即f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠2kπ＋eq\f(π,2)}，k∈Z，此函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∴f(x)是非奇非偶函數(shù)．10．求函數(shù)y＝3sin(eq\f(π,3)－eq\f(x,2))的單調(diào)遞增區(qū)間．【解】y＝3sin(eq\f(π,3)－eq\f(x,2))＝－3sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,3))．由eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(x,2)－eq\f(π,3)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得：eq\f(5π,3)＋4kπ≤x≤eq\f(11π,3)＋4kπ，k∈Z，∴函數(shù)y＝3sin(eq\f(π,3)－eq\f(x,2))的單調(diào)增區(qū)間為[eq\f(5π,3)＋4kπ，eq\f(11π,3)＋4kπ](k∈Z)．11．已知函數(shù)f(x)＝2asin(2x－eq\f(π,3))＋b的定義域?yàn)閇0，eq\f(π,2)]，最大值為1，最小值為－5，求a和b的值．【解】∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(2,3)π，∴－eq\f(\r(3),2)≤sin(2x－eq\f(π,3))≤1，易知a≠0.當(dāng)a>0時(shí)，f(x)max＝2a＋b＝1，f(x)min＝－eq\r(3)a＋b＝－5.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝1,－\r(3)a＋b＝－5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝12－6\r(3),b＝－23＋12\r(3))).當(dāng)a<0時(shí)，f(x)max＝－eq\r(3)a＋b＝1，f(x)min＝2a＋b＝－5.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\r(3)a＋b＝1,2a＋b＝－5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－12＋6\r(3),b＝19－12\r(3))).【教師備課資源】1．比較大小比較下列各組值的大小．(1)sineq\f(21π,5)與sineq\f(42,5)π；(2)sin194°與cos160°.【思路探究】(1)首先將角eq\f(21π,5)和eq\f(42π,5)化為[0,2π]內(nèi)的角，再依據(jù)單調(diào)性比較大?。?2)先化為同名函數(shù)再進(jìn)行比較．【解】(1)由于sineq\f(21π,5)＝sin(4π＋eq\f(π,5))＝sineq\f(π,5)，sineq\f(42π,5)＝sin(8π＋eq\f(2π,5))＝sineq\f(2π,5).又0<eq\f(π,5)<eq\f(2π,5)<eq\f(π,2)，而y＝sinx在[0，eq\f(π,2)]上單調(diào)遞增，所以sineq\f(π,5)<sineq\f(2π,5)，即sineq\f(21π,5)<sineq\f(42π,5).(2)由于sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°，又0°<14°<70°<90°，而y＝sinx在[0，eq\