浙江省嘉興市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期9月基礎(chǔ)測試試題含解析

Page23浙江省嘉興市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期9月基礎(chǔ)測試試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，求出集合A，依據(jù)交集的定義計(jì)算即可.【詳解】由，有，解得，∴集合，，則.故選：C2.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）A.5 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)：兩個(gè)復(fù)數(shù)商的模等于它們的模的商，計(jì)算求值即可.【詳解】，.故選：B3.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且，，記，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)平面對量基本定理結(jié)合向量的加減法法則求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中，，，所以，故選：A4.從圓內(nèi)接正八邊形的個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，則所得的三角形是直角三角形的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直角三角形的個(gè)數(shù)，利用組合計(jì)數(shù)原理以及古典概型的概率公式可求得所求事務(wù)的概率.【詳解】從圓內(nèi)接正八邊形的個(gè)頂點(diǎn)中任取兩點(diǎn)連成線段，其中有條為圓的直徑，若從這個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，所得的三角形是直角三角形，則其中直角三角形的斜邊為圓的直徑，然后從剩余的個(gè)頂點(diǎn)（除去直角三角形斜邊的頂點(diǎn)）中任取一個(gè)點(diǎn)，與斜邊的頂點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形，故所求事務(wù)的概率為.故選：D.5.已知直線及圓，過直線l上隨意一點(diǎn)P作圓C的一條切線PA，A為切點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，由切線長公式可得，據(jù)此可得當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值，又由最小值即點(diǎn)C到直線l的距離，計(jì)算可得答案.【詳解】依據(jù)題意，圓的圓心C(-1，-2)，半徑r=2，過直線上隨意一點(diǎn)P向圓引切線PA，切點(diǎn)為A則，當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值，又由的最小值即點(diǎn)C到直線l的距離，取得最小值為.故選：A6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題首先依據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式，化簡得出，再依據(jù)平移的左正右負(fù)的原則得到的解析式，最終得到的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，，，，，，，將函數(shù)向左平移單位的解析式是，令,，結(jié)合所給的選項(xiàng)，令，則的一個(gè)增區(qū)間為，故選：B.7.已知實(shí)數(shù)a滿意，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)得，對AB，構(gòu)造，依據(jù)零點(diǎn)存在性定理推斷即可；對CD，構(gòu)造函數(shù)函數(shù)，求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合所給不等式推斷即可.【詳解】由得，對于選項(xiàng)A與B，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則存在，使得，即，又且，所以，均有可能，即與a大小不確定．故A與B都不正確．對于選項(xiàng)C與D，令函數(shù)得，令得，所以在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，所以，即，故D正確．故選：D8.為慶祝國慶，立德中學(xué)將實(shí)行全校師生游園活動(dòng)，其中有一嬉戲項(xiàng)目是夾彈珠．如圖，四個(gè)半徑都是1cm的玻璃彈珠放在一個(gè)半球面形態(tài)的容器中，每顆彈珠的頂端恰好與容器的上沿處于同一水平面，則這個(gè)容器的容積是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)四個(gè)小球和容器的相切關(guān)系，作出對應(yīng)的正視圖和俯視圖，建立球心和半徑之間的關(guān)系即可得到容器的半徑.【詳解】分別作出四個(gè)小球和容器的正視圖和俯視圖，如圖所示:正視圖中小球球心B，半球球心O與切點(diǎn)A構(gòu)成直角三角形，則有，俯視圖中，四個(gè)小球球心的連線圍成正方形，正方形的中心到球心的距離與正視圖中的相等，設(shè)半球半徑為R，已知小球半徑r=1，∴，，，.半球面形態(tài)的容器的容積是.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，為其導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系可推斷ACD選項(xiàng)；分析的符號(hào)可推斷B選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，對隨意的，，A對；的符號(hào)不能確定，B錯(cuò)；，則，可得，C對D錯(cuò).故選：AC.10.如圖，在正四面體中，、分別為、的中點(diǎn)，則（）A.直線與所成的角為B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角的正弦值為D.直線與平面所成的角的正弦值為【答案】ABC【解析】【分析】將正四面體放在正方體中，設(shè)正方體的棱長為，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可推斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】將正四面體放在正方體中，設(shè)正方體的棱長為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、.對于A選項(xiàng)，，，，即，A對；對于B選項(xiàng)，，，所以，直線與所成的角為，B對；對于C選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，所以，，故直線與平面所成的角的正弦值為，C對；對于D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，故直線與平面所成的角的正弦值為，D錯(cuò).故選：ABC.11.如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，則（）A.直線與拋物線必相切 B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及過點(diǎn)的直線方程；選項(xiàng)A，聯(lián)列方程，整理成的一元二次方程，用判別式判定是否恒為零即可；選項(xiàng)B，由知，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，計(jì)算得，，兩式不恒等，故C不正確；選項(xiàng)D，先計(jì)算，從而得，由等面積法知選項(xiàng)D正確.【詳解】由已知，，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為：，設(shè)點(diǎn)，，則，，由得，所以，選項(xiàng)A：直線的方程為，聯(lián)立方程組得：，所以，不恒為零，故選項(xiàng)A不正確；選項(xiàng)B：由題得，而所以，所以，所以，故B正確；選項(xiàng)C：，所以；，所以，，，，所以所以選項(xiàng)C不正確；選項(xiàng)D：，，，在中，，故D正確.故選：BD.12.已知函數(shù)，的定義域均為R，且，．若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】對A選項(xiàng)從函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱得到；對B選項(xiàng)，通過賦值，得到的其中一個(gè)周期為4，對C選項(xiàng)進(jìn)行求和得到值與值相關(guān)；對D由前面知道其一個(gè)周期為4，通過計(jì)算得到其每四個(gè)數(shù)值和為0，最終得到2024組數(shù)據(jù)和也為0.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，的定義域均為，故，由，得，所以，故A錯(cuò)誤；令得，，因?yàn)?，所以與聯(lián)立得，，則，所以，即的其中一個(gè)周期為4，因?yàn)椋裕?，所以的其中一個(gè)周期也為4，由，得，與聯(lián)立，得，即．所以B正確；由，得，但與的值不確定，又，，所以故C錯(cuò)誤；由，得，所以，又，，兩式相加得，，所以，故D正確，故選：BD．【點(diǎn)睛】抽象函數(shù)的對稱性、周期性、奇偶性綜合的問題難度較大，不易推導(dǎo)求解，平常要多去推導(dǎo)練習(xí).三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】分、兩種狀況解不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，解得或，此時(shí)或；當(dāng)時(shí)，由，可得，解得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.的綻開式中的系數(shù)是________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】首先分析出存在有兩項(xiàng)，然后分別求出這兩項(xiàng)系數(shù)，相加即可.【詳解】依據(jù)題意,的項(xiàng)在的綻開式中有兩項(xiàng)，分別為：和，即和，則的系數(shù)為：.故答案為：.15.樹人中學(xué)進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃測試，規(guī)則為：每人投籃三次，先在A處投一次三分球，投進(jìn)得3分，未投進(jìn)得0分，然后在B處投兩次兩分球，每投進(jìn)一次得2分，未投進(jìn)得0分，測試者累計(jì)得分高于3分即通過測試．甲同學(xué)為了通過測試，進(jìn)行了五輪投籃訓(xùn)練，每輪在A處和B處各投10次，依據(jù)統(tǒng)計(jì)該同學(xué)各輪三分球和兩分球的投進(jìn)次數(shù)如下圖表：若以五輪投籃訓(xùn)練命中頻率的平均值作為其測試時(shí)每次投籃命中的概率，則該同學(xué)通過測試的概率是___________．【答案】##【解析】【分析】分別求出甲同學(xué)兩分球投籃命中的概率和甲同學(xué)三分球投籃命中的概率，設(shè)甲同學(xué)累計(jì)得分為，則，由此能求出甲同學(xué)通過測試的概率．【詳解】解：依題意甲同學(xué)兩分球投籃命中的概率為：，甲同學(xué)三分球投籃命中的概率為：，設(shè)甲同學(xué)累計(jì)得分為，則，甲同學(xué)通過測試的概率為．故答案為：16.已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是_____．【答案】【解析】【分析】作出圖形，分析可知，，利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】如下圖所示：在雙曲線中，，，，圓的圓心為，半徑長為，所以，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，由雙曲線的定義可得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)為射線與圓的交點(diǎn)，且時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的求和公式可求得.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，解得，.【小問2詳解】解：，且，故數(shù)列為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，因.18.如圖，在四棱臺(tái)中，底面是正方形，若，，．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）將四棱臺(tái)補(bǔ)形成四棱錐，取CD中點(diǎn)E，連接PE，BE，依據(jù)已知易證、，再由線面垂直、面面垂直的判定即可證結(jié)論；（2）應(yīng)用幾何法找到二面角的一個(gè)平面角，進(jìn)而求其余弦值即可.【小問1詳解】將四棱臺(tái)補(bǔ)形成四棱錐，取CD中點(diǎn)E，連接PE，BE，由題意知，且，，，分別是棱PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)，所以，又，，，所以，故，又，平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，又平面，所以平面平面ABCD．【小問2詳解】由底面是正方形，則，由（1）知：面面ABCD，面面ABCD，而面ABCD，所以面，過D作于G，連接AG，則面，故面面，面面，面，所以面，又面，則，因此∠AGD為二面角的一個(gè)平面角，在直角△ADG中，，，則，所以，即二面角的平面角的余弦值為．19.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿意，且．（1）求A；（2）若，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由三角形內(nèi)角性質(zhì)及正弦定理邊角關(guān)系可得，進(jìn)而求角的大??；（2）在△ABC、△ADE中應(yīng)用余弦定理可得、，求出b、c，再由三角形面積公式求面積.【小問1詳解】由得：，即，由正弦定理得，在△ABC中，，故，則，因?yàn)椋裕拘?詳解】在△ABC中，由余弦定理，得，在△ADE中，由余弦定理得，所以，化簡得，即，所以，代入得：，，則△ABC的面積．20.某市確定利用兩年時(shí)間完成全國文明城市創(chuàng)建的打算工作，其中“禮讓行人”是交警部門主扲的重點(diǎn)工作之一．“禮讓行人”即當(dāng)機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行橫道時(shí)應(yīng)當(dāng)減速慢行，遇行人正在通過人行橫道，應(yīng)當(dāng)停車讓行．如表是該市某一主干路口電子監(jiān)控設(shè)備抓拍的今年1-6月份機(jī)動(dòng)車駕駛員不“禮讓行人”行為的人數(shù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．月份123456不“禮讓行人”333640394553（1）請利用所給的數(shù)據(jù)求不“禮讓行人”人數(shù)與月份之間的閱歷回來方程，并預(yù)料該路口今年11月份不“禮讓行人”的機(jī)動(dòng)車駕駛員人數(shù)（精確到整數(shù)）；（2）交警部門為調(diào)查機(jī)動(dòng)車駕駛員“禮讓行人”行為與駕齡滿3年的關(guān)系，從這6個(gè)月內(nèi)通過該路口的機(jī)動(dòng)車駕駛員中隨機(jī)抽查了100人，如表所示：不“禮讓行人”禮讓行人駕齡不超過3年1842駕齡3年以上436依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷機(jī)動(dòng)車駕駛員“禮讓行人”行為與駕齡滿3年有關(guān)?并說明理由．附：參考公式：，，其中．獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1），68人（2）認(rèn)為“禮讓行人”與駕齡滿3年有關(guān)，且推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05，理由見解析【解析】【分析】（1）利用表中的數(shù)據(jù)和公式干脆求解即可，（2）先完成列聯(lián)表，然后利用公式求解，再依據(jù)臨界值分析推斷.【小問1詳解】由表中數(shù)據(jù)可知：，，所以，即，所以，所求得閱歷回來方程為．當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)料該路口11月份的不“禮讓行人”違章駕駛員人數(shù)為68人．【小問2詳解】零假設(shè)為：“禮讓行人”與駕齡滿3年無關(guān)，由題意知列聯(lián)表為不禮讓行人禮讓行人合計(jì)駕齡不超過3年184260駕齡3年以上43640合計(jì)2278100由表中數(shù)據(jù)可得依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推新不成立，即認(rèn)為“禮讓行人”與駕齡滿3年有關(guān)，且推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05，21.已知橢圓，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)時(shí)，斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（，兩點(diǎn)在直線的異側(cè)），若四邊形的面積為，求直線的方程．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，得出韋達(dá)定理，再依據(jù)弦長公式求解，結(jié)合函數(shù)的最大值可得，進(jìn)而求得橢圓方程即可；（2）設(shè)直線方程為，，，記點(diǎn)，到直線的距離分別為，，表達(dá)出，，依據(jù)求解即可.【小問1詳解】設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程得，消去y得，又，是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，由弦長公式得，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，即，解得．所以橢圓C的方程為．【小問2詳解】設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y得，所以，且，記點(diǎn)，到直線的距離分別為，，又，且，所以，所以，因，所以，整理得，