數(shù)學(xué)自我小測：反證法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測1．“M不是N的子集”的充分必要條件是()A．若x∈M,則x?NB．若x∈N，則x∈MC．存在x1∈M，且x1∈N，又存在x2∈M，但x2?ND．存在x0∈M，但x0?N2．有下列說法：①“a＞b"的反面是“a＜b”；②“x＝y(tǒng)”的反面是“x＞y或x＜y”;③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”．其中正確的說法有()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)3．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)a＋eq\f（1，b),b＋eq\f（1，c),c＋eq\f（1，a）（)A．都大于2 B．至少有一個(gè)大于2C．至少有一個(gè)不大于2 D．至少有一個(gè)不小于24．已知x1＞0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)．試證:“在數(shù)列{xn}中，對任意正整數(shù)n都滿足xn＜xn＋1,或者對任意的正整數(shù)n都滿足xn＞xn＋1，”當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時(shí),應(yīng)為（)A．對任意的正整數(shù)n，有xn＝xn＋1B．存在正整數(shù)n，使xn＝xn＋1C．存在正整數(shù)n，使xn≥xn－1且xn≥xn＋1D．存在正整數(shù)n，使（xn－xn－1)（xn－xn＋1)≥05．已知數(shù)列｛an｝，｛bn}的通項(xiàng)公式分別為an＝an＋2,bn＝bn＋1（a，b是常數(shù))，且a＞b，那么兩個(gè)數(shù)列中序號與數(shù)值均相同的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是(）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．無窮多個(gè)6．證明命題“任何三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)是銳角”成立時(shí)，應(yīng)假設(shè)__________．7．用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤;②所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角;③假設(shè)△ABC中有兩個(gè)直角,不妨設(shè)∠A＝90°，∠B＝90°。上述步驟的正確順序?yàn)開_________．8．完成下面用反證法證題的全過程．題目：設(shè)a1，a2,…,a7是1，2，…，7的一個(gè)排列,求證：乘積p＝（a1－1)（a2－2）…（a7－7）為偶數(shù)．9．已知：a∥b,a∩平面α＝A，如圖所示,求證:直線b與平面α必相交10．已知a1，a2，a3，…，an和b1,b2，b3,…，bn都是正數(shù)，且aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al（2,2）＋aeq\o\al（2,3)＋…＋aeq\o\al（2,n）＝beq\o\al(2，1)＋beq\o\al（2，2)＋beq\o\al（2，3)＋…＋beq\o\al（2，n).求證：eq\f(a1,b1),eq\f(a2，b2),eq\f（a3，b3),…，eq\f(an,bn)中的最小數(shù)一定不大于1.11．已知函數(shù)f（x）＝ax＋eq\f（x－2，x＋1)(a＞1）．用反證法證明方程f（x）＝0沒有負(fù)數(shù)根．

參考答案1.解析：按定義,若M是N的子集,則集合M的任一個(gè)元素都是集合N的元素．所以要使M不是N的子集，只需存在x0∈M，但x0?N即可．答案：D2.解析:①錯(cuò)誤，應(yīng)為a≤b；②正確;③錯(cuò)誤，應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或三角形的邊上．答案:B3.解析：eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(a＋\f(1，b)））＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(b＋\f(1，c)))＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（c＋\f（1,a)）)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（a＋\f（1，a））)＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（b＋\f(1,b）））＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（c＋\f(1,c）））≥6。假設(shè)題中所給三個(gè)數(shù)都小于2，則三個(gè)數(shù)之和小于6，故三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2.答案：D4.解析：結(jié)論是說數(shù)列｛xn｝或單調(diào)增加或單調(diào)減少,總之是嚴(yán)格單調(diào)數(shù)列．其否定應(yīng)是:或?yàn)槌?shù)列或?yàn)閿[動(dòng)數(shù)列．因而其中存在一個(gè)項(xiàng)xn，或不比兩邊的項(xiàng)大,或不比兩邊的項(xiàng)小，即xn≤xn－1且xn≤xn＋1或xn≥xn－1且xn≥xn＋1，合并為（xn－xn－1）（xn－xn＋1)≥0.故選D.答案：D5。解析：假設(shè)存在序號和數(shù)值均相等的兩項(xiàng)，即存在n,使得an＝bn.但∵a＞b,n∈N＋，∴恒有a·n＞b·n，從而an＋2＞bn＋1恒成立．∴不存在n，使得an＝bn，故應(yīng)選A。答案：A6.答案:存在一個(gè)三角形，其三個(gè)內(nèi)角中最多有一個(gè)是銳角7.答案：③①②8。證明:假設(shè)p為奇數(shù)，則__________均為奇數(shù)．①因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)＝__________②＝__________③＝0。但0不是奇數(shù)，這一矛盾說明p為偶數(shù)．解析:假設(shè)p為奇數(shù)，則a1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數(shù)，因?yàn)槠鏀?shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù),故有奇數(shù)＝(a1－1）＋(a2－2）＋…＋（a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7）－(1＋2＋…＋7)＝0。但0不是奇數(shù)，這一矛盾說明p為偶數(shù)．答案：a1－1，a2－2，…，a7－7（a1－1)＋（a2－2)＋…＋(a7－7）(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7）9。證明：假設(shè)b與平面α不相交，即b?α或b∥α。①若b?α,因?yàn)閎∥a,a?α，所以a∥α,這與a∩α＝A相矛盾；②如圖所示，如果b∥α,則a，b確定平面β。顯然α與β相交，設(shè)α∩β＝c，因?yàn)閎∥α,所以b∥c.又a∥b，從而a∥c，且a?α,c?α，則a∥α，這與a∩α＝A相矛盾．由①②知，假設(shè)不成立,故直線b與平面α必相交．10.分析：本題的結(jié)論為否定性命題,且題設(shè)提供的信息較少,故用反證法證明．證明:假設(shè)，，,…，都大于1，即＞1，＞1，＞1，…,＞1，則a1＞b1＞0，a2＞b2＞0，a3＞b3＞0，…，an＞bn＞0.于是a21＞b21,a22＞b22,a23＞b23，…,a2n＞b2n,則a21＋a22＋a23＋…＋a2n＞b21＋b22＋b23＋…＋b2n，與已知a21＋a22＋a23＋…＋a2n＝b21＋b22＋b23＋…＋b2n相矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，故原結(jié)論正確．11。證明：假設(shè)x0為方程f(x）＝0的負(fù)根，則有ax0＋eq\f（x0－2,x0＋1)＝0,即ax0＝eq\f(2－x0，x0＋1)＝eq\f（3－（1＋x0),x0＋1）＝－1＋eq\f（3,x0＋1），顯然x0≠－1.(1)當(dāng)－1＜x0＜0時(shí)，0＜x0＋1＜1，則eq\f(3，1＋x0）＞3，則－1＋eq\f（3，1＋x0）＞2，即ax0＞2。