遼寧省沈陽市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬測試題含解析

遼寧省沈陽市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬測試題一?單選題（共8小題，每題5分）1.設(shè)復(fù)數(shù)滿意（其中為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的是A. B.的虛部為C. D.的共軛復(fù)數(shù)為【答案】D【解析】【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后逐一核對四個選項(xiàng)得答案．【詳解】由，得，∴，的虛部為1，，的共軛復(fù)數(shù)為，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．2.已知平面對量，滿意，，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)及相關(guān)公式可得，再依據(jù)投影向量的計(jì)算公式求解.【詳解】，，所以所以在上的投影向量為，故選：B.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩角和（差）的余弦公式化簡可得，再由誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，即，即即，即，所以，所?故選：B4.函數(shù)，且，若在內(nèi)無零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先通過降冪公式及協(xié)助角公式得到，再求出，由或結(jié)合即可求解.【詳解】，當(dāng)時，，則或，解得或，又，當(dāng)，令，得，故；當(dāng)，令，得；綜上.故選：D.5.，，是的內(nèi)角，，所對的邊，若，則（）A.1011 B.2024 C.2024 D.2024【答案】D【解析】【分析】由余弦定理得，再由三角恒等變換及正弦定理得即可求解.【詳解】因?yàn)?，由余弦定理得，，由正弦定理可?故選：D.6.已知直線是曲線與曲線的一條公切線，直線與曲線相切于點(diǎn)，則滿意的關(guān)系式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，依據(jù)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，以及由兩切點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式，即可列出方程求解.【詳解】記得,記得，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，由于是公切線，故可得，即化簡得，故選：C7.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有6個不同的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】畫出的圖象，令，則先探討的零點(diǎn)，依據(jù)二次函數(shù)判別式與韋達(dá)定理，結(jié)合的圖象可得的較小根的范圍，進(jìn)而依據(jù)與較小根的關(guān)系式結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】畫出的圖象如圖，令，則先探討的零點(diǎn).當(dāng)，即時，不合題意；當(dāng)，即時，易得或，此時當(dāng)或時均不滿意有6個零點(diǎn)，不合題意；故，或，設(shè)的兩根為，不妨設(shè)，由韋達(dá)定理，且.①當(dāng)時，與均無零點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時：1.若，則，此時有4個零點(diǎn)，有2個零點(diǎn)，合題意；2.若，此時有3個零點(diǎn)，則有且僅有3個零點(diǎn)，此時，故；綜上可得或.又，故，結(jié)合在上為減函數(shù)可得在，上為增函數(shù).故故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合解決復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的問題，須要換元先分析二次函數(shù)的零點(diǎn)狀況，數(shù)形結(jié)合推斷零點(diǎn)所在的區(qū)間，進(jìn)而得出零點(diǎn)所在的區(qū)間，并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)與韋達(dá)定理求解.屬于難題.8.已知定義在上的函數(shù)滿意為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由條件推斷其奇偶性，單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令，所以，因?yàn)?，所以，化簡得，所以是上的奇函?shù)；，因?yàn)楫?dāng)時，，所以當(dāng)時，，從而在上單調(diào)遞增，又是上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增；考慮到，由，得，即，由在上單調(diào)遞增，得解得，所以不等式的解集為，故選：B.二?多選題（共4小題，每題5分，全部選對得5分，選錯0分，部分選對2分）9.的內(nèi)角A，，的對邊分別為a，b，c，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則此三角形為等腰三角形C.若，，，則解此三角形必有兩解D.若是銳角三角形，則【答案】AD【解析】【分析】由正弦定理可求A，然后可推斷A；依據(jù)角的范圍干脆求解可推斷B；正弦定理干脆求解可推斷C；利用誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)單調(diào)性可推斷D.【詳解】由正弦定理可知，又，所以，可得，因?yàn)椋?，A正確；因?yàn)?，且?A，2最多有一個大于，所以由可知，或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；由正弦定理可得，因?yàn)椋?，故此三角形有唯一解，C錯誤；因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即，又在上單調(diào)遞增，所以，同理，所以，D正確.故選：AD10.下列選項(xiàng)中正確的是（）A.若平面對量，滿意，則的最大值是5；B.在中，，，O是外心，則的值為4；C.函數(shù)的圖象的對稱中心坐標(biāo)為D.已知P為內(nèi)隨意一點(diǎn)，若，則點(diǎn)P為的垂心；【答案】ABD【解析】【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算律及性質(zhì)計(jì)算推斷A；利用三角形外心及數(shù)量積計(jì)算推斷B；求出函數(shù)的對稱中心推斷C；利用數(shù)量積運(yùn)算律及垂直的向量表示推斷D作答.【詳解】對于A，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，A正確；對于B，令邊AB的中點(diǎn)為D，因O是的外心，則，則，同理有,所以，B正確；對于C，由，得，，因此函數(shù)圖象的對稱中心為，，C不正確；對于D，點(diǎn)P在內(nèi)，由得：，即，有，由，同理有，因此點(diǎn)P為的垂心，D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，下列結(jié)論成立的是（）A.函數(shù)在定義域內(nèi)無極值B.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為C.函數(shù)在定義域內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)D.函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個零點(diǎn)，，且【答案】ABD【解析】【分析】求出定義域與導(dǎo)函數(shù)可推斷A；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可推斷B；利用函數(shù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理可推斷C；依據(jù)選項(xiàng)C可推斷D.【詳解】A，函數(shù)定義域?yàn)?，，在和上單調(diào)遞增，則函數(shù)在定義域內(nèi)無極值，故A正確；B，由，則，又，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為即，故B正確；C，在上單調(diào)遞增，又，，所以函數(shù)在存在，使，又，即，且，即為函數(shù)的一個零點(diǎn)，所以函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個零點(diǎn),故C錯誤.D，由選項(xiàng)C可得，所以，故D正確.故選：ABD12.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.C.函數(shù)最小正周期為D.對【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)二倍角正弦公式化簡，求導(dǎo)，推斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可推斷A,驗(yàn)證函數(shù)周期為可推斷C，由單調(diào)性及周期可推斷B，利用三角函數(shù)的最值及有界性可推斷D.【詳解】，,在上根為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A正確；又，故函數(shù)是周期為的函數(shù)，故C錯誤；所以，，故，故B正確；，故D正確.故選：ABD三?填空題（共4道題，每題5分，雙填第一空2分，其次空3分）13.若，則的最小值是___________.【答案】2【解析】【分析】依據(jù)，結(jié)合已知解不等式即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，則，所以，解得或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值是2.故答案為：2.14.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且對都有，當(dāng)時，.則___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)給定條件，推理論證出函數(shù)的周期，再利用周期性計(jì)算作答.【詳解】因函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，而函數(shù)的圖象右移1個單位得的圖象，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即，而對都有，則，即，，有，因此函數(shù)是周期函數(shù)，周期為8，又當(dāng)時，，所以.故答案為：15.已知函數(shù)圖象上隨意不同的兩點(diǎn)的連線的斜率都大于，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】由將問題轉(zhuǎn)化為在上是增函數(shù)，求導(dǎo)后參變分別得，構(gòu)造函數(shù)求出最值即可求解.【詳解】假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)的圖象上隨意不同的兩點(diǎn)連線的斜率都大于m，即，不妨設(shè)，則問題可以轉(zhuǎn)化為，∴在上是增函數(shù)，∴，即在上恒成立，設(shè)，由，得，，得.可知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．∴的最小值為.∴存在m，且.故答案為：.16.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，若，則___________；若為銳角三角形，則的取值范圍是___________.【答案】①.②.【解析】【分析】由正弦定理、余弦定理結(jié)合兩角和與差的正弦公式化簡已知等式，即可求出，結(jié)合，即可得出答案；進(jìn)而可知，分別探討或，結(jié)合題意即可求出，由正弦定理將化簡為，代入即可求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，，，，由，則，即，代入，可得，則，且，解得.由，①當(dāng)時，且，若是銳角三角形，則，所以，不成立；②當(dāng)時，且，所以，代入上式，可得，若是銳角三角形，則，所以，即，且，又，所以.故答案為：；.四?解答題（共6道題，17題10分，其余每題12分）17.在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）若D為BC的中點(diǎn)，且的面積為，AB=2，求AD的長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再切化弦并結(jié)合和角的正弦公式化簡，即可計(jì)算作答.（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合三角形面積定理求出AC，再借助平面對量求解作答.【小問1詳解】在中，由正弦定理得，因，則，即有，而，，因此，，而，解得，所以.【小問2詳解】由（1）知，，而AB=2，則，解得，因D為BC的中點(diǎn)，則，于是得，解得，所以AD的長為.18.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）記，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）建立方程組求首項(xiàng)和公差，求出數(shù)列通項(xiàng)公式；退位相減求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對數(shù)列進(jìn)行裂項(xiàng)化簡，進(jìn)而通過裂項(xiàng)相消進(jìn)行求和，即可得證.【小問1詳解】由已知得，解得，所以，當(dāng)時，，①，當(dāng)時，，②，由①②得.【小問2詳解】由（1）知，所以19.已知函數(shù)（，）.再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇能確定函數(shù)解析式兩個合理?xiàng)l件作為已知，條件①：的最大值為1；條件②：的一條對稱軸是直線；條件③：的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.求：（1）求函數(shù)的解析式；并求的單調(diào)遞增區(qū)間、對稱中心坐標(biāo)；（2）若將函數(shù)圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，再向右平移單位，得到函?shù)的圖象，若在區(qū)間上的最小值為，求m的最大值.【答案】（1）；（）；（）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、協(xié)助角將化為，然后依據(jù)函數(shù)性質(zhì)選擇條件求出和，進(jìn)而得到，再利用整體思想和正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性進(jìn)行求解；（2）利用函數(shù)平移變換得，利用函數(shù)的性質(zhì)得到進(jìn)行求解.【小問1詳解】，當(dāng)選條件①時，，解得；當(dāng)選條件②時，，明顯條件②不合理；當(dāng)選條件③時，，即，解得；綜上所述，條件①③能確定函數(shù)解析式，且；令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）；令，得，，所以函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為，；【小問2詳解】將函數(shù)圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到的圖象，再向右平移單位，得到函數(shù)的圖象，即；因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上的最小值為，所以，解得.所以的最大值為.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時，推斷的零點(diǎn)個數(shù)并說明理由；（3）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）無零點(diǎn)，理由見解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，干脆求切線方程；（2）首先求導(dǎo)，并推斷導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，以及利用零點(diǎn)存在性定理說明存在使，并利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，證明函數(shù)的最小值的正負(fù)，說明零點(diǎn)個數(shù)；（2）不等式等價于，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可知，利用參變分別的方法，求的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，，，切線方程為，即（2）當(dāng)時，，易知在單調(diào)遞增，且，存在唯一零點(diǎn)，且當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.對兩邊取對數(shù)，得：無零點(diǎn).（3）由題意得，，即，即，易知函數(shù)單調(diào)遞增，，0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減，令，則，令得，列表得，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問考查不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵利用不等式等價于，并且通過視察不等號兩邊的形式，構(gòu)造函數(shù)，并推斷單調(diào)性，依據(jù)單調(diào)性解不等式，這樣問題迎刃而解.21.如圖，設(shè)中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，已知且，．（1）求b邊的長度；（2）求的面積；（3）設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），線段EF交AD于G，且的面積為面積的，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)正弦定理的“角化邊”把已知條件中的等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再運(yùn)用余弦定理得出和的關(guān)系式，進(jìn)而求出的長度即可；（2）依據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)和兩向量的夾角公式求出，進(jìn)而求出，再依據(jù)三角形面積公式求出面積即可；（3）首先設(shè)，，（），依據(jù)三點(diǎn)共線公式得到，再依據(jù)面積的倍數(shù)關(guān)系求出，因此求出的表達(dá)式后，可以依據(jù)函數(shù)值域的求解方法解決取值范圍即可．【小問1詳解】由已知條件可知：在中，由正弦定理得在中，由余弦定理得，又【小問2詳解】設(shè)為BC邊上中線則①或由①，得【小問3詳解】設(shè)，，（），依據(jù)三點(diǎn)共線公式，得（，為∠BAC）【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，考查向量的運(yùn)算性質(zhì)以及求函數(shù)值域問題，須要肯定的分析和解決問題的實(shí)力．22.已知函數(shù).（1）函數(shù)在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍：（2）求證：當(dāng)時，；（3）若有兩個不同的零點(diǎn)，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）在定義域內(nèi)恒成立只須要在定義域內(nèi)滿意，對進(jìn)行分類探