2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章第06講雙曲線及其性質(zhì)(十一大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第06講雙曲線及其性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 2題型二：雙曲線方程的充要條件 2題型三：雙曲線中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題 3題型四：雙曲線上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題 3題型五：雙曲線上兩線段的和差最值問(wèn)題 3題型六：離心率的值及取值范圍 4題型七：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問(wèn)題 5題型八：利用第一定義求解軌跡 6題型九：雙曲線的漸近線 7題型十：共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線 8題型十一：雙曲線的實(shí)際應(yīng)用 802重難創(chuàng)新練 1003過(guò)關(guān)測(cè)試 13題型一：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1．已知點(diǎn)為雙曲線的左支上一點(diǎn)，分別為的左，右焦點(diǎn)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，一條漸近線的方程為，且點(diǎn)在上，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為．3．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是，且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，標(biāo)準(zhǔn)方程為．題型二：雙曲線方程的充要條件4．“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件5．若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．或6．“方程表示雙曲線”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件題型三：雙曲線中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題7．（2024·黑龍江·二模）已知雙曲線的離心率為，其左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作的一條漸近線的垂線并交于兩點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為.8．（2024·高三·江蘇南京·開學(xué)考試）設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為為上一點(diǎn)，且，若的面積為，則.9．（2024·河南焦作·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，線段的垂直平分線與交于兩點(diǎn)，且與的一條漸近線交于第二象限的點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為.題型四：雙曲線上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題10．定長(zhǎng)為的線段AB的端點(diǎn)在雙曲線的右支上運(yùn)動(dòng)，則AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的最小值為．11．已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是．12．已知定點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值是.13．（2024·湖北·一模）平面內(nèi)，線段的長(zhǎng)度為10，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值為．題型五：雙曲線上兩線段的和差最值問(wèn)題14．設(shè)點(diǎn)是曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．15．已知，是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．16．已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線右支上的任一點(diǎn)，，則的最大值為．17．（2024·河北邯鄲·一模）已知點(diǎn)在雙曲線的右支上，，動(dòng)點(diǎn)滿足，是雙曲線的右焦點(diǎn)，則的最大值為.題型六：離心率的值及取值范圍18．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線C：的左焦點(diǎn)，直線與C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），若，且，則C的離心率為.19．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為、點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，，，則C的離心率為.20．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)，在第四象限與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)，且直線與圓切于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是．21．某研究性學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，由雙曲線的兩漸近線所成的角可求離心率的大小，聯(lián)想到反比例函數(shù)的圖象也是雙曲線，據(jù)此可進(jìn)一步推斷雙曲線的離心率.22．已知圓與雙曲線的漸近線有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為．23．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線的右支上存在兩點(diǎn)，，使得，則的離心率的取值范圍是.24．（2024·山東淄博·二模）若雙曲線（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為，則離心率e為（）A． B． C．3 D．25．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）若雙曲線C：的右支上存在，到點(diǎn)的距離相等，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．26．（2024·高三·湖北武漢·開學(xué)考試）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．27．已知F是雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是OP的中點(diǎn)，雙曲線E上有且僅有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)P之間的距離最近，則E的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型七：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問(wèn)題28．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若是雙曲線上一點(diǎn)，分別為的左、右焦點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．雙曲線的虛軸長(zhǎng)為 B．若，則的面積為2C．的最小值是 D．雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是229．（多選題）已知雙曲線（），則不因k的變化而變化的是（

）A．頂點(diǎn)坐標(biāo) B．漸近線方程 C．焦距 D．離心率30．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，是雙曲線的右焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4C．雙曲線的一條漸近線方程為D．P為雙曲線上一點(diǎn)，若，則31．（多選題）（2024·湖南株洲·一模）已知雙曲線，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2 B．雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為C．雙曲線C的漸近線方程為 D．雙曲線C的離心率為32．（多選題）（2024·江蘇南通·二模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，直線是C的一條漸近線，P是l上一點(diǎn)，則（）A．C的虛軸長(zhǎng)為 B．C的離心率為C．的最小值為2 D．直線PF的斜率不等于33．（多選題）（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）已知雙曲線的方程為，則（

）A．漸近線方程為 B．焦距為C．離心率為 D．焦點(diǎn)到漸近線的距離為834．（多選題）（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的焦點(diǎn)分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．漸近線方程為B．雙曲線與橢圓的離心率互為倒數(shù)C．若雙曲線上一點(diǎn)滿足，則的周長(zhǎng)為28D．若從雙曲線的左?右支上任取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的最短距離為6題型八：利用第一定義求解軌跡35．是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，若四邊形（為原點(diǎn)）的面積為4，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B． C． D．36．已知圓與圓，動(dòng)圓同時(shí)與圓及相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為（

）A．橢圓 B．橢圓和一條直線C．雙曲線和一條射線 D．雙曲線的一支37．已知點(diǎn)，，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.38．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為Q，且，則點(diǎn)P的軌跡方程為.39．已知P為圓C：上任意一點(diǎn)，．若線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡方程為．40．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)和的連線的斜率之積等于，則點(diǎn)P的軌跡方程為．41．動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是．42．已知A，B分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，點(diǎn)M，N為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足線段MN與x軸垂直，則直線MA與NB交點(diǎn)的軌跡方程為.題型九：雙曲線的漸近線43．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為，.點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)在軸上，，，則雙曲線44．（2024·上?！と＃┮阎p曲線的一條漸近線方程為，則.45．（2024·上海寶山·二模）已知是雙曲線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線兩漸近線的平行線，直線分別交軸于兩點(diǎn)，則．46．（2024·江西鷹潭·一模）設(shè)為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于,兩點(diǎn)，則平行四邊形的面積為．題型十：共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線47．已知F是橢圓的右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，若直線與雙曲線的一條漸近線平行，，的離心率分別為，則．48．（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，雙曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，兩曲線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．49．已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)（記為，），點(diǎn)是該橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則的面積為（

）.A． B． C． D．50．（多選題）已知橢圓C：與雙曲線：共焦點(diǎn)，過(guò)橢圓C上一點(diǎn)P的切線l與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)又O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．直線OP的斜率與切線l的斜率之積為定值D．的平分線長(zhǎng)為題型十一：雙曲線的實(shí)際應(yīng)用51．如圖1，北京冬奧會(huì)火種臺(tái)以“承天載物”為設(shè)計(jì)理念，創(chuàng)意靈感來(lái)自中國(guó)傳統(tǒng)青銅禮器一尊的曲線造型，基座沉穩(wěn)，象征“地載萬(wàn)物”，頂部舒展開闊，寓意迎接純潔的奧林匹克火種．如圖2，一種尊的外形近似為某雙曲線的一部分繞著虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，尊高63cm，上口直徑為40cm，底部直徑為26cm，最小直徑為24cm，則該雙曲線的漸近線與實(shí)軸所成銳角的正切值為．

52．（2024·上海·三模）如圖，B地在A地的正東方向，相距4km；C地在B地的北偏東方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲線）上任意一點(diǎn)到A的距離比它到B的距離遠(yuǎn)2km，現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向A、B、C三地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測(cè)算，從M到A、B兩地修建公路費(fèi)用都是10萬(wàn)元/km，從M到C修建公路的費(fèi)用為20萬(wàn)元/km．選擇合適的點(diǎn)M，可使修建的三條公路總費(fèi)用最低，則總費(fèi)用最低是萬(wàn)元（精確到0.01）53．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）一顆彗星的運(yùn)行軌跡是以太陽(yáng)為焦點(diǎn)，且靠近該焦點(diǎn)的雙曲線的一支，當(dāng)太陽(yáng)與這顆彗星的距離分別是6(億千米)和3(億千米)的時(shí)候，這顆彗星與太陽(yáng)的連線所在直線與雙曲線的實(shí)軸所在直線夾角分別為和，則這顆彗星與太陽(yáng)的最近距離是.54．根據(jù)中國(guó)地震局發(fā)布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共發(fā)生六級(jí)以上地震110次，最大地震是2023年02月06日09時(shí)02分37秒在土耳其發(fā)生的7.8級(jí)地震．地震定位對(duì)地震救援具有重要意義，根據(jù)雙臺(tái)子臺(tái)陣方法，在一次地震發(fā)生后，通過(guò)兩個(gè)地震臺(tái)站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在雙曲線的一支上，這兩個(gè)地震臺(tái)站的位置就是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).已知地震臺(tái)站A，B在公路l上（l為直線），且A，B相距，地震局以的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，直線l為x軸，為單位長(zhǎng)度建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.在一次地震發(fā)生后，根據(jù)A，B兩站收到的信息，并通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)震中P在雙曲線的右支上，且，則P到公路l的距離為（

）

A． B． C． D．1．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上且軸，直線，與軸分別交于點(diǎn)，，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的焦點(diǎn)關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．3．（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線l的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，過(guò)A作x軸的垂線與E的漸近線交于M、N兩點(diǎn)，若則E的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．[3，2]4．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與軸和的右支分別交于點(diǎn)，，若是正三角形，則（

）A．2 B．4 C．8 D．165．（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為30°的直線l與C的左、右兩支分別交于點(diǎn)P，Q，若，則C的離心率為（

）A． B． C．2 D．6．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．37．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，是雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與y軸和C的右支分別交于點(diǎn)P，Q，若是正三角形，則（

）A．2 B．4 C．8 D．168．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的兩焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與其一支交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第四象限.以為圓心，的實(shí)軸長(zhǎng)為半徑的圓與線段分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則的漸近線方程是（

）A． B．C． D．9．（多選題）（2024·安徽·一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．過(guò)的直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限．的內(nèi)心為與軸的交點(diǎn)為，記的內(nèi)切圓的半徑為的內(nèi)切圓的半徑為，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．若雙曲線漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為2或B．若，且，則雙曲線的離心率為C．若，則的取值范圍是D．若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為10．（多選題）（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知是動(dòng)點(diǎn)．下列命題正確的是（

）A．若，則的軌跡的長(zhǎng)度等于2B．若，則的軌跡方程為C．若，則的軌跡與圓沒有交點(diǎn)D．若，則的最大值為311．（多選題）（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的離心率為e，其左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線l交雙曲線C于P，Q兩點(diǎn)，交兩條漸近線于M，N兩點(diǎn)（P，M在第一象限），MN的中點(diǎn)為R，則（

）A．若直線l斜率，則B．的周長(zhǎng)為C．以為直徑的圓與以為直徑的圓相交D．若點(diǎn)M恰為以為直徑的圓與漸近線的一個(gè)交點(diǎn)，且，則12．（多選題）（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線，過(guò)原點(diǎn)的直線AC，BD分別交雙曲線于A，C和B，D四點(diǎn)（A，B，C，D四點(diǎn)逆時(shí)針排列），且兩直線斜率之積為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．四邊形ABCD一定是平行四邊形 B．四邊形ABCD可能為菱形C．AB的中點(diǎn)可能為 D．的值可能為13．（2024·山西太原·一模）已知橢圓，為原點(diǎn)，過(guò)第一象限內(nèi)橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為.記直線，，，的斜率分別為，，，，若，則的最小值是.14．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知正方形PQRS的邊長(zhǎng)為，兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B都在直線QS的同側(cè)（但A，B與P在直線QS的異側(cè)），A，B關(guān)于直線PR對(duì)稱，若，則面積的取值范圍是．15．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的一條漸近線與圓O：交于兩點(diǎn)，設(shè)圓O在兩點(diǎn)處的切線與軸分別交于兩點(diǎn)、若雙曲線的焦距為，則四邊形周長(zhǎng)的最大值為．16．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線方程為．17．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，求.18．（2024·山東·二模）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且其兩條漸近線相互垂直.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，的面積為，求直線的方程.1．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線的準(zhǔn)線l經(jīng)過(guò)，且l與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)A，若，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．2．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．33．（2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題）若雙曲線離心率為，過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．4．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為（

）A． B． C． D．5．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．6．（多選題）（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過(guò)作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．7．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作平行于軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為．8．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線C的焦點(diǎn)為和，離心率為，則C的方程為．9．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為．10．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)且．若，則雙曲線的離心率是．11．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無(wú)公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值．12．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．13．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）已知雙曲線的漸近線方程為，則．14．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程.15．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為．16．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）雙曲線的右焦點(diǎn)到直線的距離為．17．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過(guò)P且斜率為的直線與過(guò)Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.第06講雙曲線及其性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 2題型二：雙曲線方程的充要條件 3題型三：雙曲線中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題 4題型四：雙曲線上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題 7題型五：雙曲線上兩線段的和差最值問(wèn)題 9題型六：離心率的值及取值范圍 11題型七：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問(wèn)題 17題型八：利用第一定義求解軌跡 20題型九：雙曲線的漸近線 23題型十：共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線 25題型十一：雙曲線的實(shí)際應(yīng)用 2802重難創(chuàng)新練 3203過(guò)關(guān)測(cè)試 49題型一：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1．已知點(diǎn)為雙曲線的左支上一點(diǎn)，分別為的左，右焦點(diǎn)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】由于為雙曲線的左支上一點(diǎn)，分別為的左，右焦點(diǎn)，所以，故，由于，所以，故選：A2．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，一條漸近線的方程為，且點(diǎn)在上，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】.【解析】由雙曲線的一條漸近線為，故設(shè)雙曲線方程為：，又在雙曲線上，則，故所求雙曲線方程為：，整理得：.故答案為：.3．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是，且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是，所以設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則有，又因?yàn)椋曰?，因?yàn)椋?，雙曲線方程為，所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為；標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：；.題型二：雙曲線方程的充要條件4．“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】若，但是取，則不是雙曲線，故不是充分條件，若為雙曲線，則必須異號(hào)，所以，故是必要條件，所以“”是“方程表示雙曲線”的必要不充分條件.故選:.5．若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】A【解析】若方程表示雙曲線，則，得.故選：B6．“方程表示雙曲線”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得或.所以“或”是“”的必要不充分條件.所以“方程表示雙曲線”是“”的必要不充分條件.故選：B.題型三：雙曲線中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題7．（2024·黑龍江·二模）已知雙曲線的離心率為，其左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作的一條漸近線的垂線并交于兩點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為.【答案】【解析】由，得，則雙曲線，

，漸近線，不妨設(shè)直線，，聯(lián)立方程消去得，則，可得，解得，可得，由雙曲線的定義可得，則，可得，所以的周長(zhǎng).故答案為：8．（2024·高三·江蘇南京·開學(xué)考試）設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為為上一點(diǎn)，且，若的面積為，則.【答案】2【解析】不妨取點(diǎn)在第一象限，如下圖所示：根據(jù)雙曲線定義可得，且；由離心率為可得，可得，即；設(shè)，則；由的面積為可得，解得；利用余弦定理可得，即，整理可得，即，所以，解得.故答案為：29．（2024·河南焦作·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，線段的垂直平分線與交于兩點(diǎn)，且與的一條漸近線交于第二象限的點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為.【答案】/【解析】記的右焦點(diǎn)為，由題意可知：雙曲線的一條漸近線為，可知點(diǎn)在的漸近線上，且，即，且，，則，可知和均為等邊三角形，則，即，所以雙曲線的方程為.不妨設(shè)A在上方，則的周長(zhǎng)為，又因?yàn)榈闹本€方程為，與雙曲線方程聯(lián)立得，整理得，解得，且，可知，所以的周長(zhǎng)為.故答案為：.題型四：雙曲線上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題10．定長(zhǎng)為的線段AB的端點(diǎn)在雙曲線的右支上運(yùn)動(dòng)，則AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的最小值為．【答案】【解析】設(shè)F是右焦點(diǎn)，點(diǎn)，．由離心率為，右準(zhǔn)線為，則,則，∴．∴．故答案為：11．已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是．【答案】【解析】如下圖所示：在雙曲線中，，，，圓的圓心為，半徑長(zhǎng)為，所以，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，由雙曲線的定義可得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)為射線與圓的交點(diǎn)，且時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是.故答案為：.12．已知定點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值是.【答案】6【解析】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足，所以點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支，則，即，不妨設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，則雙曲線方程為，左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，設(shè)，則，所以，所以的最小值是6，故答案為：613．（2024·湖北·一模）平面內(nèi)，線段的長(zhǎng)度為10，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值為．【答案】2【解析】因?yàn)?，所以，因此?dòng)點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線的靠近點(diǎn)的一支上，且，從而的最小值為故答案為：2.題型五：雙曲線上兩線段的和差最值問(wèn)題14．設(shè)點(diǎn)是曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．【答案】8【解析】由雙曲線的方程可得，，則，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，則，圓的圓心，半徑，由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在，之間時(shí)取等號(hào)，即的最小值為．故答案為：．15．已知，是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】7【解析】如圖所示：由題意，設(shè)為雙曲線右焦點(diǎn)，線段與雙曲線右支交于點(diǎn)，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)重合，所以的最小值為7.故答案為：7.16．已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線右支上的任一點(diǎn)，，則的最大值為．【答案】/【解析】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由題知，因?yàn)椋?，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.所以，的最大值為故答案為：17．（2024·河北邯鄲·一模）已知點(diǎn)在雙曲線的右支上，，動(dòng)點(diǎn)滿足，是雙曲線的右焦點(diǎn)，則的最大值為.【答案】/【解析】動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓,設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由題知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，故答案為：題型六：離心率的值及取值范圍18．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線C：的左焦點(diǎn)，直線與C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），若，且，則C的離心率為.【答案】【解析】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，連接，由對(duì)稱性可知，，，，因?yàn)?，所以，故四邊形為矩形，，因?yàn)?，所以，由雙曲線定義可得，由勾股定理得，由題意得，即，解得，故，解得，離心率為.故答案為：19．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為、點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，，，則C的離心率為.【答案】/【解析】如圖：設(shè)Ax1,y1，因?yàn)?，?因?yàn)?，所以；又在曲線上，所以：.由，由因?yàn)椋?故答案為：.20．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)，在第四象限與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)，且直線與圓切于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是．【答案】/【解析】如圖，因?yàn)橹本€與圓切于點(diǎn)，所以．因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，所以，則，．因?yàn)?，所以，所以，即，所以，則雙曲線的離心率．故答案為：21．某研究性學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，由雙曲線的兩漸近線所成的角可求離心率的大小，聯(lián)想到反比例函數(shù)的圖象也是雙曲線，據(jù)此可進(jìn)一步推斷雙曲線的離心率.【答案】【解析】由題意，雙曲線的漸近線為，若兩漸近線垂直，則，解得，即雙曲線為等軸雙曲線，所以離心率為.雙曲線的兩漸近線為軸和軸，互相垂直，則雙曲線為等軸雙曲線，所以離心率為.故答案為：.22．已知圓與雙曲線的漸近線有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為．【答案】【解析】圓，雙曲線的漸近線為，圓與雙曲線的漸近線有公共點(diǎn)，圓心到漸近線的距離，，，即，．故答案為：．23．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線的右支上存在兩點(diǎn)，，使得，則的離心率的取值范圍是.【答案】【解析】設(shè)漸近線的傾斜角為，則，即，所以，離心率.故答案為：.24．（2024·山東淄博·二模）若雙曲線（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為，則離心率e為（）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】（a＞0，b＞0）漸近線方程為，則.離心率.故選：B.25．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）若雙曲線C：的右支上存在，到點(diǎn)的距離相等，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性可知，存在以點(diǎn)為圓心的圓與雙曲線的右支有四個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)雙曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)P的距離最小時(shí)，點(diǎn)Q不可為雙曲線的右頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，又因?yàn)橛桑傻?，所以，要使最小，，則，解得，所以，又因?yàn)殡p曲線中，所以.故選：A26．（2024·高三·湖北武漢·開學(xué)考試）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)雙曲線定義知：的周長(zhǎng)為，而，所以，而的周長(zhǎng)為，所以，即，所以，解得，雙曲線離心率的取值范圍是.故選：D27．已知F是雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是OP的中點(diǎn)，雙曲線E上有且僅有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)P之間的距離最近，則E的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題知，，設(shè)是雙曲線E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴，即，∴．易知最小時(shí)，M為E的右頂點(diǎn)，則，∴當(dāng)時(shí)，在處取得最小值，不符合題意，故，此時(shí)在處取得最小值，符合題意，故．故選：B．題型七：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問(wèn)題28．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若是雙曲線上一點(diǎn)，分別為的左、右焦點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．雙曲線的虛軸長(zhǎng)為 B．若，則的面積為2C．的最小值是 D．雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是2【答案】AC【解析】由雙曲線，得雙曲線，設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為，半焦距為.選項(xiàng)A：得，故雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤.選項(xiàng)B：得，則，，得，故的面積為，故B正確.選項(xiàng)C：易知，故C正確.選項(xiàng)D：易得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，所以雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.29．（多選題）已知雙曲線（），則不因k的變化而變化的是（

）A．頂點(diǎn)坐標(biāo) B．漸近線方程 C．焦距 D．離心率【答案】AD【解析】雙曲線化為：，實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng)，雙曲線的頂點(diǎn)隨k的變化而變化，焦距隨k的變化而變化，AC不是；而，漸近線方程不因k的變化而變化，離心率為常數(shù)，BD是.故選：BD30．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，是雙曲線的右焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4C．雙曲線的一條漸近線方程為D．P為雙曲線上一點(diǎn)，若，則【答案】ABD【解析】的準(zhǔn)線方程為，A正確；由，得，不妨設(shè)，則，故雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，B正確；令，知雙曲線的一條漸近線方程為，C錯(cuò)誤；由雙曲線的定義，知，可得（，舍），D正確．故選：ABD31．（多選題）（2024·湖南株洲·一模）已知雙曲線，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2 B．雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為C．雙曲線C的漸近線方程為 D．雙曲線C的離心率為【答案】AD【解析】因?yàn)殡p曲線方程，所以，對(duì)于A：實(shí)軸長(zhǎng)為，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)椋詽u近線方程，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋噪x心率，故D正確；故選：AD.32．（多選題）（2024·江蘇南通·二模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，直線是C的一條漸近線，P是l上一點(diǎn)，則（）A．C的虛軸長(zhǎng)為 B．C的離心率為C．的最小值為2 D．直線PF的斜率不等于【答案】AD【解析】雙曲線的漸近線方程為，依題意，，解得，對(duì)于A，的虛軸長(zhǎng)，A正確；對(duì)于B，的離心率，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，點(diǎn)到直線的距離，即的最小值為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線的斜率為，而點(diǎn)不在上，點(diǎn)在上，則直線PF的斜率不等于，D正確.故選：AD33．（多選題）（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）已知雙曲線的方程為，則（

）A．漸近線方程為 B．焦距為C．離心率為 D．焦點(diǎn)到漸近線的距離為8【答案】AC【解析】因?yàn)殡p曲線方程為，即，則，且雙曲線焦點(diǎn)在軸上，所以漸近線方程為：，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；焦距，B選項(xiàng)正確；離心率，C選項(xiàng)正確；焦點(diǎn)為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC.34．（多選題）（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的焦點(diǎn)分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．漸近線方程為B．雙曲線與橢圓的離心率互為倒數(shù)C．若雙曲線上一點(diǎn)滿足，則的周長(zhǎng)為28D．若從雙曲線的左?右支上任取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的最短距離為6【答案】BD【解析】由題意可得，故漸近線為，故A錯(cuò)誤；易知雙曲線和橢圓的離心率分別為，顯然它們不互為倒數(shù)，故B錯(cuò)誤；由雙曲線的定義可知，若，則，又，故的周長(zhǎng)為，故C正確；由雙曲線的圖象可知左右兩支上距離最近的兩點(diǎn)為左右頂點(diǎn)，即最短距離為6，故D正確．故選：CD題型八：利用第一定義求解軌跡35．是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，若四邊形（為原點(diǎn)）的面積為4，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，根據(jù)題意可知點(diǎn)在和相交的右側(cè)區(qū)域，所以點(diǎn)到直線的距離，到直線的距離，，即.所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程：.故選：C.36．已知圓與圓，動(dòng)圓同時(shí)與圓及相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為（

）A．橢圓 B．橢圓和一條直線C．雙曲線和一條射線 D．雙曲線的一支【答案】A【解析】圓，，圓心，，圓，，圓心，，設(shè)，因?yàn)閳A同時(shí)與圓及相外切，所以，即的軌跡是以為焦點(diǎn)，的雙曲線的左支.故選：D37．已知點(diǎn)，，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)，由題意可知，，整理可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.38．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為Q，且，則點(diǎn)P的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)，則，又因?yàn)榭傻?則點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.39．已知P為圓C：上任意一點(diǎn)，．若線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡方程為．【答案】【解析】由點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)，，又，滿足雙曲線定義且，，，軌跡方程：．故答案為：．40．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)和的連線的斜率之積等于，則點(diǎn)P的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，由已知得，整理得，所以點(diǎn)P的軌跡方程為．故答案為：.41．動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是．【答案】【解析】動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，所以，即，展開整理得．故答案為：．42．已知A，B分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，點(diǎn)M，N為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足線段MN與x軸垂直，則直線MA與NB交點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【解析】因?yàn)锳，B分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，所以A(-2，0)，B(2，0)，設(shè)MA與NB的交點(diǎn)為P，P(x，y)，M(x1，y1)，N(x1，-y1)，由，，得，，兩式相乘得∶，化解得.故答案為：.題型九：雙曲線的漸近線43．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為，.點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)在軸上，，，則雙曲線【答案】【解析】因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，又，所以為直角三角形，記，則，由雙曲線定義和對(duì)稱性可得，則有，即，解得或（舍去）.記，則，在中，由余弦定理得，整理得，得所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：44．（2024·上?！と＃┮阎p曲線的一條漸近線方程為，則.【答案】【解析】雙曲線的漸近線為，依題意，解得.故答案為：45．（2024·上海寶山·二模）已知是雙曲線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線兩漸近線的平行線，直線分別交軸于兩點(diǎn)，則．【答案】4【解析】雙曲線兩漸近線的斜率為，設(shè)點(diǎn)，則、的方程分別為，，所以、坐標(biāo)為，，所以，又點(diǎn)在雙曲線上，則，所以．故答案為：446．（2024·江西鷹潭·一模）設(shè)為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于,兩點(diǎn)，則平行四邊形的面積為．【答案】【解析】設(shè)(不妨設(shè)在第一象限)，代入雙曲線得即，不妨假設(shè)在第一象限，所以直線的方程為，直線方程為，聯(lián)立解得，直線的一般方程為，又到漸近線的距離為，又，且，為銳角，∴，∴平行四邊形的面積為，故答案為：15題型十：共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線47．已知F是橢圓的右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，若直線與雙曲線的一條漸近線平行，，的離心率分別為，則．【答案】1【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，則Fc,0，，所以，直線與的一條漸近線平行，所以，則，所以，即得，又，，所以，即.故答案為：1.48．（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，雙曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，兩曲線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，因?yàn)殡p曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，則，設(shè)橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)為、，且、為兩曲線的左、右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，在第三象限的交點(diǎn)為，則，解得，由對(duì)稱性可知、的中點(diǎn)均為原點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，因?yàn)?、、、四點(diǎn)共圓，則有，故，由勾股定理可得，即，即，即，故橢圓的離心率為.故選：C.49．已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)（記為，），點(diǎn)是該橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則的面積為（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)闄E圓與雙曲線共焦點(diǎn)，所以有，，，因?yàn)樵摍E圓與雙曲線是中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形，所以不妨設(shè)點(diǎn)是在第一象限，左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義可知：，則，由余弦定理可知：，所以有，因此的面積為，故選：D．50．（多選題）已知橢圓C：與雙曲線：共焦點(diǎn)，過(guò)橢圓C上一點(diǎn)P的切線l與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)又O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．直線OP的斜率與切線l的斜率之積為定值D．的平分線長(zhǎng)為【答案】ABC【解析】橢圓C：與雙曲線：共焦點(diǎn)，.，故A正確；這時(shí)，是橢圓C：上一點(diǎn)，設(shè)，，則，橢圓C上一點(diǎn)P的切線l的方程為，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值．這時(shí)，，對(duì)于B，，，，故B正確；對(duì)于C，直線OP的斜率，切線l的斜率，，故C正確；對(duì)于D，不妨設(shè)P在第一象限，則，這時(shí)，在中，由，知，．設(shè)的平分線交于點(diǎn)Q，則，在中，由正弦定理得，．故D錯(cuò)誤．故選：ABC題型十一：雙曲線的實(shí)際應(yīng)用51．如圖1，北京冬奧會(huì)火種臺(tái)以“承天載物”為設(shè)計(jì)理念，創(chuàng)意靈感來(lái)自中國(guó)傳統(tǒng)青銅禮器一尊的曲線造型，基座沉穩(wěn)，象征“地載萬(wàn)物”，頂部舒展開闊，寓意迎接純潔的奧林匹克火種．如圖2，一種尊的外形近似為某雙曲線的一部分繞著虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，尊高63cm，上口直徑為40cm，底部直徑為26cm，最小直徑為24cm，則該雙曲線的漸近線與實(shí)軸所成銳角的正切值為．

【答案】【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)樽钚≈睆綖?，可得，即，又因?yàn)樽鸶?，上口直徑為，底部直徑為，設(shè)點(diǎn)，所以且，解得，即，可得雙曲線的漸近線為，所以漸近線與實(shí)軸所成銳角的正切值為.故答案為：.52．（2024·上?！と＃┤鐖D，B地在A地的正東方向，相距4km；C地在B地的北偏東方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲線）上任意一點(diǎn)到A的距離比它到B的距離遠(yuǎn)2km，現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向A、B、C三地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測(cè)算，從M到A、B兩地修建公路費(fèi)用都是10萬(wàn)元/km，從M到C修建公路的費(fèi)用為20萬(wàn)元/km．選擇合適的點(diǎn)M，可使修建的三條公路總費(fèi)用最低，則總費(fèi)用最低是萬(wàn)元（精確到0.01）【答案】85.83【解析】以所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：，根據(jù)雙曲線定義知，軌跡為雙曲線的右支.故，，，，故軌跡方程為：.由題意修建的三條公路總費(fèi)用，由圖形可知，當(dāng)三點(diǎn)共線，即在點(diǎn)處時(shí)，有最小值，由題意，所以，所以.故答案為：53．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）一顆彗星的運(yùn)行軌跡是以太陽(yáng)為焦點(diǎn)，且靠近該焦點(diǎn)的雙曲線的一支，當(dāng)太陽(yáng)與這顆彗星的距離分別是6(億千米)和3(億千米)的時(shí)候，這顆彗星與太陽(yáng)的連線所在直線與雙曲線的實(shí)軸所在直線夾角分別為和，則這顆彗星與太陽(yáng)的最近距離是.【答案】2【解析】如圖，設(shè)，，，設(shè)雙曲線的方程為，半焦距為，將代入雙曲線可得，則，①又，即，代入雙曲線得②聯(lián)立①②，結(jié)合可得，解得或（因?yàn)椋噬崛ィ?，，則這顆彗星與太陽(yáng)的最近距離是.故答案為：2.54．根據(jù)中國(guó)地震局發(fā)布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共發(fā)生六級(jí)以上地震110次，最大地震是2023年02月06日09時(shí)02分37秒在土耳其發(fā)生的7.8級(jí)地震．地震定位對(duì)地震救援具有重要意義，根據(jù)雙臺(tái)子臺(tái)陣方法，在一次地震發(fā)生后，通過(guò)兩個(gè)地震臺(tái)站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在雙曲線的一支上，這兩個(gè)地震臺(tái)站的位置就是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).已知地震臺(tái)站A，B在公路l上（l為直線），且A，B相距，地震局以的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，直線l為x軸，為單位長(zhǎng)度建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.在一次地震發(fā)生后，根據(jù)A，B兩站收到的信息，并通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)震中P在雙曲線的右支上，且，則P到公路l的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)雙曲線的焦距為2c，由題意，得，所以，解得，所以，由及余弦定理，得，即，所以，的面積，設(shè)P到公路l的距離為h，則，所以，即P到公路l的距離為，故選：D.1．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上且軸，直線，與軸分別交于點(diǎn)，，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，因?yàn)檩S，所以令，可得，解得：，設(shè)，直線的斜率為：，所以直線的方程為：，令可得，所以，直線的斜率為：所以直線的方程為：，令可得，所以，由可得，解得：,所以，解得：，即所以的漸近線方程為，故選：C.2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的焦點(diǎn)關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為：，設(shè)F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，由題意可得，解得，又點(diǎn)M在雙曲線上，則，整理得：，得離心率，故選：D3．（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線l的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，過(guò)A作x軸的垂線與E的漸近線交于M、N兩點(diǎn)，若則E的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．[3，2]【答案】A【解析】由題意得，漸近線,將代入得坐標(biāo)為,所以,因?yàn)檩S，所以,由已知可得,兩邊同時(shí)除以得,所以，即，解得,所以，而雙曲線的離心率，故選：A.4．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與軸和的右支分別交于點(diǎn)，，若是正三角形，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】A【解析】對(duì)于雙曲線，則，根據(jù)雙曲線定義有，又，，故．故選：B5．（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為30°的直線l與C的左、右兩支分別交于點(diǎn)P，Q，若，則C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】依題意，由，得，即的平分線與直線PQ垂直，設(shè)的平分線與直線PQ交于點(diǎn)D，如圖，則，，又，所以，所以，．由題得，，設(shè)，，，在中，，，則，，由雙曲線的性質(zhì)可得，解得，則，所以在中，，又，，所以，即，整理得，所以．故選：A6．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】設(shè)，可得，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為N，所以,又因?yàn)?所以,又所以，所以，又，所以所以雙曲線的離心率為.故選：A．7．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，是雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與y軸和C的右支分別交于點(diǎn)P，Q，若是正三角形，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】根據(jù)雙曲線定義有，由于點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，∴，又，，故．故選：C.8．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的兩焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與其一支交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第四象限.以為圓心，的實(shí)軸長(zhǎng)為半徑的圓與線段分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則的漸近線方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，由題意得：，設(shè)，則，所以，，由雙曲線的定義得：，所以，，則，因?yàn)?，在中，，即，解得，所以，，在中，，即，可得，所以，所以，即，故雙曲線的漸近線方程為．故選：C．9．（多選題）（2024·安徽·一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．過(guò)的直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限．的內(nèi)心為與軸的交點(diǎn)為，記的內(nèi)切圓的半徑為的內(nèi)切圓的半徑為，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．若雙曲線漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為2或B．若，且，則雙曲線的離心率為C．若，則的取值范圍是D．若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，雙曲線漸近線的夾角為，則或者故或．對(duì)于B，設(shè)，則．故，解得．又，故．對(duì)于C，令圓切分別為點(diǎn)，則，，令點(diǎn)，而，因此，解得，又，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，同理點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即直線的方程為，設(shè)直線的傾斜角為，那么，在中，在中，，漸近線的斜率為．因?yàn)榫谟抑希剩鐖D所求，．對(duì)于D，，故，而．故，由余弦定理可知，故．故選：ABD.10．（多選題）（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知是動(dòng)點(diǎn)．下列命題正確的是（

）A．若，則的軌跡的長(zhǎng)度等于2B．若，則的軌跡方程為C．若，則的軌跡與圓沒有交點(diǎn)D．若，則的最大值為3【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以的軌跡為線段，從而的軌跡的長(zhǎng)度等于2，故A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)椋呻p曲線的定義知，的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，而結(jié)論的方程中未限制范圍，故B錯(cuò)誤；（由，得的軌跡方程為）選項(xiàng)C：解法一：由，得，化簡(jiǎn)得，，聯(lián)立，得，這與矛盾，所以方程組無(wú)解，故的軌跡與圓沒有交點(diǎn)，故C正確；解法二：若有交點(diǎn)Mx,y，則，又，矛盾，所以的軌跡與圓沒有交點(diǎn)，故C正確；選項(xiàng)D：解法一：由得，，化簡(jiǎn)得，所以的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，等于在軸上的投影的長(zhǎng)度，由圖知其最大值為3，故D正確；解法二：同法一得的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，，由圓的方程知可取到最大值3，故D正確；解法三：由得，，當(dāng)在的反向延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào)，①；②當(dāng)在的反向延長(zhǎng)線上，且時(shí)，滿足條件，此時(shí)，所以的最大值為3，故D正確；故選：ACD．11．（多選題）（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的離心率為e，其左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線l交雙曲線C于P，Q兩點(diǎn)，交兩條漸近線于M，N兩點(diǎn)（P，M在第一象限），MN的中點(diǎn)為R，則（

）A．若直線l斜率，則B．的周長(zhǎng)為C．以為直徑的圓與以為直徑的圓相交D．若點(diǎn)M恰為以為直徑的圓與漸近線的一個(gè)交點(diǎn)，且，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由雙曲線，可得其漸近線的方程為，要使得過(guò)點(diǎn)的直線l交雙曲線C于P，Q兩點(diǎn)，交兩條漸近線于M，N兩點(diǎn)，則滿足，所以，所以A正確；對(duì)于B項(xiàng)，由雙曲線的定義，可得，，兩式相減得，所以，所以B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)的中點(diǎn)為S，則，即兩圓半徑之和，所以兩圓外切，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，聯(lián)立方程組，且，解得，因?yàn)?，則，連接并延長(zhǎng)交于，則，為中點(diǎn)，又由的中點(diǎn)為，則，從而，所以，從而，因此，所以D項(xiàng)正確.故選：ABD．12．（多選題）（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線，過(guò)原點(diǎn)的直線AC，BD分別交雙曲線于A，C和B，D四點(diǎn)（A，B，C，D四點(diǎn)逆時(shí)針排列），且兩直線斜率之積為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．四邊形ABCD一定是平行四邊形 B．四邊形ABCD可能為菱形C．AB的中點(diǎn)可能為 D．的值可能為【答案】AD【解析】由雙曲線的中心對(duì)稱性可知，點(diǎn)A，B分別關(guān)于原點(diǎn)與C，D對(duì)稱，故，，所以四邊形ABCD一定是平行四邊形，而直線AC，BD斜率之積為，則AC與BD不垂直，所以四邊形ABCD不可能為菱形，A正確，B錯(cuò)誤；設(shè)Ax1,y1，B兩式作差得，若的中點(diǎn)為，可得，代入上式，求得，故AB的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)A位于第一象限，點(diǎn)B位于第二象限，設(shè)直線OA的斜率為k，則直線OB的斜率為，結(jié)合雙曲線漸近線，易知，，可得，又因?yàn)?，所以的取值范圍為；?dāng)點(diǎn)A位于第四象限，點(diǎn)B位于第一象限，同理，可得的取值范圍為．綜上的取值范圍為，所以D正確．故選：AD.13．（2024·山西太原·一模）已知橢圓，為原點(diǎn)，過(guò)第一象限內(nèi)橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為.記直線，，，的斜率分別為，，，，若，則的最小值是.【答案】5【解析】因?yàn)椋什魂P(guān)于軸對(duì)稱且的橫縱坐標(biāo)不為0，所以直線方程斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，消去y可得，則，設(shè)Ax1,y則，，可得y，且，，由，可得，即，解得，下面證明橢圓在處的切線方程為，理由如下：當(dāng)時(shí)，故切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，代入橢圓方程得：，由，化簡(jiǎn)得：，所以，把代入，得：，于是，則橢圓的切線斜率為，切線方程為，整理得到，其中，故，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)或，當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿足，當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿足，綜上：橢圓在處的切線方程為；可知：橢圓在點(diǎn)Ax1,橢圓在點(diǎn)Bx2,由于點(diǎn)Px0,y0故，，所以直線為，因?yàn)橹本€的方程為，對(duì)照系數(shù)可得，，又，故，整理得，又Px故點(diǎn)Px0,，同理可得，則，又由于，，，故，設(shè)，則，則兩式聯(lián)立得，由得，，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，又，解得，滿足要求.故的最小值為4故的最小值是5故答案為：5.14．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知正方形PQRS的邊長(zhǎng)為，兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B都在直線QS的同側(cè)（但A，B與P在直線QS的異側(cè)），A，B關(guān)于直線PR對(duì)稱，若，則面積的取值范圍是．【答案】【解析】以PR為x軸，QS為y軸建系，則，，設(shè)，，且，，所以，，因?yàn)?，所以，即A位于雙曲線的右支上，漸近線方程為或，設(shè)點(diǎn)A到直線PS的距離為h，又直線與直線PS的距離為，點(diǎn)到直線PS的距離為，則，又，所以面積的取值范圍是．故答案為：15．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的一條漸近線與圓O：交于兩點(diǎn)，設(shè)圓O在兩點(diǎn)處的切線與軸分別交于兩點(diǎn)、若雙曲線的焦距為，則四邊形周長(zhǎng)的最大值為．【答案】4【解析】由題意可知漸近線方程為，，故，故，又,由于焦距為，故，則，由對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，故周長(zhǎng)為，設(shè)，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故，故最小值為4故答案為：416．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線方程為．【答案】【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，由關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知四邊形是平行四邊形，又，，則有，，又由雙曲線的定義得，解得，再由余弦定理：，即，得，再由，故漸近線方程為：，故答案為：.17．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，求.【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，所以，解得：；又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得：，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)，Qx由題可得過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為：，即，聯(lián)立，消去可得：，所以，，所以18．（2024·山東·二模）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且其兩條漸近線相互垂直.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，的面積為，求直線的方程.【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線互相垂直，所以雙曲線為等軸雙曲線，所以設(shè)所求雙曲線方程為，，又雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以雙曲線的方程為，即．（2）根據(jù)題意可知直線的斜率存在，又直線過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，所以原點(diǎn)到直線的距離，聯(lián)立，得，所以且，所以，且，所以，所以的面積為，所以，解得，所以，所以直線的方程為或．1．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線的準(zhǔn)線l經(jīng)過(guò)，且l與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)A，若，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，則、，不妨設(shè)點(diǎn)為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，因?yàn)榍?，則為等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.2．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點(diǎn)為，則拋物線的準(zhǔn)線為，令，則，解得，所以,又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.3．（2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題）若雙曲線離心率為，過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，則，，則雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B4．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，結(jié)合對(duì)稱性，不妨考慮點(diǎn)到直線的距離：.故選：A.5．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知是雙曲