數(shù)學(xué)自我小測(cè)：復(fù)數(shù)的加法和減法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測(cè)1．已知|z|＝3，且z＋3i是純虛數(shù)，則z＝（)A．－3iB．3iC．±3iD．4i2．下列命題：(1)z－eq\x\to(z）是純虛數(shù)；(2)z1＋z2∈Rz2＝eq\x\to(z1)；(3)(3＋i)－（1＋i）＝23＋i＞1＋i.其中正確的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．33．在復(fù)平面內(nèi),若復(fù)數(shù)z滿足|z＋1｜＝｜z－i｜，則z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合構(gòu)成的圖象是(）A．圓B．直線C．橢圓D．雙曲線4．設(shè)f（z）＝eq\x\to(z)，且z1＝1＋5i，z2＝－3＋2i，則f（eq\x\to（z1－z2))的值是（）A．－2＋3iB．－2－3iC．4－3iD．4＋3i5．復(fù)數(shù)x＋yi(x，y∈R）滿足|z－4i|＝|z＋2|,則2x＋4y的最小值為（)A．2B．4C．4eq\r(2)D．8eq\r（2）6．若P，A，B，C四點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z，z1，z2，z3,且|z－z1|＝｜z－z2｜＝｜z－z3|,則點(diǎn)P為△ABC的()A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心7．非零復(fù)數(shù)z1，z2滿足關(guān)系|z1|＝|z2｜，且|z1＋z2|＝｜z1－z2｜，z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量是和，以和為鄰邊的平行四邊形是________．8．已知復(fù)數(shù)z,且|z|＝1，則｜z＋3＋i|的最小值是________．9．已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)2i,4－4i，2＋6i，求第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．10．已知集合A＝{z1|｜z1＋1|≤1,z1∈C｝,B＝{z2｜z2＝z1＋i＋m，z1∈A，m∈R}．（1)當(dāng)A∩B＝時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2)是否存在實(shí)數(shù)m，使A∩B＝A。11．已知z1＝x＋eq\r（5）＋yi，z2＝x－eq\r（5）＋yi,且x∈R，y∈R，｜z1｜＋|z2|＝6.求f(x,y)＝｜2x－3y－12｜的最值．參考答案1。答案:B2。解析:(1)設(shè)z＝x＋yi（x，y∈R)，則z－eq\x\to（z)＝2yi，可見(jiàn)只有當(dāng)y≠0時(shí)，z－eq\x\to（z）為純虛數(shù)，而當(dāng)y＝0時(shí),z－eq\x\to（z)為實(shí)數(shù),所以（1)錯(cuò)誤．(2）當(dāng)z2＝eq\x\to（z1）時(shí)，z1＋z2＝z1＋eq\x\to（z1），∴z1＋z2∈R，反之，若z1＋z2∈R，則z1，z2兩復(fù)數(shù)的虛部互為相反數(shù)，但它們的實(shí)部不一定相同，因此z2不一定等于eq\x\to(z1),所以（2)錯(cuò)誤．（3)雖然（3＋i)－(1＋i)＝2＞0,但由于3＋i,1＋i均為虛數(shù)，而兩復(fù)數(shù)若不全是實(shí)數(shù)，則不能比較大小，所以（3)錯(cuò)誤．故（1）（2)(3）都不正確．答案：A3。解析：解法一：設(shè)z＝x＋yi（x,y∈R），∵｜z＋1｜＝|x＋yi＋1|＝eq\r（（x＋1)2＋y2）,｜z－i｜＝|x＋yi－i｜＝eq\r(x2＋(y－1)2），∴eq\r((x＋1)2＋y2）＝eq\r（x2＋（y－1)2).∴x＋y＝0.∴z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的集合構(gòu)成的圖形是第二、四象限角平分線．解法二：設(shè)點(diǎn)Z1對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1，點(diǎn)Z2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為i,則等式|z＋1|＝｜z－i|的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)Z到兩點(diǎn)Z1，Z2的距離相等．∴Z的集合是線段Z1Z1的垂直平分線．答案:B4.解析：z1－z2＝（1＋5i)－（－3＋2i)＝（1＋3）＋（5－2）i＝4＋3i，∴＝4－3i?！鄁(）＝f（4－3i）＝eq\x\to（4－3i）＝4＋3i。答案:D5.解析：∵｜x＋yi－4i｜＝|x＋yi＋2|，∴x2＋（y－4)2＝(x＋2）2＋y2.∴x＝－2y＋3?！?x＋4y＝2－2y＋3＋4y＝8×eq\f（1,4y)＋4y≥4eq\r（2）.答案:C6。解析：由｜z－z0|的幾何意義可知，動(dòng)點(diǎn)P到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，故P為△ABC的外接圓的圓心．答案：B7.解析：|z1|＝|z2|表示平行四邊形的四條邊相等，｜z1＋z2｜＝｜z1－z2|表示對(duì)角線相等，從而是正方形．答案：正方形8.解析:由復(fù)數(shù)模的幾何意義知|z|＝1表示復(fù)平面上以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上的點(diǎn)．而|z＋3＋i|＝|z－（－3－i）｜表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)(－3，－1)的距離，∴｜z＋3＋i|的最小值為eq\r(10)－1。答案：eq\r（10）－19.分析：平行四邊形中已知的三個(gè)頂點(diǎn)順序未定，因而第四個(gè)頂點(diǎn)應(yīng)有三種情況．根據(jù)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義可求解．解：如圖，設(shè)這個(gè)平行四邊形已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為Z1,Z2，Z3，它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是z1＝2i,z2＝4－4i，z3＝2＋6i，第四個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z4，則①當(dāng)這個(gè)平行四邊形是以和為一組鄰邊時(shí)，有＝＋,∴z4－z1＝(z2－z1)＋（z3－z1),即z4＝（z2＋z3）－z1＝6。②當(dāng)這個(gè)平行四邊形是以和為一組鄰邊時(shí)，有＝＋.∴z4－z2＝(z1－z2)＋(z3－z2)．∴z4＝(z1＋z3）－z2＝－2＋12i。③當(dāng)這個(gè)平行四邊形是以和為一組鄰邊時(shí)，有＝＋?！鄗4－z3＝(z1－z3)＋（z2－z3）．∴z4＝(z1＋z2）－z3＝2－8i。綜上所述，這個(gè)平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為6或－2＋12i或2－8i。10.解：∵｜z1＋1｜≤1，∴z1所對(duì)應(yīng)點(diǎn)集A是以(－1，0）為圓心，以1為半徑的圓面（圓周及其內(nèi)部)．又∵z2＝z1＋i＋m，∴z1＝z2－i－m，∴|z2－i－m＋1｜≤1，即｜z2－[（m－1)＋i]|≤1.∴z2所對(duì)應(yīng)點(diǎn)集B是以（m－1，1)為圓心,1為半徑的圓面(圓周及其內(nèi)部）．(1）若A∩B＝,說(shuō)明上述兩圓外離，其圓心距d＝eq\r（(m－1＋1）2＋12）＞2，得m＞eq\r(3）或m＜－eq\r（3)。（2)若A∩B＝A，因?yàn)閮蓤A半徑相等，即兩圓重合，但由圓心的坐標(biāo)（－1，0）及(m－1，1）可知它們不能重合,故m的值不存在．11。解:∵｜z1｜＋｜z2|＝6,∴eq\r((x＋\r（5)）2＋y2）＋eq\r（(x－\r(5)）2＋y2）＝6.它是2a＝6，a＝3,c＝eq\r(5）,b＝2的一個(gè)橢圓，其標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9）＋eq\f(y2，4)＝1.令eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝3cosθ,,y＝2sinθ）)(θ為參數(shù))，∴f(x，y）＝｜2x－3y－12|＝|6cosθ－6sinθ－12|＝6|cosθ－sinθ－2｜＝6eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\r（2）sin\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,4)－θ))－2））。當(dāng)θ＝－eq\f（π，4)時(shí)，即當(dāng)x＝e