2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(測試)(學(xué)生版+解析)

第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（測試）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．42．曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．3．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù).若，對，則（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，則函數(shù)（

）A．既有極大值也有極小值 B．有極大值無極小值C．有極小值無極大值 D．既無極大值也無極小值6．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．7．若函數(shù)有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．函數(shù)，若關(guān)于的不等式有且僅有三個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是19世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，以下四個(gè)函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù)B．的單調(diào)遞增區(qū)間為C．的極小值為D．若關(guān)于的方程恰有3個(gè)不等的實(shí)根，則的取值范圍為11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若是奇函數(shù)，滿足，且對任意，，，則（

）A． B． C． D．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．燒水時(shí)，水溫隨著時(shí)間的推移而變化.假設(shè)水的初始溫度為，加熱后的溫度函數(shù)（是常數(shù)，表示加熱的時(shí)間，單位：min），加熱到第10min時(shí)，水溫的瞬時(shí)變化率是.13．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.14．已知，對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知.(1)求并寫出的表達(dá)式；(2)證明：.16．（15分）某種兒童適用型防蚊液儲存在一個(gè)容器中，該容器由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱組成（其中上半球是容器的蓋子，防蚊液儲存在下半球及圓柱中），容器軸截面如題圖所示，兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，其外周長為100毫米．防蚊液所占的體積為圓柱體體積和一個(gè)半球體積之和．假設(shè)的長為毫米．(1)求容器中防蚊液的體積（單位：立方毫米）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)如何設(shè)計(jì)與的長度，使得最大？17．（15分）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)在上的最大值和最小值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．18．（17分）已知，，是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，若滿足，求證：.19．（17分）對給定的在定義域內(nèi)連續(xù)且存在導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)，若對在定義域內(nèi)的給定常數(shù)，存在數(shù)列滿足在的定義域內(nèi)且，且對在區(qū)間的圖象上有且僅有在一個(gè)點(diǎn)處的切線平行于和的連線，則稱數(shù)列為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”.(1)若函數(shù)，證明：都存在“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”；(2)若函數(shù)，數(shù)列為函數(shù)的“1關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，且，求的通項(xiàng)公式；(3)若函數(shù)，數(shù)列為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，.第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（測試）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【解析】由題意知，，則.所以.故選：B2．曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.令，得，令，得，故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為.故選：C3．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以且，解得．即實(shí)數(shù)a的取值范圍為故選：B4．已知函數(shù).若，對，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，由條件可知在有極小值點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得：且，即且，所以。故選：B5．已知函數(shù)，則函數(shù)（

）A．既有極大值也有極小值 B．有極大值無極小值C．有極小值無極大值 D．既無極大值也無極小值【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，無極小值.故選：B6．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式等價(jià)于，即，構(gòu)造函數(shù)，所以，因?yàn)闀r(shí)，，所以對恒成立，所以在單調(diào)遞減，又因?yàn)椋圆坏仁降葍r(jià)于，所以，即的解集為.故選：A.7．若函數(shù)有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，因?yàn)楹瘮?shù)有極值，所以在上有變號零點(diǎn)，即在上有解（若有兩個(gè)解，則兩個(gè)解不能相等），因?yàn)槎魏瘮?shù)的對稱軸為，開口向上，所以只需，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C8．函數(shù)，若關(guān)于的不等式有且僅有三個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對函數(shù)求導(dǎo)可得，令，解得，令，解得，又時(shí)，，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為和，作出圖象如圖所示：當(dāng)時(shí)，由，可得，由圖象可知，不存在整數(shù)點(diǎn)滿足條件，當(dāng)時(shí)，由，可得，由圖象可知，不存在整數(shù)點(diǎn)滿足條件，當(dāng)時(shí)，由，可得，又，，，由的遞增區(qū)間為，所以，所以要使有三個(gè)整數(shù)解，則，所以關(guān)于的不等式有且僅有三個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是19世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，以下四個(gè)函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對于A，由，得，則，因?yàn)椋?，所以此函?shù)是凸函數(shù)；對于B，由，得，則，因?yàn)?，所以，所以此函?shù)是凸函數(shù)；對于C，由，得，則，因?yàn)?，所以，所以此函?shù)是凸函數(shù)；對于D，由，得，則，因?yàn)?，所以，所以此函?shù)不是凸函數(shù)，故選：ABC10．已知函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù)B．的單調(diào)遞增區(qū)間為C．的極小值為D．若關(guān)于的方程恰有3個(gè)不等的實(shí)根，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】由函數(shù)，可得，對于A中，由，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以A正確；對于B中，由，解得或，即函數(shù)的遞增區(qū)間為，所以B不正確；對于C中，由，解得，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為，所以C正確；對于D中，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以極大值為，極小值為，且時(shí)，；時(shí)，；又由關(guān)于的方程恰有3個(gè)不等的實(shí)根，即函數(shù)與的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，所以D正確.故選：ACD.11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若是奇函數(shù)，滿足，且對任意，，，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】對于A中，令，可得，因?yàn)?，所以，所以A不正確；對于B中，令，可得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，所以，聯(lián)立可得，即，所以，所以函數(shù)是周期為3的函數(shù)，所以，所以B正確；對于C中，由，可得，且，因?yàn)閿?shù)是周期為3的函數(shù)，可得，所以C錯(cuò)誤；對于D中，由，可得令，可得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)周期為3的函數(shù)，即，可得所以函數(shù)是周期為3的函數(shù)，可得，所以，令，可得，所以，所以，可得所以，所以D正確.故選：BD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．燒水時(shí)，水溫隨著時(shí)間的推移而變化.假設(shè)水的初始溫度為，加熱后的溫度函數(shù)（是常數(shù)，表示加熱的時(shí)間，單位：min），加熱到第10min時(shí)，水溫的瞬時(shí)變化率是.【答案】【解析】因?yàn)樗某跏紲囟葹椋?，解得，所以，則，所以加熱到第時(shí)，水溫的瞬時(shí)變化率是.故答案為：13．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【解析】，由于為對勾函數(shù)，最小值為2，而，所以在單調(diào)遞減，故，作出的大致圖象如下：故要使恰有一個(gè)零點(diǎn)，只需要只有一個(gè)交點(diǎn)，故，即，故答案為：14．已知，對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為.【答案】【解析】由題意，不等式即，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.則不等式等價(jià)于恒成立.因?yàn)?，所以，所以對任意恒成立，即恒成?設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以時(shí)，有最大值，于是，解得．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知.(1)求并寫出的表達(dá)式；(2)證明：.【解析】（1）由有，取得到，解得.將代入可得.（6分）（2）設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).所以在上遞減，在上遞增，故.從而.（13分）16．（15分）某種兒童適用型防蚊液儲存在一個(gè)容器中，該容器由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱組成（其中上半球是容器的蓋子，防蚊液儲存在下半球及圓柱中），容器軸截面如題圖所示，兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，其外周長為100毫米．防蚊液所占的體積為圓柱體體積和一個(gè)半球體積之和．假設(shè)的長為毫米．(1)求容器中防蚊液的體積（單位：立方毫米）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)如何設(shè)計(jì)與的長度，使得最大？【解析】（1）由得，由且得，所以防蚊液的體積，.（6分）（2）由，.所以，令得；令得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（9分）所以當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，，所以當(dāng)為毫米，為毫米時(shí)，防蚊液的體積有最大值.（13分）17．（15分）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)在上的最大值和最小值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，得或，由于，所以當(dāng)，，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)，，在單調(diào)遞增，所以在時(shí)取到極小值，且，（3分）又因?yàn)?，，綜上，函數(shù)在上的最大值為，最小值為.（6分）（2）因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，令，則，（9分）所以當(dāng)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)，，在單調(diào)遞減，（12分）當(dāng)，，在單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（15分）18．（17分）已知，，是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，若滿足，求證：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，求?dǎo)可得，令，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處取到極小值為0，無極大值.（4分）（2）方程，當(dāng)時(shí)，顯然方程不成立，所以，則，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即與有2個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)或時(shí)，，在區(qū)間和上單調(diào)遞減，并且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，，（8分）作出函數(shù)的圖象，如圖所示：因此與有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，故的取值范圍為.（10分）（3）證明：，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由題意，且，則，.要證，只需證，而，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故只需證，又，所以只需證，（12分）即證，令，即，，由均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.（15分）由，可得，即，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即得證.（17分）19．（17分）對給定的在定義域內(nèi)連續(xù)且存在導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)，若對在定義域內(nèi)的給定常數(shù)，存在數(shù)列滿足在的定義域內(nèi)且，且對在區(qū)間的圖象上有且僅有在一個(gè)點(diǎn)處的切線平行于和的連線，則稱數(shù)列為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”.(1)若函數(shù)，證明：都存在“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”；(2)若函數(shù)，數(shù)列為函數(shù)的“1關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，且，求的通項(xiàng)公式；(3)若函數(shù)，數(shù)列為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，.【解析】（1）因